四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若,则复数( )
A.B.C.D.
2．已知,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．若变量x,y满足不等式组,则的最小值是( )
A.1B.C.D.
5．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,
则下列说法正确的是( )
A.B.变量y与x是负相关关系
C.该回归直线必过点D.x增加1个单位,y一定增加2个单位
6．的展开式中,x的系数为( )
A.B.C.5D.10
7．已知,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8．函数关于直线对称,且在区间上单调递增,则( )
A.B.
C.D.
9．已知数列的前n项和为,且,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
10．在平面直角坐标系xOy中,角,的终边与单位圆的交点分别于A,B两点,且直线AB的斜率为,则( )
A.B.C.D.
11．已知曲线与x轴交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,则过A,B,C(A,B,C均不重合)三点的圆的半径不可能为( )
A.B.C.1D.2
12．设,分别为椭圆的左,右焦点,以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P,与y轴交于点Q,线段与C交于点A.已知与的面积之比为,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知为钝角,,则_______.
14．甲,乙二人用7张不同的扑克牌(其中红桃4张,方片3张)玩游戏.他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.则甲,乙二人抽到花色相同的概率为_________.
15．已知,若为偶函数,则_________.
16．已知,分别是双曲线的左,右焦点,过点作E的渐近线的垂线,垂足为P.点M在E的左支上,当轴时,,则E的渐近线方程为_________.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．绵阳市37家A级旅游景区,在2023年国庆中秋双节期间,接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况,得到的数据如下表:
（1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关?
（2）将频率视为概率,从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈,记这2人中喜欢旅游的人数为,求的分布列与数学期望.
附:
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求证:;
（2）若,,求b.
20．已知直线与抛物线交于A,B两点,F为E的焦点,直线FA,FB的斜率之和为0.
（1）求E的方程;
（2）直线FA,FB分别交直线于M,N两点,若,求k的取值范围.
21．函数
（1）已知在上存在零点,求实数a的取值范围;
（2）若在定义域上是单调函数,满足,证明:.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
（1）求曲线C极坐标方程;
（2）若A,B为曲线C上的动点,且,求的值.
23．（1）已知a,b,x,y均为正数,求证:并指出等号成立的条件;
（2）利用（1）的结论,求函数的最大值,并指出取最大值时x的值.
参考答案
1．答案：A
解析:
2．答案：B
解析:因为,,
则.
故选:B.
3．答案：A
解析:由题意可知,,
设与的夹角为,,
,,
则,即,
,
故,解得.
故选:A.
4．答案：C
解析:由约束条件做出可行域如图,
令,由图可知,当直线与直线重合时,z有最小值为:.
故选:C.
5．答案：C
解析:对于A,由题意可知,,
点一定在线性回归方程上,
,
,解得,故A错误;
对于B,线性回归方程的斜率大于0
变量y与x是正相关关系,故B错误;
对于C,由A可知,该回归直线必过点,故C正确;
对于D,线性回归方程,
增加1个单位,y大约增加2个单位,故D错误.
故选:C.
6．答案：A
解析:的展开式的通项为
令,得,
的系数为.
故选:A.
7．答案：B
解析:当时,满足,但不成立,即充分性不成立,当时,
,即必要性成立,
所以,,则“”是“”的必要不充分条件.故选:B.
8．答案：D
解析:
9．答案：D
解析:,
时,
,
时,.
,,,
时,,
综上可得:只有D正确.
故选:D.
10．答案：C
解析:不妨设,,且,设C为AB的中点,则,AB与x轴交于D,因为AB的斜率为,
所以,,
则
故选:C.
11．答案：A
解析:设,,,
易得,
设过A,B,C的三点的圆的圆心为M,则M在对称轴上,设,
由题意得,,,
由可得,,
整理得,,
当时,可得,
当时,可得,即,
综上,,
则半径,
故选:A.
12．答案：B
解析:由题意可得,,,
则以为圆心且过的圆的方程为,
令,则,由对称性,不妨取点P在x轴上方,即,
则,即,
有,则,
又,即有,即,
代入,有,即,
即在椭圆上,故,
化简得,由,
即有,
整理得,即,
有或,
由,故舍去,即,
则,
故选:B.
13．答案：
解析:因为为钝角,,
所以,
则,
故答案为:.
14．答案：
解析:一共有7张不同的扑克牌(其中红桃4张,方片3张),甲先抽,乙后抽,
甲,乙二人抽到花色相同的情况有2种:①甲先抽到红桃,乙后抽到红桃,概率为,
②甲先抽到方片,乙后抽到方片,概率为,
甲,乙二人抽到花色相同的概率为:,
故答案为:.
15．答案：
解析:函数有意义,则,
解得或,所以函数定义域为,
因为为偶函数,则有,解得,
所以,,
由,有,则有,所以.
故答案为:.
16．答案：
解析:
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）设数列的公差是d,
则,
解得,
;
（2）,
.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）
,
故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关.
（2）根据题意,全市男性市民喜欢旅游的概率为,,
的可以取值为0,1,2,
,
,
,
的分布列如下:
.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）
,
;
（2）,
,
,①
又,②
,
又B是的内角,
,又,则,
在中,由余弦定理得:
,
由（1）知:,
,
或(舍),
又,则.
20．答案：（1）
（2）或
解析:（1）设,,
联立,消y整理得:,
所以:,,
所以,即抛物线E的方程为:;
（2）由（1）可知:,
且,所以:,
,
直线FA的方程为:,所以:,
同理:,
所以,
解得:或.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）令,则在上至少有一个零点.
的对称轴为:,
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时,在上恰有一个零点,符合题意;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,对称轴,则在是增函数,
而,,
在上必有一个零点,符合题意;
③当时,对称轴,
则在上是减函数,在是增函数,
在上至少有一个零点,
只需,则,
综上所述,a的取值范围为.
（2）解法一:,
在R上是单调函数,则,
在R上是单调递减函数,
,要证,即证,
结合在R上是减函数,所以只需证,
而,即证(*)
令
,当x=1时,等号成立,
(*)成立.命题得证.
解法二:,
在R上是单调函数,则,
在R上是单调递减函数,
,,且,
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意;
当时,,不符合题意;
,要证,即证,
结合在R上是减函数,所以只需证,
而,即证对任意成立.(*)
令,
,
令,
函数在上是增函数,则,
函数(x>1),则,
在上是增函数,则,
在上恒成立,
在(1,+∞)上是增函数,则,
(*)成立,命题得证.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意:,且,
曲线C的普通方程为:
曲线C的极坐标方程为,
即;
（2）由（1）得,
因为且,不妨设,,
,
,
23．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:因为,
,
当且仅当,即时,等号成立;
（2）函数
根据（1）的结论,,
当且仅当,即时,等号成立.
函数的最大值为,此时.
x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
0
1
2
P