陕西省安康市石泉县2023-2024学年度九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份陕西省安康市石泉县2023-2024学年度九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中属于随机事件的是（ ）
A．抛出的篮球会下落B．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
C．今天是星期一，明天是星期二D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球
4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．如果将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
10．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
11．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当小球的高度为时，飞行时间t为 ．
12．如图，是的直径，是的弦，若，则弧的长为 ．

13．如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为 ．
14．请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上．
点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
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三、解答题
15．解方程：．
16．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
17．二次函数中的自变量x和函数值y满足下表：
(1)这个二次函数的对称轴是直线________；
(2)m的值为________；
(3)当时，y的取值范围为________．
18．如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长．
20．共享概念已经进人人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A，B，C，D四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)从中随机抽取一张邮票是“B共享服务”的概率是________；
(2)从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“A共享出行”和“D共享知识”的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点对称的图形；
(2)请写出点，的坐标：（____，____），（____，____）．
22．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点B．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求的面积．
24．如图①，有一块面积为的长方形空地，长比宽多．
(1)求这块空地的长；
(2)若计划在这块长方形空地上修建两条宽度相同，且分别与长方形空地的边平行的小路，余下的四块小长方形空地种菜．如图②，如果四块菜地的面积和为，求小路的宽．
25．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
26．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位：）与到树干的水平距离x（单位：）之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
27．如图①，点在直线上，过点构建等腰直角，使，且，过点作于点，连接．

(1)小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为________；将射线绕点顺时针旋转交直线于点，则线段与之间的数量关系为________；
(2)小亮将等腰直角绕点在平面内旋转，当旋转到图②的位置时，试说明线段，，之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，将等腰直角绕点在平面内旋转到图③的位置，长为，当面积取得最大值时，求线段的长．
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
10
3
m
…
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，．
故选：A
2．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
3．B
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．抛出的篮球会下落是必然事件，故不符合题意；
B．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故符合题意；
C．今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故不符合题意；
D．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故不符合题意；
故选B．
4．D
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点坐标是．根据二次函数顶点式的性质即可进行解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
5．A
【分析】根据旋转的性质可知，又因为，则的度数可求；
【详解】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A′位置，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，准确计算是解题的关键．
6．B
【分析】根据抛物线图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
平移后的新抛物线的解析式为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变化，要熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
7．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，而点离对称轴比较近，点到对称轴的距离比远，
，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是能根据题意得出一个关于的方程．把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可．
【详解】解：．把代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有个，
则，
答：红球的个数约为个．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
11．1或3/3或1
【分析】本题考查了二次函数的应用：根据题意，把代入，计算飞行时间t的值，即可作答．
【详解】解：根据题意，把代入，
得
解得飞行时间t为1或．
故答案为：1或3
12．
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据弧长公式计算．本题考查了弧长公式：（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．
【详解】解：连接，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长．
故答案为：．
13．8
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值，由矩形的性质及圆的概念可求解的长，利用勾股定理可求解的长，进而可求解．
【详解】解：如图，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值，
矩形中，，，
，
，
，
即的最小值为8．
故答案为：8．
14．点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【分析】按照题目要求解答即可．
本题主要考查了点与圆的位置关系．重点是理解点在圆外，点在圆上，点在圆内时d和r之间的关系，不要死记硬背．
【详解】点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
故答案为：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
15．，
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
16．5或-3
【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴．
解得：或-3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当时，二次函数的图象与x轴没有交点．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
（1）根据表中x、y的对应值可知，与时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；
（2）根据抛物线的对称性求得即可；
（3）根据表格中数据即可得出结论．
【详解】（1）解：∵由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等
∴对称轴是直线
故答案为：；
（2）解：∵点关于直线的对称点为
∴，
故答案为：；
（3）解：由表格数据可知，y随x的增大先减小后增大，
∴抛物线开口向上，
又对称轴是直线
∴当时，
故答案为：．
18．见解析
【分析】本题主要考查了尺规作图，作一个三角形的外接圆，分别作出线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为外接圆的圆心O，最后作出外接圆即可．
【详解】解：如图，点O和即为所求．
19．
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到
【详解】解：∵，
∴．
∵点D是的中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
20．(1)
(2)
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）四张卡片从中随机抽取一张邮票是“B共享服务”的概率为．
故答案为：；
（2）根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A共享出行”和“D共享知识”的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“A共享出行”和“D共享知识”的概率为．
21．(1)见解析
(2)；
【分析】本题考查了利用中心对称变换的性质作图：
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后连线即可；
（2）根据（1）中图形直接写出，的坐标，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：点，的坐标分别为，，
故答案为：；．
22．每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元
【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值，设每件售价定为元，利润为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每天利润每件的销售利润日销售量，列出关于的函数关系式，并化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可，解题关键是利用二次函数的性质求最值．
【详解】解：设每件售价定为元，利润为元，且,
根据题意，得
．
∵，
二次函数的图象开口向下，
∴时，w最大，为450元，
答：每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元．
23．(1)该二次函数的解析式为
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求解二次函数与x轴的交点坐标等知识，
（1）直接代入，即可求出，问题随之得解；
（2）求出点B的坐标为，点C的坐标为，即可得，，问题随之得解．
【详解】（1）把，代入，
得，解得．
∴该二次函数的解析式为．
（2）当时，，
∴点B的坐标为，即．
当时，，解得，．
∴点C的坐标为，即．
∴．
∴．
24．(1)空地的长为
(2)小路的宽为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；
（1）根据题意得出，解方程即可；
（2）设小路的宽为，根据四块菜地的面积和为，列出方程，解方程即可．
解题的关键是根据等量关系，列出方程．
【详解】（1）解：设空地的长为，则宽为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：空地的长为．
（2）解：设小路的宽为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：小路的宽为．
25．(1)见解析
(2)半径的长为3
【分析】（1）连接，易得，，，根据等量代换可得，证明可得结论；
（2）设半径为，则，，在中用勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）证明：连接．

∴是的切线；
（2）解：设半径为，则
∵
∴，
在中，
∴
解得
即半径的长为．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
26．(1)该抛物线的函数解析式为
(2)小明走出远时，头顶刚好碰到树枝
【分析】（1）由题意得出点和点，再代入求解即可；
（2）令，得，求解即可．
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图像性质是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，得抛物线经过点和点．
∴，解得．
∴该抛物线的函数解析式为．
（2）在中，令，得，
解得（不合题意，含去），．
∴小明走出远时，头顶刚好碰到树枝.
27．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）由题意可得，由，推出、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数；由旋转的可得，，即可得到线段与之间的数量关系；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则，由，，可得 ，根据线段的和差即可求解；
（3）由（2）知，，可推出、、、四点共圆，于是作、、、的外接圆，当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，的面积最大．作，则平分，，在上截取一点，使得，据此即可求解．
【详解】（1）（1）①如图，

，且，
，
，
、、、四点共圆，
；
②根据题意得：，，
，
；
（2）线段，，的数量关系为．理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．

则，
，又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，于是作、、、的外接圆，如图3．

当点在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大．作，则平分，，在上截取一点，使得，
，
，，
，，
，
，
．