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人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题16.4 二次根式的乘除（知识讲解）
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这是一份人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题16.4 二次根式的乘除（知识讲解），共13页。
专题16.4 二次根式的乘除（知识讲解）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 特别说明： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)； (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 积的算术平方根: （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: （≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、最简二次根式➽➼判断✬✬化简✬✬求参数1．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．（3）是最简二次根式，符合两个条件；（4）是最简二次根式，被符合两个条件；（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．举一反三：【变式1】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1），（2），（3），（4），（5）．【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），符合最简二次根式两个条件；（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式：； (2) ； (3) ；【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（3）分子分母都乘以3，然后化简．解：（1）；（2）；（3）．【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值．【答案】 的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可．解：（1） ∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.举一反三：【变式1】若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）A．7 B．9 C．2 D．1【答案】D【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 解：，与最简二次根式能合并，，解得，故选：D．【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．【变式2】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式解得：∴符合题意【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．类型二、二次根式乘法➽➼运算 ✬✬化简3．计算：．【答案】【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 解： 【点拨】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法．举一反三：【变式1】计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【答案】(1) 6；(2) 10；(3) 1；(4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 解（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：．【变式2】设，则可以表示为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：∵，∴，故选D．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．类型三、二次根式除法➽➼运算 ✬✬化简4．计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可． 解：（1）原式；（2）原式．【点拨】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简．举一反三：【变式1】把化去分母中的根号后得( )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 解：．故选：D【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．【变式2】在化简时，有下列两种不同的方法：方法1：原式．方法2：原式．这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由．【答案】方法1是错误的，方法2是正确的，理由见解析【分析】根据分式的基本性质可得方法1中当时，违背了分式的基本性质，即可求解． 解：方法1是错误的，方法2是正确的．理由如下∶因为题中已知条件并没有给出或隐含条件，而这里在约分以后将分子和分母同时乘以事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0．所以方法1是错误的．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，分式的除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．类型四、二次根式乘除法➽➼混合运算✬✬化简求值5．（1）计算：；（2）计算：【答案】（1）8；（2）0【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案． 解：（1）计算：===8；（2）= =0．【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．举一反三：【变式1】计算：； (2) ； (3) ．【答案】(1)；(2) 1； (3) 18【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可． 解（1） （2） ＝1；（3）＝18．【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．【变式2】计算：(1)； (2)．【答案】(1) 6； (2) 【分析】（1）利用平方差公式运算即可；（2）先化为最简二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法则进行计算即可．解（1）原式（2）原式【点拨】本题主要考查了最简二次根式和二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．中考真题专练1．（2022·贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】先化简分式，再代值求解即可； 解：原式====，将代入得，原式=．【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．2．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可． 原式当时，原式．【点拨】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．3．（2021·广东广州·中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可． 解：（1）；（2）∵，∴，∴．【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
专题16.4 二次根式的乘除（知识讲解）【学习目标】1、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 特别说明： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)； (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 积的算术平方根: （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 特别说明： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。 特别说明：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质: （≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 特别说明：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 知识点三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.特别说明：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、最简二次根式➽➼判断✬✬化简✬✬求参数1．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．（3）是最简二次根式，符合两个条件；（4）是最简二次根式，被符合两个条件；（5）不是最简二次根式，被开方数含分母．（6） 不是最简二次根式，被开方数含分母．【点拨】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．举一反三：【变式1】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1），（2），（3），（4），（5）．【答案】（1）不是，；（2）不是，；（3）是；（4）不是，；（5）不是，.【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），符合最简二次根式两个条件；（4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．【点拨】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式2】把下列二次根式化成最简二次根式：； (2) ； (3) ；【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（3）分子分母都乘以3，然后化简．解：（1）；（2）；（3）．【点拨】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值．【答案】 的值是，的值是；（2）．【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值；（2）根据算术平方根的概念解答即可．解：（1） ∵和是相等的最简二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．【点拨】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键.举一反三：【变式1】若与最简二次根式能合并，则m的值为（ ）A．7 B．9 C．2 D．1【答案】D【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 解：，与最简二次根式能合并，，解得，故选：D．【点拨】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．【变式2】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式解得：∴符合题意【点拨】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数．类型二、二次根式乘法➽➼运算 ✬✬化简3．计算：．【答案】【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 解： 【点拨】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法．举一反三：【变式1】计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【答案】(1) 6；(2) 10；(3) 1；(4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；（2）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可；（3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；（4）根据二次根式的乘法法则进行计算，再化为最简二次根式即可． 解（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法法则，解题的关键是熟练掌握二次的乘法法则：．【变式2】设，则可以表示为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 解：∵，∴，故选D．【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．类型三、二次根式除法➽➼运算 ✬✬化简4．计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】直接利用二次根式的除法运算法则及二次根式的性质化简求出即可． 解：（1）原式；（2）原式．【点拨】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．把反过来，就得到，利用它可以进行二次根式的化简．举一反三：【变式1】把化去分母中的根号后得( )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 解：．故选：D【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除法运算．熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．【变式2】在化简时，有下列两种不同的方法：方法1：原式．方法2：原式．这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由．【答案】方法1是错误的，方法2是正确的，理由见解析【分析】根据分式的基本性质可得方法1中当时，违背了分式的基本性质，即可求解． 解：方法1是错误的，方法2是正确的．理由如下∶因为题中已知条件并没有给出或隐含条件，而这里在约分以后将分子和分母同时乘以事实上，当时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的，但运算过程是错误的，当时，原式仍有意义，此时原式的值为0．所以方法1是错误的．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，分式的除法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．类型四、二次根式乘除法➽➼混合运算✬✬化简求值5．（1）计算：；（2）计算：【答案】（1）8；（2）0【分析】（1）原式先计算乘方和二次根式乘法，然后再算加法即可得到答案；（2）原式先计算二次根式的除法，再合并即可得到答案． 解：（1）计算：===8；（2）= =0．【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，解答本题的关键是熟练掌握二次根式相关的运算法则．举一反三：【变式1】计算：； (2) ； (3) ．【答案】(1)；(2) 1； (3) 18【分析】（1）先把各二次根式化简，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（2）先把被开方数中的带分数化为假分数，再按照从左至右的顺序进行运算即可；（3）按照从左至右的运算顺序进行乘除运算即可． 解（1） （2） ＝1；（3）＝18．【点拨】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键．【变式2】计算：(1)； (2)．【答案】(1) 6； (2) 【分析】（1）利用平方差公式运算即可；（2）先化为最简二次根式，再利用二次根式的除法和乘法法则进行计算即可．解（1）原式（2）原式【点拨】本题主要考查了最简二次根式和二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．中考真题专练1．（2022·贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】先化简分式，再代值求解即可； 解：原式====，将代入得，原式=．【点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．2．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可． 原式当时，原式．【点拨】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．3．（2021·广东广州·中考真题）已知（1）化简A；（2）若，求A的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可． 解：（1）；（2）∵，∴，∴．【点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
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