沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.4 期中重难点突破训练卷（一）（原卷版+解析）

这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.4 期中重难点突破训练卷（一）（原卷版+解析），共23页。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2020秋•龙岗区校级期中）在、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（4分）（2020春•广州期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）（2020秋•建宁县期中）已知，△ABC的三边分别为a，b，c，其对角分别为∠A，∠B，∠C．下列条件能判定△ABC一定不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c：：B．b2﹣a2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5D．∠B＝∠A+∠C
4．（4分）（2020秋•安顺期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤4，且k≠1B．k＜4，且k≠1C．k＜4D．k≤4
5．（4分）（2020秋•安平县期中）在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确
6．（4分）（2020秋•射洪市期中）把（2﹣x）的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）（2020秋•阜平县期中）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．3
8．（4分）已知aa+1（a为整数），则a的值为（ ）
A．2020B．2019C．2020D．2021
9．（4分）（2020秋•开封期中）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）＝540
C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
10．（4分）（2020秋•渝中区校级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则AB的长为（ ）
A．5B．9C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋•资中县期中）已知a，则a﹣20192＝ ．
12．（5分）（2020秋•郧西县期中）已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是 ．
13．（5分）（2020秋•大连期中）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 ．
14．（5分）（2020秋•新都区期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①所示），其棱长为2（），沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短距离为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2020春•涧西区校级期中）计算下列各式的值：
（1）（）（）；
（2）|3|．
16．（8分）（2020秋•灌阳县期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
17．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
18．（10分）（2020秋•郁南县期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19．（10分）（2020秋•陇西县期中）为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人．
（1）求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；
（2）列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率．
20．（10分）（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
21．（12分）（2020秋•赣榆区期中）2020年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染，N95口罩成为了大众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2020年2月份一盒N95口罩价格比2020年1月份上涨了30%，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒N95口罩花了52元．
（1）问：2020年1月份一盒N95口罩的价格为多少元？
（2）某超市将进货价为每盒39元的N95口罩，按2020年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查表明：N95口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售N95口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒N95口罩的售价应该下降多少元？
22．（12分）（2020秋•李沧区期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）1；
（三）1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简 ．
②参照（三）式化简 ．
（2）化简：．
23．（12分）（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
2020-2021学年八年级下册期中重难点突破训练卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2020秋•龙岗区校级期中）在、、、、中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【解答】解：4x，可化简，不是最简二次根式；
不可以化简，是最简二次根式；
，可化简，不是最简二次根式；
，可化简，不是最简二次根式；
不可以化简，但根指数是3，
所以最简二次根式只有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2．（4分）（2020春•广州期中）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义和合并同类二次根式的法则逐一判断可得．
【解答】解：A、与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、3（3﹣1）2，此选项正确；
C、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
D、不能再计算、化简，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义和合并同类二次根式的法则．
3．（4分）（2020秋•建宁县期中）已知，△ABC的三边分别为a，b，c，其对角分别为∠A，∠B，∠C．下列条件能判定△ABC一定不是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c：：B．b2﹣a2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5D．∠B＝∠A+∠C
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a：b：c：：，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵b2﹣a2＝c2，
∴a2+c2＝b2，
∴∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C180°＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠B＝∠A+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解此题的关键．
4．（4分）（2020秋•安顺期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k≤4，且k≠1B．k＜4，且k≠1C．k＜4D．k≤4
【分析】根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3＝0有实数根，得到k﹣1≠0，即k≠1，且△＝62﹣4×（k﹣1）×3＝48﹣12k≥0，解得k≤4，
由此得到实数k的取值范围．
【解答】解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k﹣1≠0，且△＝62﹣4×（k﹣1）×3＝48﹣12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
5．（4分）（2020秋•安平县期中）在解方程2x2+4x+1＝0时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
A．两人都正确B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确D．两人都不正确
【分析】利用配方法把含未知数的项写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：由图知，两人的做法都正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．（4分）（2020秋•射洪市期中）把（2﹣x）的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可以得到2﹣x＜0，根号外的（2﹣x）提出负号后移入根号内即可．
【解答】解：（2﹣x）（x﹣2），
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
7．（4分）（2020秋•阜平县期中）若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．3
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m＝1，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果
【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m＝1，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1﹣1＝0．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8．（4分）已知aa+1（a为整数），则a的值为（ ）
A．2020B．2019C．2020D．2021
【分析】直接利用二次根式的性质得出，进而得出答案
【解答】解：∵aa+1，且，
∴20192020，
∴a＝2019．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
9．（4分）（2020秋•开封期中）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝540B．（32﹣x）（20﹣x）＝540
C．32x+20x＝540D．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32﹣x）（20﹣x）＝540．
【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：B．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
10．（4分）（2020秋•渝中区校级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为4，且AC+BC＝7，则AB的长为（ ）
A．5B．9C．D．
【分析】设AC＝b，AB＝c，BC＝a根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：设AC＝b，AB＝c，BC＝a，则a+b＝7，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，
则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝4，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝49，
∴ab，
∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣7c4，
解得c1＝5，c2＝10（舍去）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋•资中县期中）已知a，则a﹣20192＝ 2020 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：∵要使有意义，必须a﹣2020≥0，
解得：a≥2020，
∵a，
∴a﹣2019a，
即2019，
两边平方得：a﹣2020＝20192，
∴a﹣20192＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质与化简，能求出a≥2020是解此题的关键．
12．（5分）（2020秋•郧西县期中）已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是 7 ．
【分析】根据题意可知a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再将变形为，代入计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴7．
故答案为7．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．（5分）（2020秋•大连期中）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （x﹣3）2+82＝x2 ．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+82＝x2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（5分）（2020秋•新都区期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①所示），其棱长为2（），沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短距离为 4cm ．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：如图所示：连接AB交CD于E，
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD2（22）（cm），
∴BECD＝（22）cm，
在Rt△ACE中，AE2（3）（cm），
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为4cm．
故答案为：4cm．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）（2020春•涧西区校级期中）计算下列各式的值：
（1）（）（）；
（2）|3|．
【分析】（1）直接利用乘法公式以及二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用绝对值以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式（5﹣3）
＝3﹣2
＝1；
（2）原式3
＝3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16．（8分）（2020秋•灌阳县期中）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2，
∴x1＝2，x2＝2；
（2）∵3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（8分）若最简二次根式和是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）根据题意知，
解得：；
（2）当x＝4、y＝3时，
5．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
18．（10分）（2020秋•郁南县期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）直接将x＝﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a＝b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）当△ABC是等边三角形，a＝b＝c，
（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，
可整理为：2ax2+2ax＝0，
x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
19．（10分）（2020秋•陇西县期中）为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人．
（1）求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；
（2）列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率．
【分析】（1）5月份借阅了名著类书籍的人数是1000（1+10%），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：5月份借阅了名著类书籍的人数+340人；
（2）根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
5月份借阅了名著类书籍的人数是：1000×（1+10%）＝1100（人），
则6月份借阅了名著类书籍的人数为：1100+340＝1440（人）；
（2）设平均增长率为x．
1000（1+x）2＝1440
解得：x＝0.2
答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%．
【点睛】本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键．
20．（10分）（2020秋•青羊区校级月考）如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．已知有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．
（1）该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．
（2）若该小学要受到噪声的影响，则这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？
【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．
【解答】解：如图所示：
过点A作AC⊥ON于点C，
∵∠MON＝30°，OA＝160米，
∴ACOA＝80米，
∵80m＜100m，
∴该小学会受到噪声影响；
（2）以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会受到影响，
∴AB＝AD＝100米，
由勾股定理得：BC（米），
∴BD＝2BC＝120米，CD＝60米
∴影响的时间应是：t24（秒）；
答：拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是24秒．
【点睛】本题考查的是勾股定理和点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，100米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间．
21．（12分）（2020秋•赣榆区期中）2020年春节，一场新冠病毒疫情由武汉开始席卷了整个中华地区，全国人民齐心协力、共同抗疫．为了防止感染，N95口罩成为了大众纷纷抢购的必需品，由于需求增加导致价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：2020年2月份一盒N95口罩价格比2020年1月份上涨了30%，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒N95口罩花了52元．
（1）问：2020年1月份一盒N95口罩的价格为多少元？
（2）某超市将进货价为每盒39元的N95口罩，按2020年2月3日价格出售，平均一天能销售出100盒，经调查表明：N95口罩的售价每盒下降1元，其口罩销售量就增加10盒，超市为了实现销售N95口罩每天有1320元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，每盒N95口罩的售价应该下降多少元？
【分析】（1）设2020年1月份一盒N95口罩的价格为x元，根据2020年2月份一盒N95口罩价格比2020年1月份上涨了30%，某市民2020年2月3日在某超市订购了一盒N95口罩花了52元得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每盒N95口罩的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）盒，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2020年1月份一盒N95口罩的价格为x元，
依题意得（1+30%）x＝52．
解得x＝40．
答：2020年1月份一盒N95口罩的价格为40元；
（2）设每盒N95口罩的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）盒，
依题意，得：（52﹣y﹣39）（100+10y）＝1320．
解得y1＝1，y2＝2．
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以y＝2．
每盒N95口罩的售价应该下降2元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（12分）（2020秋•李沧区期中）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）1；
（三）1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简 ．
②参照（三）式化简 ．
（2）化简：．
【分析】（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）①；
②；
（2）原式．
故答案为：（1）①；②
【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．
23．（12分）（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．
【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


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得 分


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