苏科版七年级数学下册尖子生培优必刷题 第7章平面图形的认识（二）单元测试（基础过关卷）-【拔尖特训】（原卷版+解析 ）

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第7章平面图形的认识（二）单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•高邮市期中）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　）A． B． C． D．2．（2022春•启东市期中）下列生活现象中，属于平移的是（　　）A．升降电梯的上下移动 B．荡秋千运动 C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动3．（2022秋•鼓楼区校级月考）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（　　）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．(2023春•姜堰区期中）如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的边数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．75．（2022春•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　）A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确6．（2022秋•启东市校级期末）已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm7．（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（　　）A．38° B．45° C．52° D．58°8．（2022春•沭阳县校级月考）如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2022，则∠A2022的度数是（　　）A．α B．90+α C．α D．α二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•铜山区校级月考）如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是 　 　．10．（2022春•如皋市期中）如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则平移的距离为 　 　．11．（2022春•南京期末）结合如图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵　 　，∴a∥b．12．（2022春•秦淮区校级月考）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E与BC相交于G，若∠1＝40°，则∠2＝　 　°．13．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　°．14．（2022春•海州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中正确的是 　 　．（填序号）①BE＝CE；②∠C+∠CAF＝90°；③S△ABD＝S△ACD；④∠ADF＝（∠C﹣∠B）．15．（2014春•苏州期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是　 　．16．（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点 D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是 　 　度．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020春•江阴市期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出△ABC中AB边上的高CH；（提醒：别忘了标注字母）；（2）请画出平移后的△DEF；（3）平移后，求线段AC扫过的部分所组成的封闭图形的面积．18．（2022春•江都区月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　 　），∠AGC+∠AGD＝180°（ 　 　），所以∠BAG＝∠AGC（ 　 　）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝　 　（ 　 　）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝　 　，得∠1＝∠2（ 　 　），所以AE∥GF（ 　 　）．19．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．20．（2022春•东台市月考）已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．求：①求这个外角的度数；②求它的边数．21．（2022春•亭湖区校级月考）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1+∠2＝180°．（1）求证：AE∥DG；（2）若EF平分∠AEB，∠C＝35°，求∠BDG的度数．22．（2022春•高淳区校级期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度数．23．（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝　 　°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．24．（2022春•钟楼区期中）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是 　 　；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．第7章平面图形的认识（二）单元测试（基础过关卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2023春•高邮市期中）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意；选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意；选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意；选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．2．（2022春•启东市期中）下列生活现象中，属于平移的是（　　）A．升降电梯的上下移动 B．荡秋千运动 C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动【分析】根据平移的性质，即可解答．【解答】解：A、升降电梯的运动，属于平移现象，故A符合题意；B、荡秋千运动，不属于平移现象，故B不符合题意；C、把打开的课本合上，不属于平移现象，故B不符合题意；D、钟摆的摆动，不属于平移现象，故D不符合题意；故选：A．3．（2022秋•鼓楼区校级月考）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（　　）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【分析】根据三角形的稳定性可得答案．【解答】解：如图所示：要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．4．(2023春•姜堰区期中）如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作2条对角线，则这个多边形的边数是（　　）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，得出n﹣3＝2，求出n即可．【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得n﹣3＝2，解得n＝5．故选：B．5．（2022春•宿豫区期中）如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　）A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：根据题意知，从△ABD的一个顶点D向底边AB作垂线，垂足A与顶点D之间的线段叫做三角形的高．即AD是△ABD的高，即②正确．故选：D．6．（2022秋•启东市校级期末）已知三条线段长分别为3cm、4cm、a，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a的取值范围是（　　）A．1cm＜a＜5cm B．2cm＜a＜6cm C．4cm＜a＜7cm D．1cm＜a＜7cm【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出答案．【解答】解：∵三条线段长分别为3cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，∴4﹣3＜a＜3+4，即a的取值范围是：1cm＜a＜7cm．故选：D．7．（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（　　）A．38° B．45° C．52° D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．8．（2022春•沭阳县校级月考）如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2022，则∠A2022的度数是（　　）A．α B．90+α C．α D．α【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，∴∠A1＝∠A，∵∠A＝α，∴∠A1＝；同理可得∠A2＝∠A1＝•α＝，∴∠An＝，∴∠A2022＝．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•铜山区校级月考）如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是 　三角形的稳定性　．【分析】桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释．【解答】解：桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，这样做的数学依据是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．10．（2022春•如皋市期中）如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则平移的距离为 　4　．【分析】利用平移的性质解决问题即可．【解答】解：由平移的性质可知，BE＝CF，∵BF＝10，EC＝2，∴BE+CF＝10﹣2＝8，∴BE＝CF＝4，∴平移的距离为4，故答案为：4．11．（2022春•南京期末）结合如图，用符号语言表达定理“同位角相等，两直线平行”的推理形式：∵　∠1＝∠3　，∴a∥b．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理进行求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴a∥b．故答案为：∠1＝∠3．12．（2022春•秦淮区校级月考）如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E与BC相交于G，若∠1＝40°，则∠2＝　140　°．【分析】先利用长方形的性质可得AD∥BC，然后利用平行线的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1＝140°，故答案为：140．13．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　110　°．【分析】根据平行线的性质得到∠BDE＝∠B＝40°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°，∴∠BDE＝40°，由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝110°，∴∠ADE＝∠ADC＝110°．故答案为：110．14．（2022春•海州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则下列说法中正确的是 　①②　．（填序号）①BE＝CE；②∠C+∠CAF＝90°；③S△ABD＝S△ACD；④∠ADF＝（∠C﹣∠B）．【分析】根据中线、高线、角平分线、三角形面积和角之间的换算逐一分析即可．【解答】解：∵AE是中线，∴BE＝CE，①正确；在Rt△AFC中，∠C+∠CAF＝90°，②正确；△ABD与△ACD的高相等，底BD＞CD，∴S△ABD＞S△ACD，③错误；由题意可知，∠ADF＝90°﹣∠DAF，∵∠DAF＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝∠BAD﹣（90°﹣∠C），又∵∠BAD＝90°﹣∠B﹣∠DAF，∴∠DAF＝90°﹣∠B﹣∠DAF﹣（90°﹣∠C）＝∠C﹣∠B﹣∠DAF，∴∠ADF＝90°﹣（∠C﹣∠B﹣∠DAF）＝90°﹣∠C+∠B+∠DAF＝90°﹣∠C+∠B+90﹣∠ADF，∴2∠ADF＝180°﹣∠C+∠B，∴∠ADF＝90°﹣（∠C﹣∠B），④错误．故答案为：①②．15．（2014春•苏州期末）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是　7　．【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，解得n＝7．故答案为：7．16．（2022春•太仓市校级月考）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点 D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数是 　60　度．【分析】由题意AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，推出∠CAE＝∠BAE，∠ABF＝∠DBF，设∠CAE＝∠BAE＝x，设∠C＝y，∠ABC＝3y，想办法用含x和y的代数式表示∠ABF和∠DBF即可解决问题．【解答】解：如图：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，由外角的性质得：∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，∴x+20＝x+y，解得y＝40°，∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠DFB＝60°．故答案为：60．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020春•江阴市期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．（1）画出△ABC中AB边上的高CH；（提醒：别忘了标注字母）；（2）请画出平移后的△DEF；（3）平移后，求线段AC扫过的部分所组成的封闭图形的面积．【分析】（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；（2）利用点A、D的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F即可；（3）线段AC扫过的部分所组成的封闭图形为矩形，利用矩形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，CH为所做AB边上的高；（2）如图，△DEF为所作；（3）线段AC扫过的部分所组成的封闭图形的面积＝2×3＝12．18．（2022春•江都区月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ 　已知　），∠AGC+∠AGD＝180°（ 　邻补角的定义　），所以∠BAG＝∠AGC（ 　同角的补角相等　）．因为EA平分∠BAG，所以∠1＝　∠BAG　（ 　角平分线的定义　）．因为FG平分∠AGC，所以∠2＝　∠AGC　，得∠1＝∠2（ 　等量代换　），所以AE∥GF（ 　内错角相等，两直线平行　）．【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），因为EA平分∠BAG，所以∠1＝∠BAG（角平分线的定义），因为FG平分∠AGC，所以∠2＝∠AGC，得∠1＝∠2（等量代换），所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行．19．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．【分析】（1）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（2）利用“面积法”来求线段AD的长度．【解答】解：（1 ）如图在△ABC中，∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB•AC＝6，又∵AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ABC＝3；（2）AD是△ABC的高，∴S△ABC＝BC•AD，又∵S△ABC＝6，BC＝5cm，∴AD＝2.4cm．20．（2022春•东台市月考）已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．求：①求这个外角的度数；②求它的边数．【分析】根据多边形的内角和公式，用2011°除以180°，商加上2就是这个多边形的边数，余数是这个多边形的一个外角度数求解即可．【解答】解：①∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11…31°，∴这个外角的度数是31°；②∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11…31°，∴这个多边形的边数为：11+2＝13．21．（2022春•亭湖区校级月考）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，EF∥AC，且∠1+∠2＝180°．（1）求证：AE∥DG；（2）若EF平分∠AEB，∠C＝35°，求∠BDG的度数．【分析】（1）要证AE∥DG，根据∠1+∠2＝180°，只需要证明一组相关的同旁内角互补．（2）要求∠BDG的度数，由（1）只需要求出∠AEB的大小．【解答】（1）证明：∵EF∥AC，∴∠1＝∠CAE．∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠CAE＝180°．∴AE∥DG．（2）解：∵EF∥AC，∠C＝35°，∴∠BEF＝∠C＝35°．∵EF平分∠AEB，∴∠1＝∠BEF＝35°．∴∠AEB＝70°．由（1）知AE∥DG，∴∠BDG＝∠AEB＝70°．22．（2022春•高淳区校级期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度数．【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∴∠EDF＝∠B+∠1＝35°+40°＝75°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣75°＝15°．23．（2022春•常州期中）问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，试猜想∠P＝　80　°；探究：（2）在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；拓展：（3）将图①变为图②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度数．【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质即可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P作PM∥AB，结合（2）再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案为：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如图①，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如图②，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．24．（2022春•钟楼区期中）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是 　100°　；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．【分析】（1）延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，根据三角形的外角定理得∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，求得∠BCD+∠DAH，再根据角平分线定义求得∠BCE+∠BAE，再根据三角形的外角定理得∠AEC＝∠ABC+∠BAE+∠BCE便可；（2）过点C作射线AG，根据三角形的外角性质得∠BCD＝α+β+∠BAD，再由∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，得∠BCE＝，根据三角形外角性质得∠BFE＝α+∠BAD，进而得∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝；（3）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣α﹣β，由角平分线定义得∠BAD＝∠CAD＝90°﹣，由三角形外角定理得∠EDF＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+β，根据直角三角形两锐角互余定理得∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），进而便可求得结果．【解答】解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，∴∠DAH+∠AHD＝140°，∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD+∠DAH＝80°，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BCE+∠BAE＝40°，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，故答案为：100°；（2）过点C作射线AG，如图，∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；（3）的值不变，恒为．理由如下：∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，∵EF⊥BC，∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），∴＝，故的值不变，恒为．