苏科版七年级数学下册尖子生培优必刷题 第8章幂的运算单元测试（培优压轴卷）-【拔尖特训】（原卷版+解析 ）

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第8章幂的运算单元测试（培优压轴卷，七下苏科）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣a2）3•a3结果为（　　）A．﹣a9 B．a9 C．﹣a8 D．a82．（2022秋•洛川县校级期末）下列运算正确的是（　　）A．x4•x3＝x12 B．a10÷a2＝a5 C．（x2）5＝x10 D．（﹣5a2）3＝﹣15a63．（2022秋•广宗县期末）番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将0.0006米用科学记数法表示为（　　）A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米4．（2022秋•包头期末）计算（−513）2022×（﹣235）2023等于（　　）A．−135 B．﹣1 C．135 D．20105．（2022秋•丰宁县校级期末）如果（3n）2＝316，则n的值为（　　）A．3 B．4 C．8 D．146．(2023秋•东坡区期末）已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（　　）A．3 B．6 C．7 D．87．（2009春•荣成市校级期中）已知(x−1)x2−1=1，则x的值为（　　）A．±1 B．﹣1或2 C．1和2 D．0和﹣18．（2022•南京模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（　　）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022秋•奉贤区期中）填空：a3b6＝　 　3．10．（2022春•洛江区期末）计算：（﹣3）0+（12）﹣1＝　 　．11．（2022•南京模拟）若a2•am＝a6，则m＝　 　．12．(2023秋•路北区期末）若x+3y﹣3＝0，则2x•8y＝　 　．13．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是　 　．14．(2023秋•冷水滩区校级期中）已知（x﹣3）x+4＝1，则整数x的值是 　 　．15．(2023春•武侯区校级月考）我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m﹣n）＝f（m）÷f（n）（其中f（m），f（n）都为正数），请根据这种新运算填空：（1）若f（2）＝4，f（3）＝8，则f（1）＝　 　；（2）若f（2000）＝k，f（2）＝4，那么f（500）＝　 　（用含k的代数式表示，其中k＞0）．16．（2022秋•丰泽区校级期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）计算（4，2）+（4，3）＝（ 　 　）；（2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 　 　．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．幂的运算（1）（﹣2ab）3．（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10．18．用简便方法计算：（1）（−43）2018×（﹣0.75）2019；（2）2018n×（24036）n+1．19．计算：（1）23×22+2×24；（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．20．已知：2m＝3，2n＝5．求：（1）23m的值；　　　（2）23m﹣2n的值．21．（2022秋•大石桥市期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x×32y的值．（2）已知2m＝3，2n＝5，求24m+2n的值．22．我们约定：a⊗b＝10a÷10b，如4⊗3＝104÷103＝10（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×102和19⊗3⊗4；（3）想一想，（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）是否相等，验证你的结论．23．（2023•黔江区一模）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．请解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式 　 　；（2）求证：logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　 　．24．（2022秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．（1）若f（2）＝5，①填空：f（6）＝　 　；②当f（2n）＝25，求n的值；（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．第8章幂的运算单元测试（培优压轴卷，七下苏科）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•南关区校级期末）计算：（﹣a2）3•a3结果为（　　）A．﹣a9 B．a9 C．﹣a8 D．a8【分析】利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算计算并判断．【详解】解：（﹣a2）3•a3＝﹣a6•a3＝﹣a9．故选：A．2．（2022秋•洛川县校级期末）下列运算正确的是（　　）A．x4•x3＝x12 B．a10÷a2＝a5 C．（x2）5＝x10 D．（﹣5a2）3＝﹣15a6【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A、x4•x3＝x7，故A不符合题意；B、a10÷a2＝a8，故B不符合题意；C、（x2）5＝x10，故C符合题意；D、（﹣5a2）3＝﹣125a6，故D不符合题意；故选：C．3．（2022秋•广宗县期末）番茄果肉细胞的直径约为0.0006米，将0.0006米用科学记数法表示为（　　）A．6×10﹣4米 B．6×10﹣3米 C．6×104米 D．6×10﹣5米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0006＝6×10﹣4，故选：A．4．（2022秋•包头期末）计算（−513）2022×（﹣235）2023等于（　　）A．−135 B．﹣1 C．135 D．2010【分析】根据积的乘方与幂的乘方以及乘法的结合律进行计算即可．【详解】解：原式＝[（−513）×（﹣235）]2022×（﹣235）＝12022×（﹣235）=−135，故选：A．5．（2022秋•丰宁县校级期末）如果（3n）2＝316，则n的值为（　　）A．3 B．4 C．8 D．14【分析】把左边的数化成底数是3的幂的形式，然后利用利用相等关系，可得出关于n的相等关系，解即可．【详解】解：∵（3n）2＝[（3）2]n＝32n，∴32n＝316，∴2n＝16，∴n＝8．故选：C．6．(2023秋•东坡区期末）已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是（　　）A．3 B．6 C．7 D．8【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，再进行求解即可．【详解】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，∴52a•52b＝56，4b﹣c＝4，∴2a+2b＝6，b﹣c＝1，即a+b＝3，b﹣1＝c，∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3（b﹣1）＝3a+3b﹣3＝3（a+b）﹣3＝3×3﹣3＝9﹣3＝6．故选：B．7．（2009春•荣成市校级期中）已知(x−1)x2−1=1，则x的值为（　　）A．±1 B．﹣1或2 C．1和2 D．0和﹣1【分析】分别根据0指数幂及1的任何次幂都等于1、﹣1的偶次幂等于1，列出方程求出x的值即可．【详解】解：由题意得，（1）x−1≠0x2−1=0，解得x＝﹣1；（2）x﹣1＝1，解得x＝2；（3）x−1=−1x2−1为偶数，此方程组无解．所以x＝﹣1或2．故选：B．8．（2022•南京模拟）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（　　）A．2k+2021 B．2k+2022 C．kn+1010 D．2022k【分析】根据h（m+n）＝h（m）•h（n），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．【详解】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2n）•h（2020）＝h(2+2+...+2)︸n个•h(2+2+...+2)︸1010个=ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸n个•ℎ(2)⋅ℎ(2)⋅...⋅ℎ(2)︸1010个 ＝kn•k1010＝kn+1010，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2022秋•奉贤区期中）填空：a3b6＝　（ab2）　3．【分析】利用幂的乘方和积的乘方运算法则计算．【详解】解：a3b6＝（ab2）3．故答案为：（ab2）．10．（2022春•洛江区期末）计算：（﹣3）0+（12）﹣1＝　3　．【分析】分别利用零指数幂和负整数指数幂计算各项，再相加．【详解】解：原式＝1+2＝3，故答案为：3．11．（2022•南京模拟）若a2•am＝a6，则m＝　4　．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【详解】解：原式等价于a2+m＝a6，即2+m＝6，解得m＝4，故答案为：4．12．(2023秋•路北区期末）若x+3y﹣3＝0，则2x•8y＝　8　．【分析】根据已知条件求得x＝3﹣3y，然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．【详解】解：∵x+3y﹣3＝0，∴x＝3﹣3y，∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．故答案是：8．13．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是　4　．【分析】先将原式变形为同底数幂的形式，然后再依据同底数幂的除法和乘法法则计算即可．【详解】解：原式＝2a÷22b×2﹣3c＝2a﹣2b﹣3c＝22＝4．故答案为：4．14．(2023秋•冷水滩区校级期中）已知（x﹣3）x+4＝1，则整数x的值是 　4或2或﹣4　．【分析】分三种情况讨论①x﹣3＝1时，②x﹣3＝﹣1时，③当x+4＝0时，分别求解即可．【详解】解：∵（x﹣3）x+4＝1，∴①x﹣3＝1时，x＝4，②x﹣3＝﹣1时，x＝2，x+2＝4，成立，③当x+4＝0时，x＝﹣4，成立，∴整数x的值是：4或2或﹣4．故答案为：4或2或﹣4．15．(2023春•武侯区校级月考）我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am﹣n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m﹣n）＝f（m）÷f（n）（其中f（m），f（n）都为正数），请根据这种新运算填空：（1）若f（2）＝4，f（3）＝8，则f（1）＝　2　；（2）若f（2000）＝k，f（2）＝4，那么f（500）＝　k4750　（用含k的代数式表示，其中k＞0）．【分析】（1）根据题目中提供的运算性质进行计算即可；（2）f（500）＝f（2000﹣1500）再根据题目的方法计算．【详解】解：（1）f（1）＝f（3﹣2）＝f（3）÷f（2）＝8÷4＝2，故答案为：2；（2）∵f（2000）＝k，f（2）＝4，∴f（1998）＝f（2000﹣2）＝f（2000）÷f（2）＝k÷4=k4，f（1996）＝f（1998﹣2）＝f（1998）÷f（2）=k4÷4=k42，…f（500）＝f（502﹣2）＝f（502）÷f（2）=k4750，故答案为：k4750．16．（2022秋•丰泽区校级期中）若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）计算（4，2）+（4，3）＝（ 　4，6　）；（2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 　12≤k＜1且4k为正整数　．【分析】（1）设（4，2）＝x，（4，3）＝y，则4x＝2，4y＝3，然后代入计算可得答案；（2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，c=2mn，可得（42x﹣4，54k）=2x−44k(4，5)．设4t＝5（t＞1），则2x−44kt≥t，2x−44k≥1，然后根据题意可得答案．【详解】解：（1）设（4，3）＝y，（4，2）＝x，则4y＝3，4x＝2，∵4x+y＝4x•4y＝2×3＝6，∴（4，6）＝x+y，∴（4，2）+（4，3）＝（4，6）；故答案为：（4，6）；（2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，c=2mn，∴（2n，4m）=2mn=mn(2，4)．∴（42x﹣4，54k）=4k2x−4（4，5），∵（4，5）≤（42x﹣4，54k），∴2x−44k(4，5)≥(4，5)；设4t＝5（t＞1），则2x−44kt≥t，∴2x−44k≥1，∴2x﹣4≥4k，x≥2k+2；∵2x﹣4＞0，4k＞0，∴x＞2，k＞0，且x、k均为正整数，且x只有两个正整数解，∴3≤x≤4，3≤2k+2≤4，∴12≤k≤1且4k为正整数．故答案为：12≤k≤1且4k为正整数．三．解答题（共8小题）17．幂的运算（1）（﹣2ab）3．（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10．【分析】（1）积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可；（2）先根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则化简，再合并同类项即可．【详解】解：（1）（﹣2ab）3＝（﹣2）3a3b3＝﹣8a3b3；（2）（x2y3）4+（﹣2x4y）2y10＝x8y12+4x8y2•y10＝x8y12+4x8y12＝5x8y12．18．用简便方法计算：（1）（−43）2018×（﹣0.75）2019；（2）2018n×（24036）n+1．【分析】（1）根据把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答即可；（2）根据把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘解答即可．【详解】解：（1）(−43)2018×(−0.75)2019={−43×(−34)]2018×(−34) =−34；（2）2018n×(24036)n+1=2018n×(12018)n+1 =(2018×12018)n×12018 =12018．19．计算：（1）23×22+2×24；（2）x5•x3﹣x4•x4+x7•x+x2•x6；（3）（﹣x）9•x5•（﹣x）5•（﹣x）3．【分析】（1）（2）根据同底数幂的乘法法则计算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【详解】解：（1）原式＝25+25＝2×25＝26＝64；（2）原式＝x8﹣x8+x8+x8＝2x8；（3）原式＝﹣x9•x5•（﹣x5）•（﹣x3）＝﹣x9•x5•x5•x3＝﹣x22．20．已知：2m＝3，2n＝5．求：（1）23m的值；　　　（2）23m﹣2n的值．【分析】（1）原式利用幂的乘方运算法则变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用同底数幂的除法，以及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：（1）∵2m＝3，∴原式＝（2m）3＝27；（2）∵2m＝3，2n＝5，∴原式＝（2m）3÷（2n）2＝27÷25=2725．21．（2022秋•大石桥市期中）（1）已知2x+5y﹣3＝0，试求4x×32y的值．（2）已知2m＝3，2n＝5，求24m+2n的值．【分析】（1）4x×32y＝（22）x×（25）y＝22x•25y＝22x+5y，再代入求值即可；（2）24m+2n＝（2m）4×（2n）2，再代入求值即可．【详解】解：（1）4x×32y＝（22）x×（25）y＝22x•25y＝22x+5y，∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴22x+5y＝23＝8，∴4x×32y的值为8；（2）24m+2n＝（2m）4×（2n）2，∵2m＝3，2n＝5，∴（2m）4×（2n）2＝34×52＝2025，∴24m+2n的值为2025．22．我们约定：a⊗b＝10a÷10b，如4⊗3＝104÷103＝10（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×102和19⊗3⊗4；（3）想一想，（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）是否相等，验证你的结论．【分析】（1）根据a⊗b＝10a÷10b，可得答案；（2）根据a⊗b＝10a÷10b，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的乘除法，可得答案；（3）根据a⊗b＝10a÷10b，可得同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：12⊗3＝1012÷103＝109；10⊗4＝1010÷104＝106；（2）21⊗5×102＝1021÷105×102＝1016×102＝1018；19⊗3⊗4＝（1019÷103）⊗4＝101016÷104＝101016−4（3）（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）不相等，理由如下：（a⊗b）⊗c＝（10a÷10b）⊗c＝1010a−b÷10c＝1010a−b−c，a⊗（b⊗c）＝a⊗（10b÷10c）＝10a÷1010b−c=10a﹣10b﹣c，∴（a⊗b）⊗c和a⊗（b⊗c）不相等．23．（2023•黔江区一模）阅读以下材料：指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN．请解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式 　4＝log381　；（2）求证：logaMN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　2　．【分析】（1）根据指数与对数的关系求解．（2）根据指数与对数的关系求证．（3）利用对数运算法则求解．【详解】解：（1）根据指数与对数关系得：4＝log381．故答案为：4＝log381．（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴MN=am÷an＝am﹣n．∴logaMN=logaam﹣n＝m﹣n＝logaM﹣logaN．∴logaMN=logaM﹣logaN．（3）原式＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．故答案为：2．24．（2022秋•鲤城区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．（1）若f（2）＝5，①填空：f（6）＝　125　；②当f（2n）＝25，求n的值；（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可；（2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．【详解】解：（1）①∵f（2）＝5，∴f（6）＝f（2+2+2）＝f（2）•f（2）•f（2）＝5×5×5＝125；故答案为：125；②∵25＝5×5＝f（2）•f（2）＝f（2+2），f（2n）＝25，∴f（2n）＝f（2+2），∴2n＝4，∴n＝2；（2）∵f（2a）＝f（a+a）＝f（a）•f（a）＝3×3＝31+1＝32，f（3a）＝f（a+a+a）＝f（a）•f（a）•f（a）＝3×3×3＝31+1+1＝33，…，f（10a）＝310，∴f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）＝3×32×33×…×310＝31+2+3+…+10＝355．