备战2024年高考数学重难点题型突破讲义 重难点专题17 三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总-【划重点】（新高考通用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题17三角函数最值与取值范围问题十三大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145945308" 题型1单调性与最值 PAGEREF _Tc145945308 \h 1
\l "_Tc145945309" 题型2辅助角公式求最值 PAGEREF _Tc145945309 \h 2
\l "_Tc145945310" 题型 3一元二次函数与最值 PAGEREF _Tc145945310 \h 3
\l "_Tc145945311" 题型4sinx与csx和差求最值 PAGEREF _Tc145945311 \h 4
\l "_Tc145945312" 题型5分式型最值 PAGEREF _Tc145945312 \h 5
\l "_Tc145945313" 题型6绝对值型求最值 PAGEREF _Tc145945313 \h 7
\l "_Tc145945314" 题型7三角换元法求最值 PAGEREF _Tc145945314 \h 8
\l "_Tc145945315" 题型8三角换元法与向量求最值 PAGEREF _Tc145945315 \h 9
\l "_Tc145945316" 题型9三角换元法与根号型求最值 PAGEREF _Tc145945316 \h 11
\l "_Tc145945317" 题型10换元法求最值 PAGEREF _Tc145945317 \h 11
\l "_Tc145945318" 题型11距离与斜率型 PAGEREF _Tc145945318 \h 12
\l "_Tc145945319" 题型12参变分离 PAGEREF _Tc145945319 \h 13
\l "_Tc145945320" 题型13复合函数型 PAGEREF _Tc145945320 \h 13
题型1单调性与最值
【例题1】（多选）（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+π6在0,4上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则整数ω的取值可能是（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【变式1-1】1.（多选）（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数fx=sinωx+φω>0满足fx0=fx0+1=22，且fx在x0,x0+1上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．fx0+12=1B．若x0=0，则fx=sinπx+π4
C．fx的最小正周期为4D．fx在0,2024上的零点个数最少为1012个
【变式1-1】2. （2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）关于函数fx=sinx−xcsx，下列说法正确的是（ ）
A．fx是偶函数B．0是fx的极值点
C．fx在−π2,π2上有且仅有2个零点D．fx的值域是R
【变式1-1】3. （多选）（2020秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数fx=sinxx，x∈0,π，则下列结论正确的有（ ）
A．fx在区间0,π上单调递减
B．若0x2⋅sinx1
C．fx在区间0,π上的值域为0,1
D．若函数gx=xg'x+csx，且gπ=−1，gx在0,π上单调递减
【变式1-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f5π12且f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则ω= ．
【变式1-1】5．（2023·全国·高三专题练习）若a、b为实数，且a题型2辅助角公式求最值
【例题2】（2023·天津东丽·校考模拟预测）已知函数fx=sinωx+csωxω>0图象的最小正周期是π，则（ ）
① fx的图象关于点3π8,0对称
② 将fx的图象向左平移π8个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称
③fx在0,π2上的值域为−1,1
④ fx在−π4,0上单调递增
A．①②④B．①②③C．②④D．②③④
【变式2-1】1．（2023·天津·三模）已知fx=msinωx−csωxm>0,ω>0，gx=2tanx，若对∀x1∈R，∃x2∈0,π4，使得fx1≤gx2成立，若fx在区间0,π上的值域为−1,2，则实数ω的取值不可能是.
A．43B．1C．23D．12
【变式2-1】2. （2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+cs(ωx+5π6),(ω>0)在[0,π]上的值域为[−32,1]，则ω的取值范围为 .
【变式2-1】3. （2023·陕西铜川·统考二模）已知函数fx=csx+π2csx+π4，若x∈−π4,π4，则函数fx的值域为 .
【变式2-1】4. （2023·四川达州·统考二模）函数y=2sinωx+25cs2ωx2−5(ω>0)在区间0,m上的值域为5,3，则sinmω的取值范围为 .
题型 3一元二次函数与最值
【例题3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=4sin2π2+x+4sinx，x∈0,a的值域为4,5，则实数a的取值范围为（ ）
A．π6,π2B．π6,5π6C．π6,πD．5π6,π
【变式3-1】1. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=2sin2x−3sinx+1，则（ ）
A．fx是偶函数B．fx在区间−π4,0上单调递增
C．fx在−π,π上有4个零点D．fx的值域是0,6
【变式3-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设函数fx=−32cs2x+asinx+a+92，a∈R.若方程fx=0在0,π上有4个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
【变式3-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数gx=sin2x−csx+a,x∈π2,π有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设x1，x2是g（x）的两个零点，证明：x1+x2<3π2．
【变式3-1】4. （2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）已知a∈R，函数f(x)=sin2x−asinx.
(1)当a=2时，求f(x)的值域；
(2)若函数y=f(x)−fπ2−x在区间0,π2上是严格增函数，求a的最大值；
(3)设a=12,u∈R.方程f(x)=u的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.
【变式3-1】5.（2022秋·广东佛山·高三华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数fx=14cs2x+bcsx+c.
（1）当b=1,c=1，则fx的最大值为 ；
（2）若对任意x1、x2∈R，都有fx1−fx2≤4，则b的取值范围为 .
题型4sinx与csx和差求最值
【例题4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=sinx+csxsinxcsx+1，将fx的图像向右平移π4个单位长度，得到gx的图像，则（ ）
A．π为fx的一个周期
B．fx的值域为[-1，1]
C．g(x)的图像关于直线x=0对称
D．曲线y=fx在点 −π4,f−π4处的切线斜率为22
【变式4-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=cs2x+2sinx⋅cs2x−2sin2xcsx2csx+π4的值域为（ ）
A．−2+1,2+1B．−2+1,2+1C．−54,2+1D．−54,2+1
【变式4-1】2. （2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知函数fx=sinx+csx−asinxcsx，a∈R．
(1)当a=0时，求函数fx的单调递增区间；
(2)若x∈0,π，关于x的方程fx=0有三个不等的实根，求a的取值范围．
【变式4-1】3.（多选） （2023春·湖南·高三统考阶段练习）已知函数fx=ax+bx−cx，其中a，b，c∈0,+∞，f2=0，则下列结论正确的是（ ）
A．f12>0B．f3<0
C．fx在R上单调递减D．f1f−1最大值为4−22
题型5分式型最值
【例题5】（2020·全国·高三专题练习）已知fx=cs3xcsx+1,将fx的图象向左平移π6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到gx的图象，下列关于函数gx的说法中正确的个数为
①函数gx的周期为π2;②函数gx的值域为−2,2;③函数gx的图象关于x=−π12对称;④函数gx的图象关于π24,0对称.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5-1】1. （2022·全国·高三专题练习）函数f(x)=sin4x+3cs4xsin2x−3cs2x的值域为
A．−2,2B．−1,1C．−1,1D．−2,2
【变式5-1】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=6sinxcsx2cs2x+1，则（ ）
A．fx的图象关于点π2,0对称B．π2为fx的一个周期
C．fx的值域为−3,3D．fx在π3,2π3上单调递减
【变式5-1】3. （多选）（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)=sin2x+1sinx+csx+2，则（ ）
A．f(x)的图像关于直线x=π4对称
B．f(x)在−π2,0上递增
C．f(x)的值域是[0,2+2]
D．若方程f(x)=83在0,45π4上的所有实根按从小到大的顺序分别记为x1,x2,⋯,xn，则x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn=115π
【变式5-1】4. （2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=3−sinx2+csx的值域为 .
题型6绝对值型求最值
【例题6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=asinx−π4+bsinx+π4，其中a、b>0.则下列说法中正确的有（ ）.
A．fx的最小值为−a
B．fx的最大值为a2+b2
C．方程fx=b在−3π4,5π4上有三个解
D．fx在π2,3π2上单调递减
【变式6-1】1. （2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=csx，若对任意实数x1，x2，方程fx−fx1+fx−fx2=mm∈R有解，方程fx−fx1−fx−fx2=nn∈R也有解，则m+n的值的集合为 .
【变式6-1】2. （2022·全国·高三专题练习）给出以下命题：
①若α、β是第一象限角且α<β，则tanα②函数y=sinx−xx∈−π2,π2有三个零点；
③函数y=sin2x+sinxsinx+1是奇函数；
④函数y=sinx−12的周期是2π；
⑤函数f(x)=−4sin2x+4csx+1−a，当x∈−π4,2π3时f(x)=0恒有解，则a的范围是[−4,5].
其中正确命题的序号为 .
【变式6-1】3. （2023春·浙江温州·高三统考开学考试）函数f(x)=x−a+csx在0,b上的值域为−1,3π2，则ba的值为 ．
【变式6-1】4. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=sinx+csx−sin2x−1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx是以π为周期的函数
B．直线x=π2是曲线y=f(x)的对称轴
C．函数fx的最大值为2，最小值为2−2
D．若函数fx在区间0,Mπ上恰有2023个零点，则20232【变式6-1】5.（2022春·新疆·高三校考阶段练习）定义：设不等式fx>0的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sinx+csx>2mx+sinx−csx在(0,π)上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（ ）
A．[cs22,cs1)B．(cs22,cs1]C．cs2,cs1D．cs2,sin2
题型7三角换元法求最值
【例题7】（2023秋·广东清远·高三校考阶段练习）若x2+y2=2，那么2x−3y的最大值为 .
【变式7-1】1. （2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数x1、x2、y1、y2满足x12+y12=1,x22+y22=4,x1x2+y1y2=1，则x1+x2的最大值为 ．
【变式7-1】2. （2023·全国·高三专题练习）设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的取值范围是 .
【变式7-1】3. （2023·上海普陀·统考一模）设a1、a2、a3均为正数且a12+a22=a32，则使得不等式1a1+1a2+1a3≥ka1+a2+a3总成立的k的取值范围为 ．
【变式7-1】4. （2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点Px1,y1，Qx2,y2的曼哈顿距离为LPQ=x1-x2+y1-y2.若点P-2,1，Q是圆M:(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点，则LPQ的取值范围为（ ）
A．-2,2B．2,3+2C．-2,3-2D．3-2,3+2
【变式7-1】5.（2022·北京·高三强基计划）设a，b，c为正数，且a2+b2+c2=1，则a(a+b+c)的最大值为（ ）
A．3+12B．2+12C．32D．22
题型8三角换元法与向量求最值
【例题8】（2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则BP⋅AC的取值范围是 ．
【变式8-1】1. （2020·全国·高三专题练习）如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=120°，点P在弧BC上运动，AP=xAB+yAC，则3x+y的最大值为 .
【变式8-1】2. （2022·山东日照·统考一模）在ΔABC中，∠A=π3，且(AB+AC)⋅BC=0，点M是ΔABC外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为 ．
【变式8-1】3. （2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知△ABC外接圆的圆心为O，AB=AC=8，AO=αAB+βACα,β∈R，若21+csAtαsinA+βcs2At∈R有最大值32，则参数t的值为 ．
【变式8-1】4.（2022秋·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|=2，DA⋅BC=DB⋅AC=DC⋅AB=0，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值为 ．
【变式8-1】5.（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）如图，扇形AOB的圆心角为2π3，半径为1．点P是AB上任一点，设∠AOP=αα∈0,2π3．
(1)记fα=OP⋅AB，求fα的表达式；
(2)若OP=xOA+yOB，求x2+y2的取值范围．
【变式8-1】6.（2022秋·天津宝坻·高三校考阶段练习）已知边长为43的正△ABC，内切圆的圆心为O，过B点的直线l与圆相交于M，N两点，（1）若圆心O到直线l的距离为1，则MN= ；（2）若BM=λBA+μBCλ,μ∈0,+∞，则λ+μ的取值范围为 ．
【变式8-1】7. （多选）（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，AP=λAB+μAE，则（ ）
A．μ最大值为1B．AP·AB最大值是8
C．λ最大值为5+14D．AP⋅ AC最大值是8+82
题型9三角换元法与根号型求最值
【例题9】（2021秋·天津红桥·高三统考期中）设a≥0，则2a+2a2+12a+1的最小值是 ．
【变式9-1】1. （2020春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）若y=x−4+18−3x，则y的取值范围是
【变式9-1】2. （2021秋·江西吉安·高三江西省万安中学校考开学考试）已知a,b,c∈[−4,4]，则|a−b|+|b−c|+2|c−a|的最大值为 .
【变式9-1】3. （2021秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设r，t∈R满足r−2t−2r−t+1=0，则r的取值范围是 ．
题型10换元法求最值
【例题10】（2008·重庆·高考真题）函数f(x)=sinx5+4csx(0≤x≤2π)的值域是
A．[-14,14]B．[-13,13]
C．[-12,12]D．[-23,23]
【变式10-1】1. （2022春·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考期中）函数f(x)=sinx+13+2csx+sinx的最大值是（ ）
A．35B．335C．45D．425
【变式10-1】2.．（2022·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知α，β∈0,π2，2sin(α+β)=sinαsinβ，则cs(α+β)sinαsinβ+sin(α+β)csαcsβ的最小值为（ ）
A．2−1B．2C．11916D．11316
【变式10-1】3.（2020秋·河南新乡·高三校联考阶段练习）函数y=−1+sinxsinx+csx0≤x≤π2的最大值和最小值分别为（ ）
A．1,−1 B．22,−22C．22，0D．0,−1
题型11距离与斜率型
【例题11】（2020·江苏盐城·盐城市第一中学校考二模）已知函数f(α)=2(csα+12)2+sin2α−cs2α+(sinα−12)2，若集合a∈Rf(α)≥m≠∅，则实数m的取值范围为 .
【变式11-1】1. （2023·全国·高三专题练习）函数fx=5cs2x−4sinx+5−3csx的最大值为（ ）.
A．22B．23C．25D．3
【变式11-1】2. （2022·全国·高三专题练习）设圆O:x2+y2=1上两点Ax1,y1，Bx2,y2满足：OA⋅OB=−12，则x1−2y1+x2−2y2的取值范围是 .
【变式11-1】3．（2023·全国·高三专题练习）存在实数α∈R使得2csα+122+sin2α−cs2α+sinα−122≥m，则实数m的取值范围为 .
【变式11-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知x∈[−3，3]，y∈R+，则(x−y)2+(3−x2−9y)2的最小值为 .
【变式11-1】5. （2022·上海·高三专题练习）函数y=−x2+4x−3+3x+1的值域为 .
题型12参变分离
【例题12】（2021·全国·高三专题练习）不等式x2+1csθ−x(csθ−5)+3x2−x+1>sinθ−1对于所有实数x都成立，求θ的取值范围.
【变式12-1】（2021·浙江金华·统考一模）已知函数fx=t+sinxt+csxt>1的最大值和最小值分别是M,m，则M⋅m为( )
A．1B．2C．-1D．-2
题型13复合函数型
【例题13】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的偶函数fx，当x≥0时满足fx=4csxsin(x+π6)−1,0≤x≤π612x−π6+1+32,x>π6，关于x的方程fx2+2afx+2=0有且仅有6个不同实根，则实数a的取值范围是 .
【变式13-1】1. （2020·湖南岳阳·高三校考阶段练习）设函数fx=2csπ3x,x∈−6,612x,x∈−∞,−6∪6,+∞，若关于x的方程fx2+afx+1=0a∈R有且仅有12个不同的实根，则实数a的取值范围是 .
【变式13-1】2. （2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示.
(1)求fx的解析式；
(2)若x∈π6,2π3，关于x的方程fx2−mfx+1=0恰有两个实根，求m的取值范围.
1. （2023·江西九江·统考一模）已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π，f(x)的图像关于点π12,0对称，f(0)>0．若f(x)在[0,m]上存在最大值2，则实数m的最小值是 ．
2. （2022·四川泸州·统考一模）已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，记函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为Mt，最小值为mt，设ℎ(t)=Mt−mt，则函数ℎ(t)的值域为（ ）
A．1−22,1B．1−22,1+22
C．1−22,2D．22,1+22
3. （多选）（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数f(x)=sinπ6+xcsπ3−x，则以下说法中正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的值域为0,1
C．fx+π12为奇函数D．若f(x)在区间0,a上单调，则a的最大值为π3
4. （2023·北京海淀·校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，OP=1，若AP=λAB+μAD．
（1）λ的取值范围是 ；
（2）当λ+μ取得最大值时，AP=
5．（2021·全国·统考高考真题）函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2
6．（2023·全国·统考高考真题）已知实数x,y满足x2+y2−4x−2y−4=0，则x−y的最大值是（ ）
A．1+322B．4C．1+32D．7
7．（2021·北京·统考高考真题）函数f(x)=csx−cs2x是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为98D．偶函数，且最大值为98
8．（2022·全国·统考高考真题）记函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=32，x=π9为f(x)的零点，则ω的最小值为 ．
利用正弦型函数的单调性求解对应区间的最值问题
通过辅助角公式化简成正弦型函数，进而求解对应区间的最值问题
类比一元二次函数，求解最值
利用sinx+csx与sinxcsx的关系，通过换元可以进行代数式的化简
1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=m+kcsxn+pcsx（或者cs x换成sinx）.
2.可以用辅助角：上下同名型：g（x）=m+kcsxn+pcsx（或者cs x与sinx互换）.
绝对值型需要进行分类讨论，再进行分析
1.二次型双变量可以三角换元.
2.椭圆型，或者双变量型，可以适当选择多项式三角函数换元.
向量中的三角换元原理之一，就是源于|a|=R，实质是圆，所以模定值，可以用圆的参数方程代换
无理单根号，双根号等等三角换元的数字特征.
1.单根号，一般是齐次关系.
2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x.
3.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约.