沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题17 矩形（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题17 矩形（专题强化）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
2．(本题4分)(2023·内蒙古赤峰·八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．(本题4分)(2023·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，交于，，则度数为（ ）
A．B．C．D．
4．(本题4分)(2023·辽宁·抚顺市新抚区华园初级中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（ ）
A．16B．8C．16D．8
5．(本题4分)(2023·河北邢台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．(本题4分)(2023·广东广州·二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（ ）
A．B．C．10D．8
7．(本题4分)（2020·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、．N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝2CEB．△BCE≌ △BDEC．∠BEC＝∠BDCD．BE平分∠CBD
8．(本题4分)(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
9．(本题4分)(2023·湖南永州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB=4，AD=5，则EC的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．(本题4分)（2022·浙江金华·九年级期末）陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2016·山西·九年级专题练习）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是：_______________________________．
12．(本题5分)(2023·辽宁锦州·八年级期中）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为 ___．
13．(本题5分)(2023·全国·八年级课时练习）中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．
14．(本题5分)（2022·全国·八年级）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2020·上海市文来中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数．
16．(本题8分)(2023·江西·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作于点F，点E在BF的延长线上，且．
（1）求证：．
（2）若，F是AO的中点，求BC的长．
17．(本题8分)（2020·天津市小站实验中学七年级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形的面积；
②点P（，0）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积．请直接写出点P坐标．
18．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．
19．(本题10分)(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
20．(本题10分)(2023·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
21．(本题12分)(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
22．(本题12分)(2023·辽宁鞍山·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中点到轴、轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个知形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的倍时，称点是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．
（1）点，，中，是“幸福点”的点为______；
（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请求出满足条件的“幸福点”的坐标．
23．(本题14分)(2023·浙江温州·八年级期末）如图1，四边形是平行四边形，点在边上，过点作，交于点，G、分别是，的中点，连接EH，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，；
①当时，求四边形的面积；
②如图2，延长交于点，连结，△APG的面积是 S1,的面积为，若，求的值．
专题17 矩形（专题强化）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)(2023·重庆巴蜀中学九年级开学考试）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．对边平行且相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质逐项分析即可．
【详解】
矩形是特殊的平行四边形，矩形的对边平行且相等，对角线相等，是轴对称图形，故A,B,D选项正确，不符合题意，
对角线互相垂直是菱形的性质，故C不正确，符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
2．(本题4分)(2023·内蒙古赤峰·八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可证△AEF≌△DCE，可得AE=CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+ CD）=16，可求AE的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF=90°
∴∠CED+∠AEF=90°
∵∠CED+∠DCE=90°
∴∠DCE=∠AEF
∵∠A=∠D，∠DCE=∠AEF ，CE=EF，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）=16， 且DE=2
∴2AE=6
∴AE=3
故选择：A.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
3．(本题4分)(2023·陕西·西安市汇文中学九年级开学考试）如图，矩形中，对角线、相交于点，交于，，则度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4．(本题4分)(2023·辽宁·抚顺市新抚区华园初级中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（ ）
A．16B．8C．16D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，∠AOD＝60°，△AOD是等边三角形，可求出BD，勾股定理可求出AB，即可求出矩形的面积．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OB＝OC
∵∠AOD＝60°
∴△AOD是等边三角形
∴AD＝OD＝AO＝4
∴BD＝8
∴AB＝
∴矩形的面积＝4×=
故选：C
【点睛】
本题主要考查矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键．
5．(本题4分)(2023·河北邢台·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
【详解】
解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5-3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故选：D
【点睛】
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
6．(本题4分)(2023·广东广州·二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（ ）
A．B．C．10D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
由折叠得：FA＝FC＝5，∠CFE＝∠AFE，再由矩形的性质，得出△DCF是直角三角形，利用勾股定理可计算出DF点长，后可得出结论．
【详解】
解：由折叠得：FA＝FC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，CD＝4，
∴△CDF是直角三角形，
∴DF＝=3，
∴BC＝AD＝AF+DF＝8；
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质，准确使用勾股定理是解题的关键．
7．(本题4分)（2020·江苏苏州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、．N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝2CEB．△BCE≌ △BDEC．∠BEC＝∠BDCD．BE平分∠CBD
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AD=BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明BDC=2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明BEC=2∠A，从而得到∠BEC=∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，进而对A、B、D选项进行判断．
【详解】
解：由作法得DE垂直平分AB，
AE=BE，AD=BD，
D点为Rt△ABC的斜边AB上的中点，
DA=DC，
∠A=∠ACD，
∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
EA=EB，
∠A=∠ABE
∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A
∠BEC=∠BDC，所以C选项的结论正确；
只有当∠A=30'时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D选项不一定成立．
故选：C
【点睛】
本题考查了作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．(本题4分)(2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可；
【详解】
解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C不符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键．
9．(本题4分)(2023·湖南永州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处，AB=4，AD=5，则EC的长为（ ）
A．B．
C．2D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质得，，，根据矩形的性质得，，，在中，由勾股定理求出，即可求出，在中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】
根据翻折的性质得，，，
根据矩形的性质得，，，
，都是直角三角形，
在中，，
，
设为x，则为，
在中，，
，
解得：，
的长为．
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的翻折问题以及勾股定理，掌握翻折的性质、矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
10．(本题4分)（2022·浙江金华·九年级期末）陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形、平行线性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
选项A，两组对边分别相等
∴四边形为平行四边形
∴两组对边分别平行
∵其中一个内角为直角
∴相邻的两个内角均为直角
∴四边形为矩形
∵测量长为4cm、宽为3cm
∴选项A符合题意
选项B，三个内角均为直角
∴四个角均为直角，即为矩形
∵测量长为4cm、宽为3cm
∴选项B符合题意；
选项C，两个对角为直角无法推导得其他两个内角为直角
∴四边形可能不是矩形
∴选项C不符合题意；
选项D，两个相邻内角相等，且均为直角
∴测量长为4cm的两个边平行且相等
∴四边形为矩形
∵测量长为4cm、宽为3cm
∴选项D符合题意
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形、平行四边形、平行线的知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定性质，从而完成求解．
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2016·山西·九年级专题练习）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是：_______________________________．
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形．
【解析】
【分析】
根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可．
【详解】
解：∵门窗所构成的形状是矩形，
∴根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．
【点睛】
本题主要考查矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形为矩形，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
12．(本题5分)(2023·辽宁锦州·八年级期中）长方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为（﹣3，3），则点C的坐标为 ___．
【答案】（2，3）
【解析】
【分析】
由题意易证BC∥AD，则有点B与点C的纵坐标相等，然后根据两点距离公式可进行求解．
【详解】
解：在长方形ABCD中，BC∥AD，
∴点B与点C的纵坐标相等，
设点，
∵AD＝5，
∴BC＝5，
∴，
∴C（2，3）；
故答案为（2，3）．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形，熟练掌握求一个点的坐标是解题的关键．
13．(本题5分)(2023·全国·八年级课时练习）中，延长至D使得，延长至E使得，当满足条件____________时，四边形是矩形．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，结合矩形的判定定理即可求得．
【详解】
如图，中，延长至D使得，延长至E使得，
当时，四边形是矩形
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质与判定定理，掌握矩形的性质与判定定理是解题的关键．
14．(本题5分)（2022·全国·八年级）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】
【分析】
分两种情况：①若OP=OD时，由勾股定理求出求出CP=3，②若PD=OD时，作DM⊥BC于点M，由勾股定理求出PM=3；分别得出P点的坐标即可．
【详解】
解：∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），
∴BC=OA=10，OC=AB=4，
∵点D是OA的中点，
∴OD=AD=5，
①若OP=OD=5时，
在Rt△OPC中，CP= ，
∴P的坐标是（3，4）．
②若PD=OD=5时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，有DM =OC=4，
在Rt△PDM中，PM=，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
综上所述，P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2020·上海市文来中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形对角线相等且互相平分，，证明三角形AOB是等边三角形即可求出的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质证明等边三角形．
16．(本题8分)(2023·江西·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过点B作于点F，点E在BF的延长线上，且．
（1）求证：．
（2）若，F是AO的中点，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得，即可得到，从而可以推出，由此即可证明；
（2）由F是AO的中点，，得到，则，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵F是AO的中点，，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．
17．(本题8分)（2020·天津市小站实验中学七年级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形的面积；
②点P（，0）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积．请直接写出点P坐标．
【答案】（1）6；（2）①9；②或．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出OA，OB，OC，然后直接计算即可；
（2）①先根据题意得到D点坐标，然后过D点向x轴作垂线，交x轴于点E，过D点向y轴作垂线，交y轴于点F，利用分割法求出S△ACD的面积即可；
②根据三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积列式求解即可．
【详解】
（1）∵点A（0，2），B（，0），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
∴S△ABC=×2×（2+4）=6；
（2）①∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，
∴点D的坐标为（5，4），
过D点向x轴作垂线，交x轴于点E，过D点向y轴作垂线，交y轴于点F，
∴；
②由①可得S△ACD=9，
∴S△PAO=×2|m|=9，
解得m=±9，
∴点P的坐标为（9，0）或（-9，0）．
【点睛】
本题考查了平移的特点，三角形的面积，分割法，掌握数形结合的方法是解题关键．
18．(本题8分)(2023·全国·八年级专题练习）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°．
（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长．
【答案】（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°；
（2）根据 矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得，解得：，即CE的长为；
（3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的长为．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°，
∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处，
∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°，
故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，
∴，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：
，
解得：，
即CE的长为；
（3）解：如图所示，连接EG，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，
∴∠EFG＝∠C=90°，
在Rt△CEG和Rt△FEG中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL），
∴CG＝FG，
设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：
，
解得：，
即CG的长为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
19．(本题10分)(2023·河南洛阳·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当为的中点时，四边形是矩形，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，根据平移得出AB∥DE，求出∠B=∠DEC，再求出∠ACB=∠DEC即可；
（2）求出四边形AECD是平行四边形，再求出四边形AECD是矩形即可．
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∴∠ACB=∠DEC，
∴OE=OC，
即△OEC为等腰三角形；
（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，
理由是：∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE=EC，
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴AD∥EC，AD=EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AECD是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．(本题10分)(2023·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16
【解析】
【分析】
（1）四边形APCD正方形，则PD平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；
（2）由△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解；
（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N，证明△PCN≌△APB（AAS），则 CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形APCD为正方形
∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA
∴∠APD=∠CPD=45°
在△AEP和△CEP中，
∴△AEP≌△CEP(SAS)
（2）CF⊥AB．理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP=∠ECP
∵∠EAP=∠BAP
∴∠BAP=∠FCP
∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP
∴∠AMF+∠PAB=90°
∴∠AFM=90°
∴CF⊥AB
（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N
∵CF⊥AB，BG⊥AB
∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN
∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB
又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°
∴△PCN≌△APB(AAS)
∴CN=PB=BF，PN=AB
∵△AEP≌△CEP
∴AE=CE
∴AE+EF+AF=CE+EF+AF
=BN+AF
=PN+PB+AF
=AB+BF+AF
=2AB
=16
【点睛】
本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．
21．(本题12分)(2023·陕西咸阳·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形，进而可得，结合条件可得，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形；
（2）根据若平分，结合，可得,进而在中，勾股定理求得，结合（1）的结论，即可求的的长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得：
，
由（1）得四边形是矩形，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，等角对等边，掌握以上性质定理是解题的关键．
22．(本题12分)(2023·辽宁鞍山·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中点到轴、轴的垂线段，与坐标轴围成矩形，当这个知形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的倍时，称点是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．
（1）点，，中，是“幸福点”的点为______；
（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请求出满足条件的“幸福点”的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据“幸福矩形”的意义直接判断即可得出结果；
（2）根据“幸福矩形”的意义和矩形面积建立方程即可得出结果．
【详解】
解：（1） ,
, ,
,
点不是“幸福点”，
,
, ,
点是“幸福点”，
,
, ,
点不是“幸福点”，
故答案为：．
（2）设“幸福点”的坐标为，
“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，
，，
解得：，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，矩形的周长、面积的计算方法及理解新定义和应用新定义的能力，关键是理解新定义，用方程的思想解决问题．
23．(本题14分)(2023·浙江温州·八年级期末）如图1，四边形是平行四边形，点在边上，过点作，交于点，G、分别是，的中点，连接EH，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，；
①当时，求四边形的面积；
②如图2，延长交于点，连结，△APG的面积是 S1,的面积为，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【解析】
【分析】
（1）先证明四边形为平行四边形，得到，BE∥FD，再根据，分别是，的中点，即可得到，由此即可证明；
（2）连结，先证明，由平行四边形的性质可知，过点A作，则，即可证得∴四边形为矩形，得到AE=MF，设，则，，，根据，进行求解即可；
（3）延长交的延长线于点，证得到，设，则，，，，由，解得，再根据进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵在平行四边形中，，
∴四边形为平行四边形，
∴，BE∥FD，
∵，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）①连结，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
由（1）可知，四边形为平行四边形，
∴，
过点A作，则，
∵，，
∴∠BAM=30°，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴AE=MF，
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②延长交的延长线于点，
∵AD∥BC，G为BE的中点，
∴，∠N=∠BFG，∠NEG=∠FBG，
∴，
∴，
∵FP⊥AB，
∴∠BPF=90°，
∵∠PBF=60°，
∴∠PFB=30°，
∴BF=2PB，
同理可得AN=2AP，
设，则，，，，
∵，
∴，
解得
∵与同高，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．