沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题02 二次根式的运算（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题02 二次根式的运算（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共44页。

©知识点一：二次根式的乘除
◎考点1:二次根式的乘法
技巧：二次根式的乘法法则:
【注意】
1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
:
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 QUOTE （?≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
例．（2022·全国·八年级）计算： =_____________
练习1．(2023·山东商河·八年级期中）计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______．
练习2．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）计算：_________．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）计算=___________________________．
◎考点2：二次根式的除法
技巧：次根式的除法法则：
【注意】
1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
QUOTE ,,-a.-,-b..=,-,a-b..,a≥0，b>0.
二次根式的特点：
1.被开方数不含分母，例： ；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。
【二次根式运算中的注意事项】
一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
例．(2023·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）计算：＝_____．
练习1．(2023·上海市蒙山中学八年级期中）计算：＝___．
练习2．(2023·山西洪洞·九年级期中）已知（a+6）2+|b﹣|＝0，则＝___．
练习3．(2023·上海普陀·八年级期中）计算：＝___．
◎考点3：二次根式的乘除混合运算
例．（2022·湖南洪江·八年级期末）＝_____．
练习1．(2023·上海松江·七年级期中）计算：＝___．
练习2．(2023·上海奉贤·七年级期末）计算：＝______．
练习3．(2023·山东东平·八年级期末）计算：＝___．
©知识点二：最简二次根式
◎考点4：最简二次根式的判断
例．（2022·福建洛江·九年级期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·山东济阳·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·重庆市巴川中学校八年级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点5：化为最简二次根式
例．(2023·上海市莘光学校八年级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·北京·八年级单元测试）把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A．B．C．D．
练习2．(2023·四川岳池·八年级期中）下列根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·安徽阜南·八年级期末）下列化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点6：已知最简二次根式求参数
例．(2023·山东阳谷·中考模拟）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
练习1．(2023·河北丰南·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则x的值可能为( )
A．x＝－B．x＝C．x＝2D．x＝5
练习2．（2020·河南·柘城县实验中学八年级阶段练习）与最简二次根式能够合并，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
练习3．(2023·辽宁海城·八年级阶段练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．2
©知识点三：:同类二次根式
例．(2023·上海·虹口实验学校八年级期中）下列式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2022·四川省遂宁市第二中学校九年级期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·上海虹口·八年级期末）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·四川西区·九年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
©知识点四：二次根式的加减
技巧：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
◎考点7：二次根式的加减运算
例．（2022·重庆巴蜀中学八年级开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2022·山东临邑·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2022·福建建宁·八年级期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2022·广东南海·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
◎考点8：二次根式的混合运算
技巧：二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。

例．（2022·湖南新邵·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习1．（2022·重庆市第七中学校九年级开学考试）估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
练习2．（2022·重庆·西南大学附中九年级期末）估计的运算结果应在（ ）．
A．3.0和3.5之间B．3.5和4.0之间C．4.0和4.5之间D．4.5和5.0之间
练习3．（2022·重庆八中九年级期末）估计的值在（ ）．
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
©知识点五：分母有理化
例．(2023·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）代数式+1的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．-1
练习1．(2023·上海市罗南中学八年级阶段练习）的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·全国·八年级课时练习）若，则（ ）
A．B．a、b互为倒数C．D．a、b互为相反数
A．B．C．D．
©知识点六：二次根式的化简求值
考点9：已知字母的值化简求值

例．(2023·四川省隆昌市第一中学九年级阶段练习）设，则代数式的值为（ ）
A．6B．4C．D．
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
练习2．(2023·全国·八年级课时练习）已知．则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）已知，，则代数式的值是（ ）
A．20B．16C．8D．4
◎考点10：已知条件式，化简求值
例．（2020·山西·八年级期中）若，，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
练习1．(2023·陕西·汉中市南郑区红庙镇初级中学八年级期中）已知，，则代数式的值是（ ）
A．24B．C．D．
练习2．（2020·江西·景德镇一中七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
©知识点七：比较二次根式的大小
技巧：二次根式比较大小：
1、若，则有；
2、若，则有．
3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
例．（2020·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）比较与大小，正确的是
（ ）
A．B．C．D．无法确定
练习1．（2020·河南镇平·九年级期中）比较大小错误的是（ ）
A．＜B．+2＜﹣1C．＞﹣6D．＞
练习2．(2023·广东·红岭中学八年级阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·山东金乡·八年级期末）设，，则a、b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
©知识点八：二次根式的应用
例．(2023·安徽·马鞍山八中八年级阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78 cm2B．cm2C． cm2D． cm2
练习1．(2023·四川·隆昌市第二初级中学九年级期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．
练习2．(2023·陕西·咸阳市秦都区双照中学八年级阶段练习）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A．B．C．D．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）若代数式+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（ ）
A．0B．5C．4D．﹣5
专题02 二次根式的运算（知识点串编）
【思维导图】
©知识点一：二次根式的乘除
◎考点1:二次根式的乘法
技巧：二次根式的乘法法则:
【注意】
1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。
:
3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。
二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：
化简二次根式的步骤（易错点）：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 QUOTE （?≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。
例．（2022·全国·八年级）计算： =_____________
【答案】24
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】
解：原式=3×2×=6×4=24，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法，掌握法则是解题的关键．
练习1．(2023·山东商河·八年级期中）计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案．
【详解】
解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简．
练习2．（2020·上海市建平实验中学八年级期中）计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握忒覅覅买基金解答本题的关键．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）计算=___________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算．
【详解】
由题意，因为x>0,所以，所以=；
故答案为：2ab2x
【点睛】
本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解题的关键．

◎考点2：二次根式的除法
技巧：次根式的除法法则：
【注意】
1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。
2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。
二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：
QUOTE ,,-a.-,-b..=,-,a-b..,a≥0，b>0.
二次根式的特点：
1.被开方数不含分母，例： ；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例： 。
【二次根式运算中的注意事项】
一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
例．(2023·上海民办华二宝山实验学校八年级阶段练习）计算：＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的除法运算计算得出即可．
【详解】
解：．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
练习1．(2023·上海市蒙山中学八年级期中）计算：＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
直角根据二次根式的除法法则起先计算即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式除法法则是解答本题的关键．
练习2．(2023·山西洪洞·九年级期中）已知（a+6）2+|b﹣|＝0，则＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用偶次方和绝对值的非负性分别求出和的值，代入计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了偶次方和绝对值的非负性，代数式的值，二次根式的除法，利用非负性求出和的值是解题的关键．
练习3．(2023·上海普陀·八年级期中）计算：＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法运算法则计算即可；
【详解】
原式；
故答案是：；
【点睛】
本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键．
◎考点3：二次根式的乘除混合运算
例．（2022·湖南洪江·八年级期末）＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【详解】
原式=
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除混合运算，可以先算乘除再化简，也可以先化简以后再计算．
练习1．(2023·上海松江·七年级期中）计算：＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
先把除法转化为乘法，再计算即可完成．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错．
练习2．(2023·上海奉贤·七年级期末）计算：＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】
解：原式，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握运算法则是解答此题的关键．
练习3．(2023·山东东平·八年级期末）计算：＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘除运算计算即可
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘除运算，准确计算是解题的关键．
©知识点二：最简二次根式
◎考点4：最简二次根式的判断
例．（2022·福建洛江·九年级期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1.被开方数的因数是整数，因式为整式；2.被开方因数因式不能再被开方．
【详解】
A. 0.3=310=3010，故A不是最简二次根式；
B. ，故B不是最简二次根式；
C是最简二次根式；
D. ，故D不是最简二次根式，
故选：C．
【点睛】
本题考查最简二次根式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
练习1．(2023·山东济阳·八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用最简二次根式定义：根号里边不能含有分母，分母中不能含有根号，被开方数不能含有等于或超过2次的因式，判断即可．
【详解】
解：A、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
练习2．(2023·广东·广州市第二中学南沙天元学校八年级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将各项化简，再根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】
解：，因此选项A不符合题意；
，因此选项B不符合题意；
的被开方数13，是整数且不含有能开得尽方的因数，所以是最简二次根式，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了最简二次根式．解题的关键熟练掌握二次根式的性质．
练习3．(2023·重庆市巴川中学校八年级期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是最简二次根式的概念，解题的关键是掌握满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式．
◎考点5：化为最简二次根式
例．(2023·上海市莘光学校八年级期中）下列各式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出与是同类二次根式即可得．
【详解】
解：．
A、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
B、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
C、，与不是同类二次根式，不可合并，此项不符题意；
D、，与是同类二次根式，可以合并，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．
练习1．(2023·北京·八年级单元测试）把化成最简二次根式，正确结果是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将看成整体，进行符号变换，然后进行二次根式化简就即可．
【详解】
解：因为，故，
∴，
∴
故选：D．
【点睛】
题目主要考查二次根式的化简，掌握题目中符号的变换是解题关键．
练习2．(2023·四川岳池·八年级期中）下列根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将各选项的二次根式进行化简，利用同类二次根式的定义求解即可．
【详解】
解：A、不能与合并，不合题意；
B、不能与合并，不合题意；
C、不能与合并，不合题意；
D、能与合并，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义及化简二次根式．同类二次根式的定义：二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
练习3．(2023·安徽阜南·八年级期末）下列化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质直接化简，逐项分析即可．
【详解】
A. ，原化简二次根式错误，不符合题意；
B. ，原化简二次根式错误，不符合题意；
C. 原化简二次根式错误，不符合题意；
D. 原化简二次根式正确，符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了利用二次根式的性质化简，理解二次根式的性质是解题的关键．
◎考点6：已知最简二次根式求参数
例．(2023·山东阳谷·中考模拟）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】
解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点睛】
本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
练习1．(2023·河北丰南·八年级期中）若最简二次根式和能合并，则x的值可能为( )
A．x＝－B．x＝C．x＝2D．x＝5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
【详解】
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x-3，
解得x=2．
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
练习2．（2020·河南·柘城县实验中学八年级阶段练习）与最简二次根式能够合并，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简，再得出，求得的值即可．
【详解】
，
∵与最简二次根式能够合并，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了同类二次根式、最简二次根式，掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解题的关键．
练习3．(2023·辽宁海城·八年级阶段练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
把a的值依次代入即可判断求解．
【详解】
当a=6时，=，不能与可以合并，
当a=5时，=，能与可以合并，
当a=4时，=，不能与可以合并，
当a=2时，=，不能与可以合并，
故选B．
【点睛】
此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．
©知识点三：:同类二次根式
例．(2023·上海·虹口实验学校八年级期中）下列式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看被开方数是否相同即可．
【详解】
解：A、，即化成最简二次根式后被开方数相同（都是5），所以是同类二次根式，故本选项符合题意；
B、最简二次根式和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、，即化成最简二次根式后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简和同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．
练习1．（2022·四川省遂宁市第二中学校九年级期末）下列二次根式与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．
【详解】
A、＝3，与不是同类二次根式，选项错误；
B、，与不是同类二次根式，本选项错误；
C、与不是同类二次根式，本选项错误；
D、，与是同类二次根式，本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
练习2．(2023·上海虹口·八年级期末）下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再观察它们的被开方数是否相同．
【详解】
解：∵＝3，＝，＝，＝6，
∴与是同类二次根式的是.
故选：C．
【点睛】
本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义并准确化成最简二次根式是解题的关键．
练习3．(2023·四川西区·九年级期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】
解：A、，与是同类二次根式；故A正确；
B、，与不是同类二次根式；故B错误；
C、，与不是同类二次根式；故C错误；
D、，与不是同类二次根式；故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
©知识点四：二次根式的加减
技巧：二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
◎考点7：二次根式的加减运算
例．（2022·重庆巴蜀中学八年级开学考试）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同类项的性质，同类二次根式和二次根式的化简分别判断即可．
【详解】
解： 、和不是同类项，不能合并，选项错误；
、 选项错误；
、和不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
、，选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同类二次根式和二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．
练习1．（2022·山东临邑·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质及化简，除法、加减对选项进行判断．
【详解】
解：A、原式，所以选项的计算错误，不符合题意；
B、，所以选项的计算正确，符合题意；
C、，所以选项的计算错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能进行合并，所以选项的计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
练习2．（2022·福建建宁·八年级期末）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根二次根式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案．
【详解】
解：A、原式=2，故A不符合题意．
B、原式==3，故B符合题意．
C、3与不是同类二次根式，故不能合并，故C不符合题意．
D、原式=，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
练习3．（2022·广东南海·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次根式的减法运算可判断A，由同类二次根式的含义可判断B，由二次根式的乘法运算可判断C，D，从而可得答案.
【详解】
解：A、故A符合题意；
B、不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意；
C、故C不符合题意；
D、故D不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式的加减，二次根式的乘法，掌握“二次根式的加减运算与乘法运算的运算法则”是解本题的关键.
◎考点8：二次根式的混合运算
技巧：二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。
注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。

例．（2022·湖南新邵·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法法则、幂的乘方运算法则、负整数指数幂运算法则以及二次根式的减法法则计算各选项答案，再进行选择即可得到答案．
【详解】
解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算正确，符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选B
【点睛】
本题主要考查了二次根式的乘法、幂的乘方运算、负整数指数幂运算以及二次根式的减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
练习1．（2022·重庆市第七中学校九年级开学考试）估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则计算，再计算二次根式的加法，根据结果估算即可得到答案．
【详解】
解：
=
=，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟记二次根式的混合运算法则是解题的关键．
练习2．（2022·重庆·西南大学附中九年级期末）估计的运算结果应在（ ）．
A．3.0和3.5之间B．3.5和4.0之间
C．4.0和4.5之间D．4.5和5.0之间
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】
解：，
∵6.52=42.25，72=49，
∴6.5＜＜7，
∴3.5＜＜4，
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，将原式化简为是解决问题的前提，理解算术平方根的意义是得出正确答案的关键．
练习3．（2022·重庆八中九年级期末）估计的值在（ ）．
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则计算，进而估算计算的结果的取值范围，问题得解．
【详解】
解：原式，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小以及二次根式的混合运算，解题的关键是正确得出的取值范围．
©知识点五：分母有理化
例．(2023·上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）代数式+1的有理化因式可以是（ ）
A．B．C．D．-1
【答案】D
【解析】
【分析】
如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，根据定义逐一判断即可.
【详解】
解： 故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是互为有理化因式的概念，二次根式的乘法运算，熟悉概念是解本题的关键.
练习1．(2023·上海市罗南中学八年级阶段练习）的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．
【详解】
解：∵，
∴的一个有理化因式是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理化因式的定义：两个含二次根式的非零代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一般地，的有理化因式是；的有理化因式是．
练习2．(2023·全国·八年级课时练习）若，则（ ）
A．B．a、b互为倒数C．D．a、b互为相反数
【答案】A
【解析】
【分析】
先把a分母有理化，然后与b比较即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握分母有理化的方法．
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）将二次根式进行分母有理化的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分子分母同乘以分母化简即可．
【详解】
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，解题的关键是正确的找出有理化因式．
©知识点六：二次根式的化简求值
考点9：已知字母的值化简求值

例．(2023·四川省隆昌市第一中学九年级阶段练习）设，则代数式的值为（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用已知条件得a＋2＝ ，两边平方后得到＋4a＝1，再把＋4−a＋6变形为a（＋4a）−a＋6，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a＝−2，
∴，即＋4a＝1，
∴＋4−a＋6＝a（＋4a）−a＋6
＝a×1−a＋6
＝6．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
练习1．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，可以求得和的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
∵
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
练习2．(2023·全国·八年级课时练习）已知．则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
把与的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：把代入得：原式；
故选：C．
【点睛】
此题考查二次根式的计算，关键是根据二次根式的性质计算解答．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）已知，，则代数式的值是（ ）
A．20B．16C．8D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑到所求的式子可分解因式为，故只需将已知的式子变形为，，然后整体代入解答即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解和代数式求值，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法和整体代入的方法是解题的关键．
◎考点10：已知条件式，化简求值
例．（2020·山西·八年级期中）若，，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先把代数式进行运算，然后利用整体代入法进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：，
∵，，
∴原式=；
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，以及整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
练习1．(2023·陕西·汉中市南郑区红庙镇初级中学八年级期中）已知，，则代数式的值是（ ）
A．24B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出和的值，再利用完全平方公式将变形为和的形式，用整体代入法即可求解．
【详解】
∵，，
∴，
，
，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式将变形为和的形式是解题的关键．
练习2．（2020·江西·景德镇一中七年级期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据完全平方公式化简已知条件，再根据x的取值范围确定答案即可.
【详解】
配方得，即
则
又
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式化简求值，将已知条件凑配成完全平方式是解题关键.
练习3．(2023·全国·八年级课时练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过完全平方公式将转化成的形式，此题得解.
【详解】
由二次根式的定义可知
等式两边同时平方

,
故选D.
【点睛】
本题考查了二次跟式的求值，通过完全平方公式将已知与所求联系起来是解题的关键.
©知识点七：比较二次根式的大小
技巧：二次根式比较大小：
1、若，则有；
2、若，则有．
3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。
例．（2020·福建·南靖县城关中学八年级阶段练习）比较与大小，正确的是
（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
将两式相加，再判断结果的符号，从而得到结果．
【详解】
解：
=
=
∵，
∴原式=＜0，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握作差法比较大小．
练习1．（2020·河南镇平·九年级期中）比较大小错误的是（ ）
A．＜B．+2＜﹣1C．＞﹣6D．＞
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正整数算术平方根的大小估算，继而进行大小比较即可做出判断．
【详解】
解：∵5＜7，
∴＜，因此选项A不符合题意；
∵5＜＜6，
∴7＜+2＜8，
∵9＜＜10，
∴8＜﹣1＜9，
∴+2＜﹣1，因此选项B不符合题意；
∵4＜＜5，
∴11＜+7＜12，
∴5.5＜＜6，
∴﹣6＜﹣＜﹣5.5，因此选项C不符合题意；
∵3＝，2＝，而＞，
∴3＞2，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查无理数的估算，二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握正整数算术平方根的大小比较方法．
练习2．(2023·广东·红岭中学八年级阶段练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．
【详解】
解：=
∵＞＞
∴＞＞
∴
故选A．
【点睛】
此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．
练习3．(2023·山东金乡·八年级期末）设，，则a、b的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由二次根式的性质，分别求出a、b的值，然后再进行比较即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题．
©知识点八：二次根式的应用
例．(2023·安徽·马鞍山八中八年级阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78 cm2B．cm2C． cm2D． cm2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】
解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．
练习1．(2023·四川·隆昌市第二初级中学九年级期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出两个正方形的边长，然后再把两个阴影部分平移到一起，算长方形的面积即可.
【详解】
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2）=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
练习2．(2023·陕西·咸阳市秦都区双照中学八年级阶段练习）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由正方形的面积为75，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题．
【详解】
解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
练习3．(2023·全国·九年级专题练习）若代数式+|b﹣1|+c2+a在实数范围内有意义，则此代数式的最小值为（ ）
A．0B．5C．4D．﹣5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次根式、平方和绝对值的非负性，可知代数式的最小值为，因为二次根式有意义，因此＝5，即可求解.
【详解】
代数式，＋|b﹣1|＋c2＋a在实数范围内有意义，则
a﹣5≥0，|b﹣1|≥0，c2≥0，
所以代数式，＋|b﹣1|＋c2＋a的最小值是，＝5，
故选：B．
【点睛】
二次根式、绝对值、偶次方（平方考查最多）都具有非负性，二次根式有意义的条件是被开方数≥0.