2023-2024学年湖南省常德一中高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省常德一中高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若A(0,2,1)，B(3,2,−1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. (−3,0,−6)B. (9,0,−6)C. (−2,0,2)D. (−2,1,3)
2.已知△ABC的顶点A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，则AC边上的高BD的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.若数列{an}满足：a1=19，an+1=an−3(n∈N*)，而数列{an}的前n项和最大时，n的值为(
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.设直线l的方程为x−sinθy+2=0，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A. [0,π]B. [π4,π2]C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]
5.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0b>0)的离心率为 22，且过点A(2,1)．
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A(0,2,1)，B(3,2,−1)在直线l上，
所以直线l的一个方向向量为AB=(3,0,−2)，
因为(9,0,−6)=3(3,0,−2)，
则直线l的一个方向向量为(9,0,−6)．
故选：B．
先求出AB的坐标，然后利用空间向量共线定理判断即可．
本题考查了直线方向向量的求解，空间向量的坐标表示以及空间向量共线定理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：AB=(4,−5,0)，则|AB|= 41，AC=(0,4,−3)，|AC|=5，
AB⋅AC=−20，
则cs∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=−205 41=−4 41，
则sin∠BAC= 1−(−4 41)2=5 41，
则|BD|=|AB|sin∠BAC= 41×5 41=5，
故选：C．
根据空间向量数量积求cs∠BAC和sin∠BAC的值，根据直角三角形的性质进行计算即可．
本题主要考查三角形高的计算，利用空间向量数量积的应用进行求解是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a1=19，an+1=an−3(n∈N*)，
∴数列{an}是首项为19，公差为−3的等差数列，
∴an=19+(n−1)×(−3)=22−3n，
由an=22−3n≥0，得n≤713，
∴数列{an}的前n项和数值最大时，n的值是7．
故选：B．
先由题设条件求出an=19+(n−1)×(−3)=22−3n，再由an=22−3n≥0，得n≤713，由此得到数列{an}的前n项和数值最大时，n的值．
本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4.【答案】C
【解析】解：当sinθ=0时，方程变为x+2=0，其倾斜角为π2，
当sinθ≠0时，由直线l的方程可得斜率k=1sinθ，
因为sinθ∈[−1,1]且sinθ≠0，
所以k∈(−∞,−1]∪[1,+∞)即tanα∈(−∞,−1]∪[1,+∞)，
又α∈[0,π)，
所以α∈[π4,π2)∪(π2,3π4]，
综上知，直线l的倾斜角a的取值范围是[π4,3π4]，
故选：C．
根据题意，分sinθ=0和sinθ≠0两种情况讨论，分别计算即可．
本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：椭圆x225+y29=1，可知a=5，b=3，c=4，
∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是：45．
椭圆x225−k+y29−k=1(0