专题3.6 锐角三角函数综合复习（巩固篇）（真题专练）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题3.6 锐角三角函数综合复习（巩固篇）（真题专练）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，与，，分别交于点E，G，F，且，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
6．如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（ ）
A．4B．3C．D．2
8．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinBB．sinC
C．tanBD．sin2B+sin2C＝1
9．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（ ）
A．1B．C．D．
10．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
11．如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2）D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
二、填空题
12．如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．
13．如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．
14．某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头处的高度为米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据，，)
15．如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．
16．如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．
17．如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若，纸片宽，则HE＝__________cm．
18．如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________
20．在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．
21．两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）
三、解答题
23．计算：．
计算：．
25．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
26．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
27．如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．
28．在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）当时，
①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
作AD⊥BC于D，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可．
【详解】
解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中，，
∴ =，
故选：B．
【点拨】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键．
2．C
【分析】
根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，，
∴，即：∠GFC=90°，故D正确，不符合题意；
又∵，
∴，即：，故C错误，符合题意．
故选C．
【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．A
【分析】
过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．
【详解】
解：过点C作的延长线于点，
与是等高三角形，
设
，
故选：A．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．A
【分析】
利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值
【详解】
设交于点,
由题意：
是等边三角形
四边形为正方形
∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥
又
设
则
解得：
故选A
【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
5．C
【分析】
根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】
解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD=，
因为sin∠C=，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
6．B
【分析】
先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，
∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，
延长CB到E，使BE=BC，连接EC，
∵C、C1关于PB对称，
∴∠EC1C=∠BQC=90°，
∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，
当点P与点A重合时，点C1与点E重合，
当点P与点D重合时，点C1与点F重合，
此时，，
∴∠PBC=30°，
∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，
∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，
线段扫过的区域的面积是．
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
7．A
【分析】
根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据， ，，即可求得．
【详解】
四边形是菱形，
,，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故选A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
8．A
【分析】
根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
,
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴，，，，只有A错误．
故选择：A．
【点拨】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答．
9．B
【分析】
如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于H．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∴OC＝AB＝，
∵＝•AB•CH＝•AC•BC，
∴CH＝，
∴sin∠BOC＝＝，
故选：B．
【点拨】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出CH的长，属于中考常考题型．
10．C
【分析】
根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．
【详解】
解： 设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：
，
解得x=，
则BD=，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，
，
则∠BFD=22.5°，
∴外接圆直径d=BF=，
根据题意知周长÷d==，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．
11．C
【分析】
先求出点A的坐标，再根据旋转变换中，坐标的变换特征求解；或根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A′的坐标．
【详解】
过点A作于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴点A的坐标是．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为．
故选：C．
【点拨】本题考查了解直角三角形、旋转中点的坐标变换特征及旋转的性质．（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的坐标为（b，-a），绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（－b，a）．
12．
【分析】
连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，由，可得FM=1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】
解：连接AF，CF，过点F作FM⊥AB，
∵四边形是边长为1的正方形，
∴∠C=90°，
∴AB=，
∵，
∴，
∴ FM=1，
∵BF=，
∴．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．
13．6
【分析】
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】
解： 是边的中点，，



矩形，



故答案为：
【点拨】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
14．438
【分析】
根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【详解】
解：由题意得，，
在中，，
（米），
在中，，
则（米），
则（米），
故答案是：．
【点拨】本题查考了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解题的关键是：能借助构造的直角三角形求解．
15．
【分析】
先根据正切三角函数的定义可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
解：在中，，
，
由旋转的性质得：，
，
在和中，，
，
，
即与的面积之比等于，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
16．
【分析】
四边形是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和．
【详解】
由图可知，（厘米），
∵四边形为菱形
∴（厘米）
∴
P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于．
此时，P、Q两点运动路程之和
∵（厘米）
∴（厘米）
故答案为．
【点拨】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．
17．
【分析】
根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE．
【详解】
如图，分别过作， 垂足分别为
则
根据题意，，因为折叠，则
四边形ABCD是矩形
同理
四边形是平行四边形
，
中，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称图形，平行四边形的性质与判定，锐角三角函数，理解题意作出辅助线，是解题的关键．
18．
【分析】
根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题．
【详解】
解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示，
则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，
∴△APP′是等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，
∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，
即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，
∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cs∠BAC=2×cs30°=，
∴CB′=，
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
19．
【分析】
利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以，过点作于，如图，则，然后利用30°的三角函数值即可求出，从而得到的长．
【详解】
解：由作法得，平分，
又∵∠CBE＝60°，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
如图，过点作于，
∵，，
∴，
在中，，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定及性质以及解直角三角形的应用．
20．
【分析】
CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出，再根据锐角三角函数和勾股定理得到，求出的值即可．
【详解】
解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，，
又，
∴四边形CEDF为正方形，
，，
在中，，
∵，
，
，，，
，
即，
又，
，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
，
，
，
即（舍负），
故答案为：．
【点拨】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
21．
【分析】
由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．
【详解】
解：∵纸条的对边平行，即，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都为，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：
∴，
要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：
∴，
∴，
∴的最小值为，即的最小值为；
故答案为．
【点拨】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．
22．
【分析】
根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
∴AC＝＝＝，
∵DC1•AC＝AB•BC，
∴DC1＝＝＝，
同理，DC2＝DC1＝（）2，
DC3＝（）3，
……，
DCn＝（）n，
∵＝tan∠ACD＝＝2，
∴CC1＝DC1＝，
∵tan∠CAD＝＝＝，
∴A1D＝AC1＝2DC1＝，
∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，
同理，A1M2＝×DC2，
A2M3＝×DC3，
……，
An﹣1Mn＝×DCn，
∵四边形AA1DC1是矩形，
∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，
同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1，
∴DC2＝＝＝，
在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，
同理，O2C3＝DC3，
O3C4＝DC4，
……，
OnCn＋1＝DCn＋1，
∴
＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2
＝（﹣）
＝
＝，
同理，
＝×＝，
S3＝＝×＝，
……，
Sn＝＝×＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．
23．-3
【分析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式
．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
24．4
【分析】
首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】
解：
．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．
25．68.5m
【分析】
过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．
26．（9＋4）m
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：AH＝（8＋4）m，
∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，
即这棵古树的高AB为（9＋4）m．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明△EFG∽△ABG是解题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案；
（2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）如图所示，连接BD，
由题意可知，AE是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵，
∴，
∴，
∴三角形DEC是等边三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴
【点拨】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
28．（1）；（2）①成立，理由见解析；②平行四边形，理由见解析；
【分析】
（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；
②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得,
根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】
（1）如图1，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如图2，
，，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，过作，连接, 交于点，
，，
，
，
，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以为斜边等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点拨】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．