2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=4+2 3，c=4−2 3，以下结论中错误的是( )
A. 若a，b，c三个数成等差数列，则b=4
B. 若a,b+ 3,b,b− 3,c五个数成等差数列，则b=4
C. 若a，b，c三个数成等比数列，则b=2
D. 若a，b，c三个数成等比数列，则b=±2
2.已知椭圆x2+my2=1的长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值是
( )
A. 2B. 14或4C. 12D. 12或2
3.抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. x=12B. x=−12C. y=18D. y=−18
4.如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM=MA，CN=2NB，则MN等于( )
A. 13a+23b+13c
B. 13a−23b+13c
C. 13a+23b−13c
D. −13a+23b+13c
5.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的倾斜角是30°
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点( 3,0)到直线l的距离是1
D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn.且S5=4，S10=12，则S15=( )
A. 16B. 19C. 28D. 36
7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为{an}，则以下结论中错误的是( )
A. a5=5B. a6=8
C. a12+a22+⋯+an2=anan+1D. a12+a22+⋯+an2=an+12
8.已知A(1,0)，直线l:x−y+1=0，则点A到直线l的距离为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x25−t+y2t−1=1所表示的曲线为C，则( )
A. 曲线C可能是圆
B. 若1C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1D. 若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t<1
10.下列求导运算正确的是( )
A. (x3+ex)′=3x2+exB. (3x+sinx)′=3xln3−csx
C. [(3x+5)3]′=3(3x+5)2D. (2csxx2)′=−2xsinx−4csxx3
11.设抛物线y2=4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若P(1,2)，则|PF|=2
B. 若P到焦点的距离为3，则P的坐标为(2,2 2)
C. 若A(2,3)，则|PA|+|PF|的最小值为 10
D. 若过A点F作斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点．则|AB|=6
12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P−A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π4,π2]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.焦点在x轴上，b=1，e= 32的椭圆的标准方程为______．
14.等比数列{an}中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a5= ______．
15.曲线f(x)=ln(5x+2)在点(−15,0)处的切线方程为______．
16.已知双曲线x23−y2b2=1与直线y=x3相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为−12，则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的前3项和是24，前5项的和是30．
(1)求这个等差数列的通项公式；
(2)若Tn是{an}前n项和，则Tn是否存在最大值？若存在，求Tn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4和与圆C：x2+y2−4x+4y+4=0．
(1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；
(2)若圆O上恰有三个点到直线y=2x+b的距离都等于1，求b的值．
19.(本小题12分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=Sn+3(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=n+1，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程．
21.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2x，实轴长为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M(3,2)，求直线l的斜率．
22.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB/​/CD，AB⊥BC，BC=CD=1，PD= 2．
(l)证明：AB⊥PD．
(2)求二面角A−PB−C的余弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：a=4+2 3，c=4−2 3，
对于A，若a，b，c三个数成等差数列，则b=4+2 3+4−2 32=4，故A正确；
对于B，∵a,b+ 3,b,b− 3,c五个数成等差数列，
∴5b=a+c+b+ 3+b− 3，
∴3b=8+2b，则b=4，故B正确；
对于CD，若a，b，c三个数成等比数列，
则b=± ac=±2，故C错误，D正确．
故选：C．
利用等差数列的性质判断AB；利用等比中项判断CD．
本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
椭圆x2+my2=1化为：x2+y21m=1，根据椭圆的长轴长是短轴长的2倍，可得1=4×1m，或1×4=1m，解得m．
【解答】
解：椭圆x2+my2=1化为：x2+y21m=1，
∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，
∴1=4×1m，或1×4=1m，
解得：m=14或m=4．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析抛物线的焦点以及p的值，由抛物线的准线方程即可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，
其焦点在y轴上，且2p=12，
则p=14，
则抛物线的准线方程为：y=−18；
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：∵点M、N分别在线段OA、BC上，且2OM=MA，CN=2NB，
∴OM=13OA，CN=23CB=23(OB−OC)，
∴ON=OC+CN=OC+23(OB−OC)=23OB+13OC，
∴MN=ON−OM=23OB+13OC−13OA=−13a+23b+13c．
故选：D．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l： 3x−y+1=0，其斜率k= 3，故直线的倾斜角为60°，A错误；
对于B，若直线m：x− 3y+1=0，其斜率k1= 33，两直线不垂直，B错误；
对于C，点( 3,0)到直线l的距离d=|3+1|2=2，C错误；
对于D，设要求直线的方程为 3x−y+m=0，则有2 3× 3−2+m=0，解可得m=−4，则要求直线的方程为 3x−y−4=0，D正确；
故选：D．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线的一般式方程，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列{an}的前n项和为Sn.且S5=4，S10=12，则q≠1，
则有S5=a1(1−q5)1−q=4，S10=a1(1−q10)1−q=12，S15=a1(1−q15)1−q，
则有S10S5=1−q101−q5=1+q5=3，解可得q5=2；
又由S15S5=1−q151−q5=1+q5+q10=1+2+4=7，
则S15=4×7=28；
故选：C．
根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得S10S5=1−q101−q5=1+q5=3，解可得q5=2，又由S15S5=1−q151−q5=1+q5+q10，计算可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，“斐波那契数列”{an}中，其前6项为：1，1，2，3，5，8；
即a5=5，A正确；
a6=8，B正确；
由于n≥3时，由an+1=an+an−1，则an+1−an−1=an，
有an2=an(an+1−an−1)=anan+1−anan−1，
则有a22=a2a3−a2a1，a32=a3a4−a3a2，……，an2=anan+1−anan−1，
上面几个式子相加可得：a12+a22+a32+……+an2=a12+(a2a3−a2a1)+(a3a4−a3a2)+……+(anan+1−anan−1)
=a12+anan+1−a1a2，
又由a1=a2=1，则a12+a22+a32+……+an2=a12+anan+1−a1a2=anan+1，C正确，D错误．
故选：D．
根据题意，列举数列的前6项，可得A、B正确，由“斐波那契数列”的定义分析可得a22=a2a3−a2a1，a32=a3a4−a3a2，……，an2=anan+1−anan−1，将这些式子相加，分析可得C正确，D错误，即可得答案．
本题考查数列的递推公式，注意归纳推理的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】解：∵点A(1,0)，直线l:x−y+1=0，则点A到直线l的距离为： |1−0+1| 1+1= 2，
故选：C．
9.【答案】ABC
【解析】解：A选项，当5−t=t−1>0，即t=3时，方程x25−t+y2t−1=1为x2+y2=2，
表示圆心为原点，半径为 2的圆，故选项A正确，选项B正确；
C选项，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5−t>t−1>0，解得1D选项，若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程x25−t+y2t−1=1即y2t−1−x2t−5=1，
则t−1>0t−5>0，解得t>5，故选项D错误．
故选：ABC．
AB选项，计算出t=3时，曲线C表示圆，A正确，B正确；C选项，根据焦点在x轴上的椭圆所满足的条件得到不等式，求出答案；D选项，根据焦点在y轴上的双曲线所满足的条件得到不等式，求出答案．
本题考查圆锥曲线的几何性质，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：(x3+ex)′=3x2+ex，故A正确；
(3x+sinx)′=3xln3+csx，故B错误；
[(3x+5)3]′=3(3x+5)2⋅(3x+5)′=9(3x+5)2，故C错误；
(2csxx2)′=(2csx)′⋅x2−(x2)′⋅2csxx4=−2xsinx−4csxx3，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x，
∴p=2，焦点F(1,0)，
对A选项，∵P(1,2)在抛物线y2=4x上，∴|PF|=p2+1=2，∴A选项正确；
对B选项，∵P到焦点F的距离为p2+xP=1+xP=3，
∴xP=2，将其代入y2=4x中，可得yP2=8，∴yP=±2 2，
∴P的坐标为(2,±2 2)，∴B选项错误；
对C选项，∵A(2,3)在抛物线y2=4x外，
∴|PA|+|PF|≥|AF|= 1+9= 10，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，
∴|PA|+|PF|的最小值为 10，∴C选项正确；
对D选项，∵过点F且斜率为2的直线方程为y=2(x−1)，
联立y=2(x−1)y2=4x，可得x2−3x+1=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=p2+x1+p2+x2=p+x1+x2=2+3=5，∴D选项错误．
故选：AC．
根据抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及弦长公式，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，正方体中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，且B1D1，BB1⊂平面BB1D1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，
同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1=C1，且A1C1，DC1⊂平面A1C1D，
∴直线BD1⊥平面A1C1D，A选项正确；
对于选项B，正方体中∵A1D/​/B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C/​/平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，
∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，
∴三棱锥P−A1C1D的体积为定值，B选项正确；
对于选项C，∵A1D/​/B1C，∴异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角，
易知△AB1C为等边三角形，
当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；
当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为60°，
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[60°,90°]，C选项错误；
对于选项D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，点P竖坐标为a，0≤a≤1，
则P(a,1,a)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
所以C1P=(a,0,a−1),D1B=(1,1,−1)，
由选项A正确：可知D1B=(1,1,−1)是平面A1C1D的一个法向量，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
|C1P⋅D1B||C1P||D1B|=1 3⋅ 2(a−12)2+12，
∴当a=12时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63，D选项正确．
故选：ABD．
在选项A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；
在选项B中，由B1C/​/平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；
在选项C中，异面直线AP与A1D所成角转化为直线AP与直线B1C的夹角，可求取值范围；
在选项D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
13.【答案】x24+y2=1
【解析】解：焦点在x轴上，b=1，e= 32，
则c2a2=c2b2+c2=34=c21+c2=34，解得c2=3，
故a2=b2+c2=4，
故所求椭圆的方程为：x24+y2=1．
故答案为：x24+y2=1．
结合椭圆的性质，即可求解．
本题主要考查椭圆标准方程的求解，属于基础题．
14.【答案】16
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
则a2+a4=(a1+a3)q，
a1+a3=5，a2+a4=10，
则q=2，
a1+a3=5，
则a1+4a1=5，解得a1=1，
故a5=a1q4=1×24=16．
故答案为：16．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】y=5x+1
【解析】解：f(x)=ln(5x+2)的导数为f′(x)=55x+2，
可得曲线f(x)=ln(5x+2)在点(−15,0)处的切线斜率为k=5−1+2=5，
则切线的方程为y=5(x+15)，即y=5x+1．
故答案为：y=5x+1．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】2 33
【解析】解：联立方程组y=13xx23−y2b2=1，消去x，得(3b2−1)y2−b2=0，
由题意，−b23b2−1=−12，即b2=1，
即双曲线x23−y2，而a2=3，c2=a2+b2=4，
∴a= 3，c=2，
即双曲线C的离心率e=ca=2 3=2 33．
故答案为：2 33．
联立方程组y=13xx23−y2b2=1，消去x，得到关于y的一元二次方程，结合韦达定理即可求出b，进而求出a，c，即可得到双曲线C的离心率．
本题主要考查双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)等差数列{an}的前3项和是24，前5项的和是30．
则a1+a2+a3=24，a1+a2+a3+a4+a5=30，即3a2=24，5a3=30，解得a2=8，a3=6，
故数列的公差d=a3−a2=6−8=−2，
故an=a2+(n−2)d=8+(n−2)×(−2)=12−2n；
(2)由(1)可知，公差d<0，且a5=2>0，a6=0，a7=−2<0，
故当n=5或6时，Tn取得最大值，最大值为T5=30．
【解析】(1)根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
(2)根据已知条件，依次求出a5，a6，a7，并结合公差d<0，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意，圆O：x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r1=2，
圆C：x2+y2−4x+4y+4=0，即(x−2)2+(y+2)2=4，圆心为C(2,−2)，半径r2=2，
若圆O与圆C关于直线l对称，则直线l是OC的垂直平分线，
由kOC=−2−02−0=−1，得l的斜率k=−1kOC=1，
结合OC的中点为(1,−1)，可得直线l的方程为y+1=x−1，即x−y−2=0；
(2)在直线y=2x+b的两旁各有一条直线，它们与直线y=2x+b平行，且距离等于1，
根据题意，可知这两条直线与圆O恰有3个公共点E、D、F，它们到直线y=2x+b的距离等于1．
因此，其中有一条是圆O的切线，到点O的距离等于半径2，
故点O到直线y=2x+b的距离d=2−1=1，即|b| 4+1=1，解得b=± 5．

【解析】(1)根据计算出两圆的的半径相等，故两圆关于连心线的垂直平分线对称，从而算出直线l的方程；
(2)利用点到直线的距离公式，求出到圆心O的距离等于1的直线，恰好符合题中条件，进而算出b的值．
本题主要考查直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比设为q，
由an+1=Sn+3(n∈N+)，可得a2=a1+3，a3=S2+3=a1+a2+3，
即为a1q=a1+3，a1q2=a1+a1q+3，解得q=2，a1=3，
则an=3×2n−1；
(2)由bn=n+1，cn=anbn=3(n+1)⋅2n−1，
数列{cn}的前n项和Tn=3[2×20+3×21+4×22+...+(n+1)⋅2n−1]，
2Tn=3[2×2+3×22+4×23+...+(n+1)⋅2n]，
上面两式相减可得−Tn=3[2+21+22+...+2n−1−(n+1)⋅2n]=3[1+1−2n1−2−(n+1)⋅2n]=−3n⋅2n，
化简可得Tn=3n⋅2n．
【解析】(1)由等比数列的通项公式，分别令n=1，n=2，解方程可得首项与公比，进而得到所求；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：OA的方程为：y=23x，
设F(x,y)，x∈[0,6]，x≠0时，可得C(6,6yx)，
所以E(x,6yx)，E在线段OA上，
所以，6yx=23x，解得x2=9y，x∈[0,6]．
F的轨迹方程为：x2=9y，x∈[0,6]．
【解析】求解直线OA的方程，设出F的坐标，转化求解E的坐标，代入直线方程，求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
依题意得ba=2，2a=2，
解得a=1，b=2，
所以双曲线C的方程为x2−y24=1．
(2)若直线l⊥x轴，此时A、B两点关于x轴对称，
可得线段AB的中点在x轴上，不符合题意；
若直线l与x轴不垂直，不妨设直线l的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x12−y124=1x22−y224=1，
两式相减得(x12−x22)−(y12−y22)4=0，即(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)4=0，
整理得y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=4，
因为线段AB的中点为M(3,2)，
所以x1+x2=6，y1+y2=4，
则46⋅k=4，
解得k=6，
故直线l的斜率为6．
【解析】(1)根据双曲线的性质及已知得ba=2，2a=2，由此可得出双曲线C的方程；
(2)利用点差法及中点坐标公式可求得直线l的斜率．
本题考查双曲线的方程与性质，考查“点差法”，是中档题．
22.【答案】解：(1)证明：连结BD，
∵在四棱锥P−ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，
底面ABCD为直角梯形，AB/​/CD，AB⊥BC，BC=CD=1，PD= 2．
∴BD=AD= 1+1= 2，
∴AD2+PD2=AP2，BD2+PD2=PB2，
∴AD⊥PD，BD⊥PD，
∵AD∩BD=D，∴PD⊥平面ABCD，
∵AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PD．
(2)解：∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，
以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，C(− 22 22,0)，P(0,0, 2)，
PA=( 2,0,− 2)，PB=(0, 2,− 2)，PC=(− 22, 22,− 2)，
设平面ABP的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅PA= 2x− 2z=0n⋅PB= 2y− 2z=0，取x=1，得n=(1,1,1)，
设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，
则m⋅PB= 2y− 2z=0m⋅PC=− 22x+ 22y− 2z=0，取z=1，得m=(−1,1,1)，
设二面角A−PB−C的平面角为θ，
则二面角A−PB−C的余弦值为：
csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=13．
【解析】(1)连结BD，推导出AD⊥PD，BD⊥PD，从而PD⊥平面ABCD，由此能证明AB⊥PD．
(2)由AD2+BD2=AB2，得AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PB−C的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．