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苏科版八年级下册9.1 图形的旋转课堂检测
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这是一份苏科版八年级下册9.1 图形的旋转课堂检测，共37页。试卷主要包含了1图形的旋转专项提升训练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
6．（2022秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转B．顺时针旋转C．逆时针旋转D．逆时针旋转
7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
11．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_______．
14．（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．
15．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在中，，D是线段上的动点．连接，将绕点C逆时针旋转至的位置．连接，则的最大值为 _____．
16．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到．已知，求的度数．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
19．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在BC的延长线上．
(1)用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若∠B＝53°，则________°，________°．
20．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到．
(1)如图①，若D为内一点，求证：；
(2)如图②，若D为边上一点，，求的长．
21．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形中， ，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．
(1)求证：；
(2)若，，试求四边形的对角线的长．
22．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为．
(1)如图，当时，、的大小关系是______；
(2)如图，将绕点点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图，连接，试探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，，连接CP、BE交于点F．
(1)求的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
24．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）定义：如图1，点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点，，，求的长：
(2)如图2，在中，，，点M，N在斜边上，，求证：点M，N是线段的勾股分割点；
(3)在（2）的问题中，，，求BM的长．
专题9.1图形的旋转专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
【答案】B
【分析】根据旋转的定义，即可求解．
【详解】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；
B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；
C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；
D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解.
【详解】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】在直角△A'CD中，求出∠DA'C的度数，然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数，即可求解．
【详解】解：若AC⊥A'B'，垂足为D，
∵AC⊥A'B'，
∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA'，
∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA'B'＝70°﹣50°＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．
【详解】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
【答案】A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
6．（2022秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转B．顺时针旋转C．逆时针旋转D．逆时针旋转
【答案】D
【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°， OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为90°，据此可得答案．
【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA，
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键．
7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，
由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=，FG=，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
，即，
解得：AF=,
∴CF=AC-AF=，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在△ACD1中，易求得AC、CD1、∠ACD1这三个量，通过解三角形即可解决．
【详解】解：如图2，过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2，
∴AB=AC，
∴AC=
∵将三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，CD1=CD=8，
∴CH=D1H=，
∴AH=CH-AC=，
在Rt△AHD1中，由勾股定理得：
AD1=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、以及勾股定理等知识，作出辅助线，将AD1放到直角三角形中是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
【答案】72
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
故答案为：72
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
【答案】689
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案．
【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689．
故答案为：689．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键．
11．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
【答案】60
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
【答案】2
【分析】由旋转得即可求解．
【详解】解： ∵将绕点A逆时针旋转60°得到，
∴．
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据旋转变换的性质画出图形，可得结论．
【详解】解：如图，点绕原点沿顺时针方向旋转后得到点，
，
则点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
14．（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．
【答案】（8088，0）
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再找到图形变换规律为：△OAB每连续3次旋转后与原来的状态一样，然后求得△2022的横坐标，进而得到答案.
【详解】∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
∴△ABO的周长=3+4+5=12，
图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样，
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组第三个三角形的直角顶点，
∴△2020的直角顶点的横坐标=674×12=8088，
∴△2020的直角顶点坐标为（8088，0）．
故答案为（8088，0）．
【点睛】本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律．
15．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在中，，D是线段上的动点．连接，将绕点C逆时针旋转至的位置．连接，则的最大值为 _____．
【答案】
【分析】由旋转的性质结合题意易证，即得出，即说明当最大时，最大．由最大时，点D和点B重合，即为的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，即．
由旋转可知：．
又∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大．
∵D是线段上的动点，
∴最大时，点D和点B重合，即为的长．
∵，
∴，
∴最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．理解当最大时，最大，且为的长是解题关键．
16．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.
【答案】3
【分析】连接，由等边三角形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，即可．
【详解】解：连接，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
过点作于点，
点在直线上一动点，
点与点重合时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，解题的关键是证明．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到．已知，求的度数．
【答案】
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得，再由旋转的性质证得，然后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵
∴
∵将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、旋转的性质、全等三角形的性质等，能利用旋转的性质得证三角形全等是解题的关键．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（2，2）
【分析】（1）根据点B坐标为，点C的坐标为确定原点，再画出坐标系即可；
（2）画出三角形顶点的对称点，再顺次连接即可；
（3）画出旋转后点的位置，写出坐标即可．
（1）
解：坐标系如图所示，
（2）
解：如图所示，就是所求作三角形；
（3）
解：如图所示，点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为，坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）
【点睛】本题考查了平面直角坐标系作图，解题关键是明确轴对称和旋转的性质，准确作出图形，写出坐标．
19．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在BC的延长线上．
(1)用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若∠B＝53°，则________°，________°．
【答案】(1)见解析
(2)106，74
【分析】（1）延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于，然后分别以，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点，连接A，可得；
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（1）
如图，即为所求；
延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于，然后分别以，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点，连接A，可得；
（2）
∵AB＝A
∴∠B＝∠AB＝∠A ＝53°，
∴∠ B＝106°，∠CA＝∠BA＝180°−2×53°＝74°，
故答案为：106，74．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到．
(1)如图①，若D为内一点，求证：；
(2)如图②，若D为边上一点，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵绕着点C逆时针旋转到，
∴．
∴，
即，
在和△中，，
∴（SAS），
∴．
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形中， ，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．
(1)求证：；
(2)若，，试求四边形的对角线的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，设与分别交于点，则根据三角形内角和定理可得，从而得出结论；
（2）连，根据题意得出，根据勾股定理求出的长，然后证明，根据勾股定理可得的长，则结果可得．
【详解】（1）证明：由题意可得，，
∴，
设与分别交于点，
∵，，
∴，
即；
（2）解：连，
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
22．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为．
(1)如图，当时，、的大小关系是______；
(2)如图，将绕点点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图，连接，试探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）连接，由，得，可得，而，为中点，知是的平分线，即得；
（2）过作于，于，同（1）可得，由，可得，从而，可证，故；
（3）过作于，于，由（2）知，可得，，，即可得，而，，有，从而，设，则，，由，得，，即，，又，即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接，如图：
，
，
，即，
，为中点，
是的平分线，
，，
角平分线上的点到两边的距离相等；
故答案为：；
（2）将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：
过作于，于，如图：
同（1）可得，
，
，
，即，
，
∴，
；
（3），证明如下：
过作于，于，如图：
由（2）知，
，，，
，
，
，
，，
，
于，于，
，
设，则，，
，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
23．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，，连接CP、BE交于点F．
(1)求的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）先证明，可得．可得，从而可得答案；
（2）①先证明，可得，再证明即可；②由，可得，再证明，结合等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图1，∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①，理由：
如图2，由旋转性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
②，理由：
∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、旋转性质、平行线的判定与性质、三角形的外角性质等，熟练的利用全等三角形的判定方法证明三角形全等是解本题的关键．
24．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）定义：如图1，点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点，，，求的长：
(2)如图2，在中，，，点M，N在斜边上，，求证：点M，N是线段的勾股分割点；
(3)在（2）的问题中，，，求BM的长．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分是直角三角形斜边的长和直角边的长两种情况利用勾股定理求解即可；
（2）如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，由旋转的性质可知，则，再证明，得到 在中，由勾股定理得：，则；
（3）如图所示，过点C作于H，则是等腰直角三角形，得到，求出，则，由此求解即可．
【详解】（1）解：当是直角三角形斜边的长时，由勾股定理得；
当当是直角三角形直角边的长时，由勾股定理得；
∴的长为或；
（2）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，过点C作于H，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
6．（2022秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转B．顺时针旋转C．逆时针旋转D．逆时针旋转
7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
11．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_______．
14．（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．
15．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在中，，D是线段上的动点．连接，将绕点C逆时针旋转至的位置．连接，则的最大值为 _____．
16．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到．已知，求的度数．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
19．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在BC的延长线上．
(1)用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若∠B＝53°，则________°，________°．
20．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到．
(1)如图①，若D为内一点，求证：；
(2)如图②，若D为边上一点，，求的长．
21．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形中， ，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．
(1)求证：；
(2)若，，试求四边形的对角线的长．
22．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为．
(1)如图，当时，、的大小关系是______；
(2)如图，将绕点点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图，连接，试探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．
23．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，，连接CP、BE交于点F．
(1)求的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
24．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）定义：如图1，点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点，，，求的长：
(2)如图2，在中，，，点M，N在斜边上，，求证：点M，N是线段的勾股分割点；
(3)在（2）的问题中，，，求BM的长．
专题9.1图形的旋转专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了4米B．小明在荡秋千
C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下
【答案】B
【分析】根据旋转的定义，即可求解．
【详解】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；
B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；
C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；
D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解.
【详解】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】在直角△A'CD中，求出∠DA'C的度数，然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数，即可求解．
【详解】解：若AC⊥A'B'，垂足为D，
∵AC⊥A'B'，
∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA'，
∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA'B'＝70°﹣50°＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到，则点的坐标为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．
【详解】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．
故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．
5．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（4，4）C．（2，1）D．（1，1）或（4，4）
【答案】A
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，
点E即为旋转中心，E（1，1），
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
6．（2022秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ）
A．顺时针旋转B．顺时针旋转C．逆时针旋转D．逆时针旋转
【答案】D
【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°， OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为90°，据此可得答案．
【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，
∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA，
故选∶D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键．
7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，
由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，DE=，
∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，
∵AG⊥DE，
∴DG=GE，∠GAF=30°，
∴AG=GE=，FG=，
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
，即，
解得：AF=,
∴CF=AC-AF=，
故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中，斜边．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到（如图2），此时AB与交于点O，则线段的长度为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在△ACD1中，易求得AC、CD1、∠ACD1这三个量，通过解三角形即可解决．
【详解】解：如图2，过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AC=BC，
∴2AC2=AB2，
∴AB=AC，
∴AC=
∵将三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，
∴∠ACD1=30°+15°=45°，CD1=CD=8，
∴CH=D1H=，
∴AH=CH-AC=，
在Rt△AHD1中，由勾股定理得：
AD1=，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、以及勾股定理等知识，作出辅助线，将AD1放到直角三角形中是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
【答案】72
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
故答案为：72
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______．
【答案】689
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案．
【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689．
故答案为：689．
【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键．
11．（2022秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
【答案】60
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
12．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
【答案】2
【分析】由旋转得即可求解．
【详解】解： ∵将绕点A逆时针旋转60°得到，
∴．
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
13．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕点按顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据旋转变换的性质画出图形，可得结论．
【详解】解：如图，点绕原点沿顺时针方向旋转后得到点，
，
则点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．
14．（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．
【答案】（8088，0）
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再找到图形变换规律为：△OAB每连续3次旋转后与原来的状态一样，然后求得△2022的横坐标，进而得到答案.
【详解】∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
∴△ABO的周长=3+4+5=12，
图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样，
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组第三个三角形的直角顶点，
∴△2020的直角顶点的横坐标=674×12=8088，
∴△2020的直角顶点坐标为（8088，0）．
故答案为（8088，0）．
【点睛】本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律．
15．（2022春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在中，，D是线段上的动点．连接，将绕点C逆时针旋转至的位置．连接，则的最大值为 _____．
【答案】
【分析】由旋转的性质结合题意易证，即得出，即说明当最大时，最大．由最大时，点D和点B重合，即为的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，即．
由旋转可知：．
又∵，
∴，
∴，
∴当最大时，最大．
∵D是线段上的动点，
∴最大时，点D和点B重合，即为的长．
∵，
∴，
∴最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．理解当最大时，最大，且为的长是解题关键．
16．（2022春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.
【答案】3
【分析】连接，由等边三角形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，即可．
【详解】解：连接，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
过点作于点，
点在直线上一动点，
点与点重合时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，解题的关键是证明．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到．已知，求的度数．
【答案】
【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得，再由旋转的性质证得，然后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵
∴
∵将绕直角顶点按逆时针方向旋转得到
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、旋转的性质、全等三角形的性质等，能利用旋转的性质得证三角形全等是解题的关键．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为，点C的坐标为．
(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系；
(2)画出关于x轴对称图形；
(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)（2，2）
【分析】（1）根据点B坐标为，点C的坐标为确定原点，再画出坐标系即可；
（2）画出三角形顶点的对称点，再顺次连接即可；
（3）画出旋转后点的位置，写出坐标即可．
（1）
解：坐标系如图所示，
（2）
解：如图所示，就是所求作三角形；
（3）
解：如图所示，点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为，坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）
【点睛】本题考查了平面直角坐标系作图，解题关键是明确轴对称和旋转的性质，准确作出图形，写出坐标．
19．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点恰好落在BC的延长线上．
(1)用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若∠B＝53°，则________°，________°．
【答案】(1)见解析
(2)106，74
【分析】（1）延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于，然后分别以，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点，连接A，可得；
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（1）
如图，即为所求；
延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于，然后分别以，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点，连接A，可得；
（2）
∵AB＝A
∴∠B＝∠AB＝∠A ＝53°，
∴∠ B＝106°，∠CA＝∠BA＝180°−2×53°＝74°，
故答案为：106，74．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知是等腰直角三角形，，点D是平面内任意一点，绕着点C逆时针旋转到．
(1)如图①，若D为内一点，求证：；
(2)如图②，若D为边上一点，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵绕着点C逆时针旋转到，
∴．
∴，
即，
在和△中，，
∴（SAS），
∴．
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形中， ，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．
(1)求证：；
(2)若，，试求四边形的对角线的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得出，设与分别交于点，则根据三角形内角和定理可得，从而得出结论；
（2）连，根据题意得出，根据勾股定理求出的长，然后证明，根据勾股定理可得的长，则结果可得．
【详解】（1）证明：由题意可得，，
∴，
设与分别交于点，
∵，，
∴，
即；
（2）解：连，
∵，
∴．
∵，
∴，．
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
22．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，中，，，点是斜边的中点，点、分别在边、上，且，垂足为．
(1)如图，当时，、的大小关系是______；
(2)如图，将绕点点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图，连接，试探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）连接，由，得，可得，而，为中点，知是的平分线，即得；
（2）过作于，于，同（1）可得，由，可得，从而，可证，故；
（3）过作于，于，由（2）知，可得，，，即可得，而，，有，从而，设，则，，由，得，，即，，又，即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
连接，如图：
，
，
，即，
，为中点，
是的平分线，
，，
角平分线上的点到两边的距离相等；
故答案为：；
（2）将绕点点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：
过作于，于，如图：
同（1）可得，
，
，
，即，
，
∴，
；
（3），证明如下：
过作于，于，如图：
由（2）知，
，，，
，
，
，
，，
，
于，于，
，
设，则，，
，
，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
23．（2022春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，，连接CP、BE交于点F．
(1)求的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）先证明，可得．可得，从而可得答案；
（2）①先证明，可得，再证明即可；②由，可得，再证明，结合等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图1，∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①，理由：
如图2，由旋转性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
②，理由：
∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、旋转性质、平行线的判定与性质、三角形的外角性质等，熟练的利用全等三角形的判定方法证明三角形全等是解本题的关键．
24．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）定义：如图1，点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点，，，求的长：
(2)如图2，在中，，，点M，N在斜边上，，求证：点M，N是线段的勾股分割点；
(3)在（2）的问题中，，，求BM的长．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）分是直角三角形斜边的长和直角边的长两种情况利用勾股定理求解即可；
（2）如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，由旋转的性质可知，则，再证明，得到 在中，由勾股定理得：，则；
（3）如图所示，过点C作于H，则是等腰直角三角形，得到，求出，则，由此求解即可．
【详解】（1）解：当是直角三角形斜边的长时，由勾股定理得；
当当是直角三角形直角边的长时，由勾股定理得；
∴的长为或；
（2）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点M，N是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，过点C作于H，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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