数学八年级下册9.3 平行四边形习题

这是一份数学八年级下册9.3 平行四边形习题，共29页。试卷主要包含了3平行四边形的性质专项提升训练等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知的周长为56，AB=4，则BC=（ ）
A．4B．12C．24D．28
2．(2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补B．对角互补C．对边相等D．对角线互相平分
3．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，其中AB=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
4．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上．已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数（ ）
A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，P是ABCD内一点，且S△PAB=6，S△PAD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4．5C．5D．无法计算
6．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在平行四边形的内部交于点P；③连接并延长交于点E，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2015秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．48B．24C．36D．40
8．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，平行四边形ABCD的面积为6，则的值是（ ）
A．2B．2C．3D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在中，，则的度数为______．
10．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交DC于E，AD＝5，AB＝8，则EC的长为_____．
11．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=120°，则∠BAC的度数是____．
12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为_______．
13．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为______．
14．（2022秋·江苏连云港·八年级校考期中）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A(﹣1,0)、B(﹣2,﹣3)、C(2,﹣1)，那么第四个顶点D的坐标是______．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，▱ABCD的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y =kx+4可将▱ABCD的面积平分，则k＝_________．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，求△BOC的周长
18．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，E是BC上的一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°．求∠BAE和∠D的度数．
19．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
20．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，
(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
21．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，▱的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．
22．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于点E和点F．试说明：
(1)△ABE是等腰三角形；
(2)四边形AECF是平行四边形．
23．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， （填写序号）．
求证：．
24．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以证明这个结论．
已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
(1)证明：
【性质应用】
(2)如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE＝OF
(3)连结AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，则▱ABCD的周长是______．
专题9.3平行四边形的性质专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知的周长为56，AB=4，则BC=（ ）
A．4B．12C．24D．28
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质进行计算，即可求出答案
【详解】解：∵的周长为56，
∴，
∴，
∴；
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质进行解题
2．(2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补B．对角互补C．对边相等D．对角线互相平分
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、平行四边形邻角互补正确，故不符合题意；
B、平行四边形对角不一定互补，故符合题意；
C、平行四边形对角相等正确，故不符合题意．
D、平行四边形的对角线互相平分正确，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握以上性质即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
3．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，其中AB=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，∠EBC=∠AEB，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠AEB=∠ABE，AB=AE，
平行四边形ABCD的周长=2AB+2（AE+ED）
=2×3+2×（3+2）
=16．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
4．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，△ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F在边BC上．已知BE＝DE，CF＝FG，则∠A的度数（ ）
A．等于80°B．等于90°C．等于100°D．条件不足，无法判断
【答案】B
【分析】由BE=DE，CF=FG，根据等边对等角的性质，可得∠BDE=∠B，∠CGF=∠C，又由四边形DEFG是平行四边形，可得∠DEF+∠EFG=180°，即可得2∠B+2∠C=180°，继而求得∠B+∠C=90°，则可求得答案．
【详解】解：∵BE=DE，CF=FG，
∴∠BDE=∠B，∠CGF=∠C，
∴∠DEF=∠BDE+∠B=2∠B，∠EFG=∠C+∠CGF=2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DEFG，
∴∠DEF+∠EFG=180°，
∴2∠B+2∠C=180°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=90°．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．注意能求得∠B+∠C=90°是关键．
5．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，P是ABCD内一点，且S△PAB=6，S△PAD=2，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4．5C．5D．无法计算
【答案】A
【分析】】根据图形得出，求出，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
则
=6-2
=4．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的面积的有关问题，解题的关键是推出．
6．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在平行四边形的内部交于点P；③连接并延长交于点E，交的延长线于点F，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先根据角平分线的性质得出，再由平行四边形的性质得出，，故可得出，，故可得出，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可知，是的平分线，
．
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法以及平行四边形的性质是解答此题的关键．
7．（2015秋·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（ ）
A．48B．24C．36D．40
【答案】A
【分析】设BC＝x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：设BC＝x，
∵平行四边形ABCD的周长为40，
∴CD＝20﹣x，
∵平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝12×4＝48．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解公式，根据面积列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
8．（2022秋·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，平行四边形ABCD的面积为6，则的值是（ ）
A．2B．2C．3D．3
【答案】B
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长，然后根据平行四边形的面积求得AD边上的BM，然后解等腰直角三角形即可求得BE，得到a的值．
【详解】过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y=x的平行线，交AD于B
如图1所示，
由图象和题意可得，AE=7-5=2，DE=8-7=1，
∴AD=2+1= 3，
∵平行四边形ABCD的面积为6，
BM=2，
∵直线BE平行直线y=x，
∴BM=EM=2，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）在中，，则的度数为______．
【答案】##130度
【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠A=130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
10．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交DC于E，AD＝5，AB＝8，则EC的长为_____．
【答案】3
【分析】首先根据角平分线的性质可得∠DAE=∠BAE，再根据平行线的性质可得∠BAE=∠DEA，利用等量代换可得∠DAE=∠DEA，根据等角对等边可得AD=DE，再根据线段的和差关系可得EC长．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=5，
∵DC=AB=8，
∴EC=8-5=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是得到AD=DE．
11．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=120°，则∠BAC的度数是____．
【答案】20°##20度
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝120°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝120°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°−∠ABC＝180°−120°=60°，
∴∠BAC＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查了平行四边形背景下的角度求解，涉及平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，等边对等角等等，正确的识别图形找准角度之间的关系是解决问题的关键．
12．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为9cm，则平行四边形ABCD的周长为_______．
【答案】18cm##18厘米
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE＝DE，又由△CDE的周长为9cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长9cm，
即CD+DE+EC＝9cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2（BC+CD）＝2（BE+EC+CD）＝2（DE+EC+CD）＝2×9＝18cm．
故答案为：18cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
13．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为______．
【答案】13
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解，，由即可求解的长．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明，是解题的关键．
14．（2022秋·江苏连云港·八年级校考期中）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A(﹣1,0)、B(﹣2,﹣3)、C(2,﹣1)，那么第四个顶点D的坐标是______．
【答案】(3,2)
【分析】连接AC，BD，两线交于点M，设D点坐标为，利用中点坐标公式即可求解．
【详解】连接AC，BD，两线交于点M，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD的交点M为AC、BD的中点，
∵，，，
设D点坐标为，
∴根据中点坐标公式有：，
解得，
∴ D点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的知识，掌握中点坐标公式是解答本题的关键．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，▱ABCD的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y =kx+4可将▱ABCD的面积平分，则k＝_________．
【答案】-1
【分析】连接BO、AC交于点D，直线将平行四边形的面积平分，可知直线一定过平行四边形的对角线的交点，求得交点D，然后将点D代入直线即可．
【详解】解：连接AC、BO，交于点D，
当直线经过点D时，该直线可将的面积平分，
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵，
∴，
∵直线过，
∴，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，以及一次函数，解题的关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
16．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 _____．
【答案】2≤m≤4
【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°，
当点Q与点C重合时，如图所示：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AB＝BC，
∵BC＝4，
∴m＝4，
当点Q与点D重合时，如图所示：
延长CP交BA的延长线于点K，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠KPB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△KBP≌△CBP（ASA），
∴BK＝BC，KP＝CP，
∵ABCD，
∴∠K＝∠DCP，
又∵∠KPA＝∠CPD，
∴△KPA≌△CPD（ASA），
∴CD＝AK，
∵AB＝CD，
∴BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴m＝2，
综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，求△BOC的周长
【答案】15cm
【分析】根据平行四边形的性质可求出BO，CO，即可得．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm，
∴cm，cm，
∴的周长为：（cm），
即的周长为15cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
18．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在□ABCD中，E是BC上的一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°．求∠BAE和∠D的度数．
【答案】∠BAE=62°，∠D=56°
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，∠B＝∠D，由平行线的性质可求∠BAE＝∠F＝62°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠D度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠BAE＝∠F＝62°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠BAE＝∠BEA＝56°，
∴∠D＝56°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用平行四边形的性质是本题的关键．
19．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用无刻度的直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，作边AD上的中点F；
(2)在图2中，作边AB上的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质即可在图1中，作边AD上的中点F；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，作两次平行四边形即可作边AB上的中点G．
（1）
解：在图1中，点F即为边AD上的中点；
（2）
在图2中，点G即为边AB上的中点．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是准确画图．
20．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，
(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得，AD=BC，再由点E、F是、的中点，可得DE=BF，即可求证；
（2）根据和平分可得∠CFD=∠CDF，从而得到CF=CD=5，即可求解．
（1）证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∵点E、F是、的中点，
∴，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， CD=AB=5，
∴∠ADF=∠CFD，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC-CF=8-5=3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟记平行四边形的性质，证出CF=CD是解决问题（2）的关键．
21．（2022秋·江苏常州·八年级统考期中）如图，▱的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
≌（ASA），
．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．（2022秋·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交BC、AD于点E和点F．试说明：
(1)△ABE是等腰三角形；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，得；根据平分，得，等量代换得，根据等角对等边，即可证明是等腰三角形．
（2）根据题（1）得，，同理可证是等腰三角形，得，根据四边形是平行四边形，得，，，得，，；根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形．
（1）
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴是等腰三角形．
（2）
由（1）得，
同理可得是等腰三角形
∴
∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查等腰三角形和平行四边形的综合应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理和平行四边形的性质和判定定理．
23．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）在①；②；③；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， （填写序号）．
求证：．
【答案】①(或②或③),证明见解析
【分析】根据平行四边形的判定定理和判定三角形全等的“SAS”或“AAS”得到三角形全等，再由全等三角形的判定和性质可得结论．
【详解】解：如图，连接BE、DF，
若①，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：①；
若②，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：②.
若③，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：③.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以证明这个结论．
已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
(1)证明：
【性质应用】
(2)如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE＝OF
(3)连结AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，则▱ABCD的周长是______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)30
【分析】（1）证△AOB≌△COD（ASA），即可得出OA=OC，OB=OD；
（2）证△OAE≌△OCF（ASA），即可得出OE=OF；
（3）由线段垂直平分线的性质得AF=CF，再由三角形的周长得AB+BC=15，即可求解．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OA=OC，OB=OD；
（2）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF；
（3）
解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∵△ABF的周长是15，
∴AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=15，
∴▱ABCD的周长=2（AB+BC）=30，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AOB≌△COD和△OAE≌△OCF是解题的关键．