吉林省辽源市东辽县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省辽源市东辽县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列图形是化学中常用实验仪器的平面示意图，从左至右分别代表广口瓶、圆底瓶、蒸馏烧瓶和锥形瓶，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列多项式中，能分解因式的是（ ）
A．-a2+b2B．-a2-b2C．a2-4a-4D．a2+ab+b2
4．如图，已知，连接、，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，平分，平分，与交于点，其中，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，，于点D，于点E，于点F，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．当x 时，分式有意义．
8．已知一个正多边形的一个内角是120º，则这个多边形的边数是 ．
9．若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ．
10．已知，则的值为 ．
11．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ .

12．如图，，点A与点，点B与点为对应顶点，交于点D，若，则 °.
13．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，，且点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，则x＝ ．
14．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数，若设第二次分钱的人数为，则可列方程为 ．
三、解答题
15．计算：．
16．计算：．
17．长春轨道交通5号线是长春市正在修建的一条地铁线路，其中末段线路的施工单位计划入冬前盾构施工1600米，为了尽快完成任务，实际工作效率是原计划工作效率的2倍，结果提前20天完成盾构施工任务.问原计划每天盾构施工多少米？
18．如图，，，．求∠和的度数．
19．先化简，再求值： 其中.
20．如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图三个图中的三角形为格点三角形，在图中分别画出与已知三角形成轴对称（对称轴不相同）的格点三角形．
21．如图，在中，，，平分交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形.
22．如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
23．如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)当，时，求的面积．
24．已知分式:
（1）化简这个分式
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a>2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值.
25．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by) ②2xy+y²-1+x²=x²+2xy+y²−1
=x(a+b)+y(a+b) =(x+y)²-1
=(a+b)(x+y) =(x+y+1)(x+y−1)
b.拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x²+2x-3=x²+2x+1−4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ．
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a²—b²+a—b；
(2)分解因式：a²+4ab—5b²；
(3)多项式x²-6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
26．在中，，，．是经过点的直线，于，于．
(1)求证：
(2)若将绕点旋转，使与相交于点（如图，其他条件不变，求证：．
(3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点（如图，连接，求证：．
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．依据轴对称图形的定义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行解答．
【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、选项中的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
3．A
【详解】A选项可利用平方差公式进行因式分解,,故A能进行因式分解,
B选项不符合平方差公式的特征,故B选项不能因式分解,
C选项不符合完全平方公式的特征,也没有公因式,也不能十字相乘,故C选项不能因式分解,
D选项不符合完全平方公式的特征,也没有公因式,也不能十字相乘,故D选项不能因式分解,
故选A.
4．C
【分析】先根据全等三角形的性质求出，，再根据等腰三角形的性质求出，最后根据计算即可．
【详解】∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
．
平分，平分，
，，
．
是的外角，
．
故选：D
6．B
【分析】由是等腰三角形，于点D，得到，，又由得到，则，由得到，则，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
7．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题时也要注意分式无意义的条件是分母等于零．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
【详解】解：分式有意义，
，
解得，
故答案为：
8．6
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：∵一个正多边形的一个内角是120º，
∴这个正多边形的一个外角为：180º-120º=60º，
∵多边形的外角和为360º，
∴360º÷60º =6，
则这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
9．
【分析】由同类项定义求出a，b的值，再求单项式的乘积即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，，即：，
∴单项式的积为
故答案为．
【点睛】本题考查同类项定义以及单项式乘单项式，关键是根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项，求出a，b的值．
10．1025
【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：1025．
【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键．
11．58°
【分析】设∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出α与β的值.
【详解】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得，
解得：，
∴∠BAD＝58°；
故答案为58°.
【点睛】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于α与β的方程组，本题属于中等题型．
12．55
【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质及角的和差可得，结合，可求得，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：55
13．-1或
【分析】先分别表示出点A到原点的距离，点B到原点的距离，然后根据题意列出关于x的方程，解方程即可求得答案.
【详解】∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-4与，
∴点A到原点的距离为4，点B到原点的距离是，
又∵点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，
∴4=，
∴x=-1或x= ，
检验：当x=-1或x=时，5x+1≠0，
∴分式方程的解为x=-1或x=，
故答案为：-1或 .
【点睛】本题考查了数轴、分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键.
14．
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】解：第二次每人所得，
第一次每人所得，
∵第二次每人所得与第一次相同，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握平均分，是解决问题的关键．
15．7
【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键．
16．
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
17．40米
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设实际每天盾构施工米，则原计划每天盾构施工米，根据“末段线路的施工单位计划入冬前盾构施工1600米，实际工作效率是原计划工作效率的2倍，结果提前20天完成盾构施工任务”，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设实际每天盾构施工米，则原计划每天盾构施工米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天盾构施工40米．
18．，．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂线的性质，由，得到，即可求出和，进而求出，掌握三角形的内角和定理的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
19．4
【分析】先化简，再将a、b的值代入计算即可．
【详解】解：原式
；
，
．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
20．见解析
【分析】本题考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．
【详解】解：如图所示：
21．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线的性质求得，由三角形内角和定理求得，根据等腰三角形的判定即可证得结论．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
；
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
（1）根据证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
∴,
，
∴，则，
∵，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质．
（1）根据等边三角形的性质，即可证明结论；
（2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过作于，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：设，则，
，，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
如图，过作于，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积．
24．(1) ;(2)变小了，理由见解析;(3) a＝0、﹣2、3、4、6
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和计算法则化简；
（2）由题意列式求出A﹣B，再结合a的范围判断其大小；
（3）由A的值是整数，且a也为整数，可得：a﹣2＝±1、±2、±4，再结合a的取值范围可得a的值．
【详解】（1），
＝，
＝；
（2）变小了，
理由如下：
A﹣B＝﹣＝＝，
∵a＞2，
∴a﹣2＞0，a+1＞0，
∴A﹣B＝＞0，即A＞B，
故分式B的值较原来分式A的值变小了；
（3）A＝＝1+，
∵A的值是整数，
∴a﹣2＝±1、±2、±4，
又∵a-1≠0，a-2≠0,
∴a＝0、﹣2、3、4、6.
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟记并运用分式的计算法则进行计算.
25．(1)（a—b）（a＋b＋1）；
(2)（a＋5b）（a－b）；
(3)多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【分析】（1）将前面两项利用平方差公式分解因式，进而利用提公因式法分解因式即可；
（2）将前a²+4ab—5b²转化为（a²+4ab+4b²）－9b²，前三项符合完全平方公式，然后进一步分解即可；
（3）将x²-6x+1转化成（x²－6x+9）－8进一步分解为（x－3）²－8，根据（x－3）²≥0，即可求得x²-6x+1的最小值，同时求得取最小值时x的值．
【详解】（1）解：a²—b²+a—b
＝（a＋b）（a—b）＋（a—b）
＝（a—b）（a＋b＋1）；
（2）解：a²+4ab—5b²
＝a²+4ab+4b²－4b²－5b²
＝（a²+4ab+4b²）－9b²
＝（a＋2b）2－（3b）²
＝（a＋2b＋3b）（a＋2b－3b）
＝（a＋5b）（a－b）；
（3）解：x²-6x+1
＝x²－6x+9－9＋1
＝（x²－6x+9）－8
＝（x－3）²－8
∵（x－3）²≥0，
∴（x－3）²－8≥﹣8，
∴x²-6x+1≥﹣8，
∴多项式x²-6x+1有最小值为﹣8，此时，x－3＝0，即x＝3．
∴多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3．
【点睛】此题主要考查了分组分解法和拆项法，将原式分组和拆项后转化为能用提公因式法、公式法进行分解是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得；
（2）首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得；
（3）首先证明，然后再证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论．
【详解】（1）如图1，，，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）如图3，过作交于，
，
，
，
，
由（2）得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．