江苏省泰州市高港区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省泰州市高港区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是3B．
C．4的算术平方根是2D．9的立方根是3
3．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．下列分式中，一定有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
5．在联合会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点
6．如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（ ）
A．面积不变，周长不变B．面积不变，周长改变
C．面积改变，周长不变D．面积改变，周长改变
二、填空题
7．2023年我省硕士研究生考试共人，这个数据用科学记数法可表示为 （精确到万位）．
8．比较大小：2 ．（填“＞”、“＜”或“=”）
9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则 ．
10．分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，若这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，则△ABC 直角三角形．（填“是”或“不是”）
11．如图，长方形的边落在数轴上，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以B为圆心，为半径画弧交数轴于点E，则点E在数轴上所表示的数为 ．
12．“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．若关于的方程的解为整数解，则满足条件的负整数的值是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知∥，直线经过原点，直线对应的函数表达式为，点在直线上， ，垂足为，则线段的长为
15．如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点D,E时，需满足的取值范围为 ．
16．如图，在中，平分，于点，于点，，，则 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）化简：
18．解下列方程：
(1)
(2)
19．先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
20．如图，在四边形ABCD中，，垂足为E．
(1)求证：；
(2)若，则___________．
21．观察图象，回答下列问题：
(1)观察图象特征，可直接写出不等式的解集为______；
(2)像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想
(3)当取任意一个不为0的实数时，方程组一定有解吗？如果一定，求出该解；如果不一定，请说明理由．
22．为弘扬雷锋精神，重温革命先烈的艰苦奋斗历史，某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观，需要租用甲、乙两种客车共6辆（每种车至少租一辆）．已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆，设租用乙种客车x辆，租车费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，租用乙种客车多少辆时，租车费用最少？最少费用是多少元？
23．在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为．
(1)如图1，若，试判断与的关系，并说明理由；
(2)如图2，若，，，求线段的长度．
24．定义：对于一次函数（、为常数，）如果当时，，且满足（为常数）那么称此函数为“级函数”．如：正比例函数，当时，，则，求得，所以函数为“3级函数”．
(1)如果一次函数为“级函数”，那么的值是______；
(2)如果一次函数为“5级函数”，
①求的值；
②求此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积．
25．已知，分别是的边，上的点．
(1)如图1，为角平分线上的一点，且，，证明；
(2)如图2，为角平分线上的一点，且，请在以下两个选项：①；②中选择一个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明；你选择的条件是______，结论是______；（只填序号）
证明：
(3)如图3，若为外一点，分别在边，上求作点、，使得为锐角，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留必要的作图痕迹）
26．已知等边中，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为一边在的上方作等边．
(1)如图1，在点运动的过程中，若，则______度；若，则______度：
(2)如图2，取边的中点，连接．
①试判断与的位置关系，并予以证明；
②若连接，是否存在这样的点，使是等腰直角三角形，如果存在，请确定点的位置并加以证明：如果不存在，也请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．判断各项即可．
【详解】解：选项C的图形能找到一条直线，使图形沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C
2．C
【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握各自定义是解题的关键．利用平方根、算术平方根及立方根的定义判断即可．
【详解】解：、，的平方根是，不符合题意；
、，不符合题意；
、4的算术平方根是2，符合题意；
、9的立方根是，不符合题意．
故选：．
3．A
【分析】此题主要考查坐标与图形变化-轴对称，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案。
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零逐项判断即可得出答案．
【详解】解：、当时，，分式无意义，故选项不符合题意；
、当时，，分式无意义，故选项不符合题意；
、无论取何值，都有，分式一定有意义，故选项符合题意；
、当时，，分式无意义，故选项不符合题意，
故选：．
5．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，利用要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置即可得到答案．
【详解】解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到、、三名选手距离相等的位置，
则凳子所在的位置是的外接圆圆心，
∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，
∴凳子的位置应该放在三边中垂线的交点．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，进而推出四边形的面积等于面积的一半，即可得出结论．
【详解】∵等腰直角，
∴，，
连接
∵点为斜边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的边长一定，
∴四边形的面积为定值，
∵四边形的周长，
∴四边形的周长随着的变化而变化，
故四边形的面积不变，周长改变，
故选B．
7．
【分析】本题考查了科学记数法和近似数，结合四舍五入取得数据310967精确到万位，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示形式，直接作答即可．
【详解】解：精确到万位即，
，
故答案为：．
8．>
【分析】用作差法比较即可.
【详解】∵2-()=2-+1=3-=->0.
故答案为>.
【点睛】本题考查了实数的大小比较，比较时数的大小的方法有：求差法、平方法以及近似值法．
9．
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．由旋转的性质可知，由，推出，设，则，利用三角形内角和定理，构建方程求出即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，
设，则
故答案为：．
10．不是．
【分析】直接利用正方形的性质结婚和勾股定理的逆定理进而分析得出答案．
【详解】∵分别以△ABC的各边为一边向三角形外部作正方形，这三个正方形的面积分别为6cm2、8cm2、10cm2，
∴三边平方后分别为：6，8，10，
∵6+8≠10，
∴△ABC不是直角三角形．
故答案为不是．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的逆定理，正确得出边长与正方形的关系是解题关键．
11．/
【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数．
【详解】解：四边形是长方形，A、B两点在数轴上对应的数分别为和1，，
依题意.
设点E在数轴上所表示的数为，则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握勾股定理求得是解题的关键．
12．真
【分析】本题主要考查了判断命题真假、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．根据真假命题的概念进行判断即可．
【详解】解：一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形是真命题．
如图，已知是的边上的中线，且．
求证：是直角三角形．
证明：∵，
∴，
同理，
∵，
即，
∴，即．
∴是直角三角形．
故答案为：真．
13．
【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的取值范围．先求出方程的解，再根据解的情况，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：解方程，得：，
∵方程的解为整数解，且，为负整数，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】过点O作OC⊥于C，可得出四边形OCAB是矩形，则OC=AB；分别求得与两个坐标轴的交点坐标，在与两个坐标轴围成的直角三角形中利用勾股定理与三角形的面积求得OC，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点O作OC⊥于C，
∵∥，AB⊥，OC⊥，
∴四边形OCAB是矩形，
∴OC=AB；
∵=0时，x=-3，
∴直线与两个坐标轴的交点坐标分别为D（0，4），E（-3，0），
∴DE==5，
∴DE•OC=OE•OD，
即×5×OC=×3×4，
解得：OC=．
∴AB=．
故答案为．
【点睛】本题考查两直线相交或平行问题以及勾股定理，矩形的判定，注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
15．/
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据题意分两种情况进行讨论，一是当E点无限靠近A点时，二是当E点与C点重合时，分情况讨论即可得出答案．
【详解】解：根据题意分两种情况进行讨论，（1）当E点无限靠近A点时，
此时无限接近，
，
（2）当E点与C点重合时，
此时是等腰直角三角形，
，
综上所述需满足的取值范围为，
故答案为：．
16．1.4
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．延长，交于点E，先证明是等腰三角形，然后得到AE长，然后利用勾股定理得到，解题即可．
【详解】解：延长，交于点E，
∵平分，
∴
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
则，
即，
解得：，
故答案为：．
17．（1）（2）
【分析】（1）本题考查的含有立方根、算术平方根的实数混合运算，按照实数的混合运算法则计算即可．
（2）运用平方差公式对分式进行运算即可．
【详解】解：（1）
（2）
18．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了立方根的性质，解分式方程；
（1）根据立方根的性质求解即可；
（2）方程两边同乘以，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后即可得到答案．
【详解】（1）解：开立方得：，
所以；
（2）解：方程两边同乘以得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
19．；a=0时，原式=1．
【分析】根据分式的运算法则化简，a取一个满足条件的值，代入计算即可．
【详解】
＝
=
=，
当a＝0时，原式＝1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BE=AD，因为ADBC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：；
（2）因为∠DBC=，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数．
【详解】（1）证明：∵ADBC，
∴∠ADB=∠EBC．
∵CE⊥BD，∠A=，
∴∠A=∠CEB，
在和中，
，
∴（AAS）；
（2）解：∵，
∴BC=BD，
∵∠DBC=，
∴∠EDC=，
又∵CE⊥BD，
∴∠CED=，
∴∠DCE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
21．(1)
(2)C
(3)不一定，理由见解析
【分析】本题考查一次函数，分式有意义的条件：
（1）根据图像可直接得出答案；
（2）借助图像得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合；
（3）根据方程组可得：，得出，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：观察图象特征，不等式的解集为，
故答案为：；
（2）解：借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合，
故选：C；
（3）解：根据题意，由方程组可得：，
解得：，
所以，
所以当，方程组无解，即方程组不一定有解
22．(1)y＝﹣150x+2700（0＜x＜6）；
(2)租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元
【分析】（1）租车费用y分为两部分，甲客车的费用与乙客车的费用，分别表示出两种客车的费用相加即可；
（2）由租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，则可得x=1或x=2，代入（1）中的函数关系式进行求解即可．
【详解】（1）解：设租用乙种客车x辆，租车费用为y元，依题意得：
y=450（6-x）+300x，
整理得：y=-150x+2700（0＜x＜6）；
（2）解：∵租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量，
∴x＜6-x，即x＜3，
∴x=1或x=2，
当x=1时，y=-150×1+2700=2550，
当x=2时，y=-150×2+2700=2400，
故租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元．
答：租用乙种客车2辆时，租车费用最少，为2400元．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是读清楚题意，明确租车费用分为两部分．
23．(1)且，理由见解析
(2)0.9
【分析】本题属于三角形综合题，考查了翻折问题，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常规题．
（1）根据翻折的性质可得，，，再证明，再由平行线的性质可得，再由等腰三角形的判定可以得出，最后可得结论；
（2）先根据条件求出，，设，则，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）且，理由如下：
由翻折可知，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
；
（2），，
，，
设，则，
在中，，
，
即的长度为0.9
24．(1)2
(2)①或；②
【分析】（1）根据“级函数”的定义求解即可；
（2）①分和两种情况，根据“级函数”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案；②分和两种情况，分别求得该一次函数图像与坐标轴交点，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数，
当时，，
当时，，
则有，解得，
∴一次函数为“2级函数”，即的值是2．
故答案为：2；
（2）①对于一次函数，
当时，，
当时，，
若，则随的增大而增大，
即当时，可有，
则有，
解得；
若，则随的增大而减小，
即当时，可有，
则有，
解得．
综上所述，或；
②当时，如下图，该一次函数为，
令时，可有，即。
当时，可有，解得，即
∴，，
∴；
当时，如下图，该一次函数为，
令时，可有，即
当时，可有，解得，即，
∴，，
∴．
综上所述，此一次函数的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为．
【点睛】本题主要考查了新定义“级函数”、一次函数的图像与性质、一次函数图像与坐标轴交点问题、坐标与图形、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“级函数”是解题关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线的尺规作图，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先证明即可解答 ．
（2）过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用三角形内角和定理证明，进而得到由此即可证明，则；过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用HL证明，得到，再利用三角形内角和定理证明，由此即可证明．
（3）过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M，则、即为所求．
【详解】（1）∵为角平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）条件①，结论②，
过点P作于H，于G，
∵为角平分线上的一点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
条件②，结论①，
过点P作于H，于G，
∵为角平分线上的一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图所示，即为所求；
过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M，
由作图方法可知，，都是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴、即为所求．
26．(1)6，40或20
(2)①，理由见解析；②存在，点为的角平分线与的交点，理由见解析
【分析】（1）根据题意得，，可求得，即可求得；
①当点F位于线段右侧，可求得，即可求得；②当点F位于线段左侧，利用平角可直接求得；
（2）①连接，根据题意可求得为等边三角形，则有，，可证得，则有，即可判断；
②首先得到，则点O是的中点，有，假设平分，则，求得，可得到，即证得是等腰直角三角形．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，点是边的中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴
则；
①当点F位于线段右侧，
∵，
∴，
则；
②当点F位于线段左侧，
∵，
∴；
故答案为：6；40或20；
（2）①，理由如下：
连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②存在，当平分，即点为的角平分线与的交点，
由①得，
∵，
∴，
∴点O是的中点，
∴垂直平分，
∴，
假设平分，则，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线性质以及等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定．