江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江西省九江市都昌县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）．
A．对角线互相垂直B．对角线平分一组对角
C．对角线相等D．对角线互相平分
3．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第二、四象限
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，y随x的增大而减小
4．如图，在中，，，D为上一点，将沿折叠后，点C恰好落在斜边的中点E处，则折痕的长为（ ）
A．B．C．D．6
5．已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，已知抛物线的部分图像如图所示，则下列结论：
①；②关于x的一元二次方程的根是；③；④y的最大值．
其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
7．用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ．
8．设，是一元二次方程的两根，则 ．
9．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 ．
10．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ．
11．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
12．如图，已知正方形的边长为4，点E是边的中点，连接，，将绕点E旋转得到线段，连接，当时，的长为 ．

三、解答题
13．如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
14．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
15．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
(1)每位考生有__________种选择方案；
(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程）
16．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．
（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；
（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．

17．已知：如图，正方形ABCD的边长为6，将其绕点A顺时针旋转30°得到正方形AEFG，FG与BC相交于点H.
(1)求证：BH=GH；
(2)求BH的长．
18．如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点B．

(1)求a的值与反比例函数关系式；
(2)连接OA，OB，求；
(3)若，请结合图象直接写出x的取值范围．
19．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现测得cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直经过CD的中点F时(如图3所示)放置较平稳．
(1)求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
(2)为保护视力，写字时眼离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．(结果精确到0.01°，参考数据：≈1.732，sin7.70°≈0.134，cs82.30°≈0.134，可使用科学计算器)
图1 图2 图3
20．我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置．
(2)估计路灯的高，并求影长的步数．
(3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m．
21．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．（1）如图1，在正方形中，点F，G分别在边，上，若，则，，之间的数量关系为：_______；（提示：以点D为旋转中心，将顺时针旋转）
解决问题：
（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，G，F分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，进行判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C．，只含有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意；
D．含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，如果一个方程经整理后，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．C
【详解】正方形具有而菱形不一定具有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等，②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角，
故选C．
3．D
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，故A选项正确，不符题意；
∵，
∴反比例数的图象分布在第二、四象限，故B选项正确，不符题意；
在每一个象限内，函数值随的增大而增大，故C选项正确，D选项不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，求得的值是解题的关键．
4．A
【分析】根据折叠的性质可得，，根据特殊角的三角函数可知，进一步可得，根据，即可求出的长．
【详解】解：根据折叠，可知，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，特殊角的三角函数，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．D
【分析】将变形为，根据二次函数图象的性质即可判断的最大值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数图象的性质，熟练应用二次函数图象的性质是解答本题的关键．
6．D
【分析】利用抛物线开口方向、对称轴以及图像与y轴交点位置可以判定①；根据抛物线的对称性可以得知与x轴的另一个交点坐标，于是可以判定②；利用的函数值与对称轴可以判定③④；于是可以得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴另一个交点为，
关于x的一元二次方程的根是；
故②正确；
当时，，
，
，
即，
即，
故③正确；
当时，函数有最大值，
，
故④正确；
故正确的结论有①②③④共4个；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键．
7．
【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，
列表如下：
一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，
∴是偶数的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．
8．0
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】解：、是方程的两根，
，，
．
故答案为0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．
9．y=﹣
【分析】要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点B的坐标是（m,n）,然后用待定系数法即可．
【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点B的坐标是（m,n）,
因为点B在函数y=的图象上,则mn=2,
则BD=n,OD=m,则AC=2m,OC=2n,
设过点A的双曲线解析式是y=, A点的坐标是（-2n,2m）,
把它代入得到:2m=,
则k=-4mn=-8,
则图中过点A的双曲线解析式是y=.
故答案为：y=.
10．
【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移方式确定平移后的顶点坐标，最后直接写出抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1,0）
∴向左平移2个单位，再向上平移1个单位后抛物线的顶点坐标为（-1,1）
∴平移后抛物线解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查的了二次函数图象的平移变换，理解二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解答本题的关键．
11．
【分析】把点的横纵坐标分别乘以即可得到点的坐标．
【详解】解：由题意得：与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，
又∵，且原图形与位似图形是异侧，
∴点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键．
12．或
【分析】本题分两种情况：①点F在左侧，②点F在右侧，利用勾股定理及全等三角形的判定和性质讨论即可．
【详解】∵正方形的边长为4，点E是边BC的中点，
∴．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得．
由旋转的性质，可知，
∴．
由题意，可知需分以下两种情况讨论．
①当点F在左侧时，
过点F作交的延长线于点G，如解图1所示，

则．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
②当点F在右侧时，
过点F作交的延长线于点G，如图2所示．

同①，可知．
∴，．
∴．
∴在中，由勾股定理，得．
综上所述，当时，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
13．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠BAC=∠CAD，再根据题意∠B=∠ACD，即可证明△ABC∽△ACD．
（2）利用三角形相似的性质，可知，再根据题意AB和AC的长，即可求出AD．
【详解】（1）∵AC分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC∽△ACD．
（2）∵△ABC∽△ACD，
∴ ，
∵AB=2，AC=3，
∴AD=．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解答本题的关键．
14．每千克应涨价5元
【分析】设每千克应涨价元，根据每千克涨价元，日销售量将减少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
15．(1)
(2)
【分析】（1）先列举出每位考生可选择所有方案：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
（2）利用数形图展示所有16种等可能的结果，其中选择两种方案有12种，根据概率的概念计算即可．
【详解】（1）每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
故答案为4．
（2）用A、B、C、D代表四种选择方案．（其他表示方法也可）
解法一：用树状图分析如下：
解法二：用列表法分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种，
所以小明与小刚选择同种方案的概率=．
【点睛】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率．
16．（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；
（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．

17．（1）详见解析；（2）2
【分析】（1）连接AH，可证得Rt△ABH≌Rt△AGH，故可证得结论；
（2）利用上题证得的结论求得∠2=∠3=30°，在Rt△ABH中求得BH的长即可．
【详解】（1）证明：连接AH，
依题意，正方形ABCD与正方形AEFG全等，
∴AB=AG，∠B =∠G=90°．
在Rt△ABH和Rt△AGH中，

∴Rt△ABH≌Rt△AGH．
∴BH=GH.
（2）解：∵∠1=30°，△ABH≌△AGH，
∴∠2 =∠3=30°．
在Rt△ABH中，∵∠2 =30°，AB=6，
∴BH=BH=AB•tan30°=6×=
【点睛】此题主要考查旋转变换的性质、全等三角形的判定及性质及正方形的性质，作出辅助线是关键．
18．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数 与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）将 代入 中，得；
将代入 中，得，
所以反比例函数关系式；
（2）由，
解得 或，
所以，，
设一次函数 与轴交于点，
如图，连接，

故；
（3）观察图象，若，则或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
19．(1)平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°
(2)台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°
【分析】（1）由题意得：cm，，根据，可求；
（2）如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，求得，根据，可得的值，进而可求的值．
【详解】（1）解：由题意得，cm，，
∴
∴
∴平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角是60°．
（2）解：如图3，过A作AH⊥BE交EB的延长线于H，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴台灯平稳放置时∠ABE的最大值是97.70°．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角的余弦值求角度．解题的关键在于找出线段的数量关系．
20．(1)见解析
(2)路灯的高为9m，影长为步
(3)9
【分析】(1)根据中心投影的知识画出图即可．
(2)利用相似三角形的判定和性质计算即可．
(3)利用勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质计算即可．
【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示．
．
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得．
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴路灯的高为，影长为步．
（3）如图，∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
21．(1)
(2)13
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x