北师大版八年级下册2 直角三角形课时训练

这是一份北师大版八年级下册2 直角三角形课时训练，共33页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！
1．（2023秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC＝2ADB．CD＝2BDC．BC＝2CDD．BC＝2BD
2．（2023春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
3．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cmB．12cmC．8cmD．5cm
4．（2023春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．8B．4C．12D．6
5．（2023春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
6．（2023春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）
A．10B．8C．6D．4
7．（2023秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
8．（2023秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2023•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．（2023春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共10小题）
11．（2023秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 ．
12．（2023秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是 ．
13．（2023春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 ．
14．（2023春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为 cm．
15．（2023春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 ．
16．（2023春•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 ．
17．（2023春•济宁期末）如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，AD＝6，则△EFC的周长为 ．
18．（2023秋•西城区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE＝ ；△EDC与△ABC的面积关系是： ．
19．（2023秋•海珠区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 ．
20．（2023秋•梁园区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 ．
三．解答题（共10小题）
21．（2023春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．
22．（2023秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．
23．（2023秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．
24．（2023秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．
25．（2023春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
26．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）△ADF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB的长．
27．（2023秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．
28．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
29．（2023秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
30．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．
专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练（30道）
【北师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC＝2ADB．CD＝2BDC．BC＝2CDD．BC＝2BD
【解题思路】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BC＝2BD，在直角△ACD中AC＝2CD．
【解答过程】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD，AC＝2CD．
故选：D．
2．（2023春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．8B．10C．11D．12
【解题思路】依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．
【解答过程】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵AD⊥AB交BC于点D，
∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12．
故选：D．
3．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）
A．13cmB．12cmC．8cmD．5cm
【解题思路】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．
【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，
∵PC＝PD，
∴△PCD为等腰三角形，
∴点E为CD的中点，
∵OC＝5cm，OD＝8cm，
∴CD＝3cm，
∴OE＝6.5cm，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，
∴OP＝2OE＝13cm，
故选：A．
4．（2023春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）
A．8B．4C．12D．6
【解题思路】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即BD＝AD＝4．Rt△ACD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得CD＝2AD＝8，由此可求得BC的长．
【解答过程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，AD＝4，
∴CD＝2AD＝2×4＝8，
∵∠C+∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ADC＝∠DAB+∠B，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴DB＝AD＝4，
∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，
故选：C．
5．（2023春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【解题思路】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．
【解答过程】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，
∴BEBD
同理可得，CF，
∴BE+CF5，
故选：A．
6．（2023春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）
A．10B．8C．6D．4
【解题思路】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．
【解答过程】解：连接BD，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝2，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝4．
故选：D．
7．（2023秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
【解题思路】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【解答过程】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
8．（2023秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很30度角的直角三角形性质得出DC＝2AC，求出即可．
【解答过程】解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，
∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴DC＝2AC＝6，
∴DE＝DC＝6，
故选：D．
9．（2023•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解题思路】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．
【解答过程】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，
故选：D．
10．（2023春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解题思路】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．
【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝∠C，
∴EB＝EC，
∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正确；
∵EB＝EC，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，②正确；
∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，
∴AEB＝60°，
∵AD⊥BE，
∴∠DAE＝30°，
∴∠DAE＝∠C，③正确；
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴BC＝2AB，
同法AB＝2AD,
∴BC＝4AD,④错误，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．（2023秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为 1.85m ．
【解题思路】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答过程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，
∴BCAB＝3.7，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DEBC＝1.85m，
故答案为：1.85m．
12．（2023秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是 2 ．
【解题思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BCAB＝3，由BD＝2CD可得CD＝1，根据平行线的性质得∠DEC＝∠A＝30°，即可得DE＝2CD＝2．
【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BCAB＝3，
∵BD＝2CD，
∴CD＝1，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴DE＝2CD＝2．
故答案为：2．
13．（2023春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 4 ．
【解题思路】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30° 角的直角三角形的性质可求解CF的长．
【解答过程】解：连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，
∴CF＝2AF＝2BF，
∵BF＝2，
∴CF＝4．
故答案为4．
14．（2023春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为 12 cm．
【解题思路】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．
【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．
∵AD∥BC，CD⊥AD，
∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．
∴∠DCB＝90°．
∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．
在Rt△ACD中，
∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝4（cm）．
L△ABC＝AB+AC+BC＝12（cm）．
故答案为：12．
15．（2023春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 4 ．
【解题思路】连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G，根据已知条件，可得等腰三角形AEC，利用等腰三角形的三线合一解题即可．
【解答过程】解：
如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．
在△ABC中，∠CAB＝30°，FD垂直平分AB，EF＝2DE＝2，
∴FD＝3DE＝3，AF＝2FD＝6，AE＝BE，
∵BE＝EC，
∴AE＝EC，
∴GFEF＝1，AG＝GC＝5，
∴CF＝GC﹣GF＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
16．（2023春•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 16 ．
【解题思路】过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠BAD的度数，由含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC的面积．
【解答过程】解：过B点作BD⊥AC，交CA的延长线于点D，
，
∵AB＝AC，∠ABC＝15°，
∴∠C＝∠ABC＝15°，
∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC＝8，
∴BDAB＝4，
∴△ABC的面积为：．
故答案为16．
17．（2023春•济宁期末）如图，△ABC是等边三角形，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB，AD＝6，则△EFC的周长为 27 ．
【解题思路】利用含30度角的直角三角形求出AE的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC各边长，周长即可求．
【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC．
∵点D为AB的中点，AD＝6，
∴AB＝2AD＝12．
∵DE⊥AC于点E，AD＝6，
∴∠ADE＝30°，
∴AEAD＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝9．
∵EF∥AB，
∴∠FEC＝∠A＝60°，
∵∠C＝60°，
∴△EFC是等边三角形．
∴△EFC的周长＝9+9+9＝27．
故答案为27．
18．（2023秋•西城区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD＝12，则DE＝ 6 ；△EDC与△ABC的面积关系是： ．
【解题思路】由等边三角形的性质得出∠C＝∠BAC＝60°，由直角三角形的性质得出DE＝6，由直角三角形的性质得出BC＝4EC，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠DAC∠BAC＝30°，
∵AD＝12，
∴DEAD＝6；
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴ECDC，
∴BC＝4EC，
∵S△EDC6×EC＝3EC，S△ABC12×BC＝6BC＝24EC，
∴．
故答案为：6，．
19．（2023秋•海珠区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为 6 ．
【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠ACB，根据平行线的性质求出∠AMN＝30°，根据角平分线的定义求出∠NMC＝∠ACM＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可≤
【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∵∠A＝90°，AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，
∴∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝60°
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACMACB＝30°，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝2，
∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝2×3＝6，
故答案为：6．
20．（2023秋•梁园区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 0＜t或t＞6 ．
【解题思路】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．
【解答过程】解：①过A作AP⊥BC时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP，
∴当0＜t时，△ABP是钝角三角形；
②过A作P'A⊥AB时，
∵∠ABC＝60°，AB＝3，
∴BP'＝6，
∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，
故答案为：0＜t或t＞6．
三．解答题（共10小题）
21．（2023春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．
【解题思路】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．
【解答过程】证明：如图，连接AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝2AE，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，
∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．
22．（2023秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．
【解题思路】由等边三角形性质和平行线的性质证得∠EDC＝60°，再根据利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE＝CD＝3（cm），
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，
∴DF＝2DE＝6（cm）．
23．（2023秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．
【解题思路】由等边三角形的性质得出CD＝AD，由平行线的性质得出∠BAE＝∠ABC＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得出AEAB，则可得出答案．
【解答过程】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵BD⊥AC，
∴CD＝AD，
∵AE∥BC，
∴∠BAE＝∠ABC＝60°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴AEAB，
∴AE＝CD．
24．（2023秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．
【解题思路】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【解答过程】解：有触礁危险．
理由如下：作PD⊥AB于D，
∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠PAB＝15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠APB＝15°，
∴AB＝PB＝7海里，
∵∠PBD＝30°，
∴PDPB＝3.5＜3.8，
∴该船继续向东航行，有触礁的危险．
25．（2023春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【解题思路】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答过程】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
26．（2023秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．
（1）求∠ADE的度数；
（2）△ADF是正三角形吗？为什么？
（3）求AB的长．
【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；
（2）求出DF＝CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，根据等边三角形的判定得出即可；
（3）求出CF和DF，根据等边三角形的性质求出AF，求出AC，即可求出AB．
【解答过程】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED（180°﹣∠B）＝75°，
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；
（2）△ADF是正三角形，
理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF＝CF，
∵∠C＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADF＝60°，
即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，
∴△ADF是正三角形；
（3）∵CD的垂直平分线MF，
∴∠FMC＝90°，
∵∠C＝30°，MF＝2，
∴FC＝2MF＝4，
∵DF＝FC，
∴DF＝4，
∵△ADF是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，
∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，
∵AB＝AC，
∴AB＝8．
27．（2023秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．
【解题思路】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．
【解答过程】解：延长AD、BC交于E，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
设CD＝CE＝DE＝x，
∵AD＝4，BC＝1，
∴2（1+x）＝x+4，
解得；x＝2，
∴CD＝2．
28．（2023春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【解题思路】用含t的代数式表示出BP、BQ．
（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当∠BOP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
【解答过程】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
29．（2023秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．
（1）若BQ＝2，求PE的长
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
【解题思路】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝30°，由PE⊥AB于点E，进而可得PEBP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；
（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝30°，得出∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°即可．
【解答过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，
∴∠EBP＝∠PBC＝30°，
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴PEBP，
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP＝2BQ＝2×2＝4，
∴PE4＝2；
（2）△EFP是直角三角形．理由如下：
连接PF、EF，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴∠BPE＝60°，
∵FQ垂直平分线段BP，
∴FB＝FP，
∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，
∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，
∴△EFP是直角三角形．
30．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数；
（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．
【解题思路】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．
【解答过程】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
∵∠A＝30°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，
∴BC＝2CH，
∴AB＝4CH，
在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，
∴CH＝MH，
∴AB＝4MH．