初中数学1 平行四边形的性质习题

这是一份初中数学1 平行四边形的性质习题，共28页。



【知识点1 平行四边形的性质】
平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.
【题型1 平行四边形的性质（求长度）】
【例1】（2023春•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8B．13C．16D．18
【变式1-1】（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【变式1-2】（2023春•淮南月考）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（ ）
A．8cmB．16cmC．24cmD．32cm
【变式1-3】（2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
【题型2 平行四边形的性质（求角度）】
【例2】（2023•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【变式2-1】（2023春•锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【变式2-2】（2023春•西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
【变式2-3】（2023春•西湖区校级期中）如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（ ）
A．150°B．145°C．135°D．120°
【题型3 平行四边形的性质（求面积）】
【例3】（2023春•西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式3-1】（2023春•娄星区期末）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（ ）
A．40B．45C．50D．55
【变式3-2】（2023春•成华区期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．无法判定
【变式3-3】（2023秋•海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECDB．△EBFC．△EBCD．△EFC
【题型4 平行四边形的性质与坐标】
【例4】（2023秋•甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 ．
【变式4-1】（2023秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）
【变式4-2】（2023秋•张店区期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（3，3）D．（3，4）
【变式4-3】（2023•商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（ ）
A．3B．4C．5D．10
【题型5 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2023春•舞钢市期末）如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-1】（2023春•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4B．2C．2D．4
【变式5-2】（2023春•费县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ．
【变式5-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 ．
【题型6 平行四边形中的折叠问题】
【例6】（2023春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ ．
【变式6-1】（2023•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 ．
【变式6-2】（2023•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
【变式6-3】（2023秋•锦江区校级期中）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个专题6.1 平行四边形的性质-重难点题型
【北师大版】


【知识点1 平行四边形的性质】
平行四边形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，邻角互补，两条平行线之间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等.
【题型1 平行四边形的性质（求长度）】
【例1】（2023春•天府新区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8B．13C．16D．18
【分析】首先利用平行四边形的性质及角平分线的性质得到AB＝AE，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到BFBE，利用勾股定理求得AB，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴BE＝2BF，
∴BF＝12，
∴AB，
∴CD＝AB＝13，
故选：B．
【变式1-1】（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若△CDE的周长为8，则▱ABCD的周长为（ ）
A．8B．10C．16D．20
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，得出AD+CD＝16，继而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．
∵平行四边形ABCD的周长为2（AD+CD），
∴▱ABCD的周长为16，
故选：C．
【变式1-2】（2023春•淮南月考）在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△BOC的周长为20cm，BC＝12cm，则AC+BD的长是（ ）
A．8cmB．16cmC．24cmD．32cm
【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝COAC，BO＝DOBD，求得BO+COACBD（AC+BD），根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝COAC，BO＝DOBD，
∴BO+COACBD（AC+BD），
∵△BOC的周长＝OB+OC+BC＝20cm，BC＝12cm，
∴BO+CO＝20﹣12＝8（cm），
∴AC+BD＝2×8＝16（cm），
故选：B．
【变式1-3】（2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 ．
【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
【题型2 平行四边形的性质（求角度）】
【例2】（2023•河北一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
在△BAC和△AED中，
，
∴△BAC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠AED＝80°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，
故选：C．
【变式2-1】（2023春•锦州期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在▱ABCD的对角线AC上，AE＝BE＝BC，∠D＝105°，则∠BAC的度数是（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BAC＝25°，
故选：C．
【变式2-2】（2023春•西安期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，若∠A＝60°，则∠EHF的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
【分析】首先利用平行四边形的对角相等和角A的度数求得∠C的度数，然后根据垂直的定义求得∠CED＝∠CFB＝90°，最后利用四边形的内角和求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，
∴∠CED＝∠CFB＝90°，
∴∠EHF＝360°﹣∠C﹣∠CFB﹣∠CED＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
故选：C．
【变式2-3】（2023春•西湖区校级期中）如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（ ）
A．150°B．145°C．135°D．120°
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可证明AD＝AE＝BE＝BC，得∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，可得∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，由平行四边形的邻角互补得出方程，求出x+y＝150°，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝BE＝BC，
∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，
设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，
∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，
∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，
∴x+y＝150°，
∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
故选：A．
【题型3 平行四边形的性质（求面积）】
【例3】（2023春•西湖区校级期中）如图所示，点E为▱ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】过点B作BF⊥CD于点F，设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，根据平行四边形的性质可得S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD，S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD，进而可得S阴影＝S△CDE﹣S△CBE．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，
设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，
∴S△ABEAB×a，S△CDECD×b，
∵a+b＝BF，AB＝CD，
∴S△ABE+S△CDE（AB×a+CD×b）AB•BF，
∵S平行四边形ABCD＝CD•BF，
∴S△ABE+S△CDES平行四边形ABCD，
∵S△ABE+S△CBE+S阴影S平行四边形ABCD，
∴S△ABE+S△CDE＝S△ABE+S△CBE+S阴影，
∴S阴影＝S△CDE﹣S△CBE＝10﹣2＝8．
故选：D．
【变式3-1】（2023春•娄星区期末）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q．若S△APD＝15，S△BQC＝25，则阴影部分的面积为（ ）
A．40B．45C．50D．55
【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC＝S△BCF，S△EFD＝S△ADF，所以S△EFQ＝S△BCQ，S△EFP＝S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
【解答】解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝15，S△BQC＝25，
∴S四边形EPFQ＝S△APD+S△BQC＝15+25＝40，
故选：A．
【变式3-2】（2023春•成华区期末）如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（ ）
A．B．
C．D．无法判定
【分析】根据题意，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC•EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2，
故选：C．
【变式3-3】（2023秋•海曙区校级期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF∥CD交对角线AC于点F，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．△ECDB．△EBFC．△EBCD．△EFC
【分析】过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，证明△ADN≌△CBM得DN＝BM，由三角形的面积公式可得△BCF和△CDE的面积都等于△CDF的面积，便可得出答案．
【解答】解：过B作BM⊥AC于点M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵S△BCFCF•BM，S△CDFCF•DN，
∴S△BCF＝S△CDF，
∵EF∥CD，
∴S△CDE＝S△CDF＝S△BCF，
故选：A．
【题型4 平行四边形的性质与坐标】
【例4】（2023秋•甘井子区期末）如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【分析】根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题．
【解答】解：∵点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，
∴点O是平行四边形的性质的对称中心，
∵点A的坐标为（2，1），
∴点C的坐标为：（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【变式4-1】（2023秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）
【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C点坐标．
【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，
∴EF∥CG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE＝CE，
∴AG＝2AF，CG＝2EF，
∵A（4，0），E（3，1），
∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，
∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，
∴AG＝2，
∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，
∴C（2，2）．
故选：D．
【变式4-2】（2023秋•张店区期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（ ）
A．（3，1）B．（3，2）C．（3，3）D．（3，4）
【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE＝DN，AE＝CN，根据A、B、C的作求出OM和DM即可．
【解答】解：
过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，
则四边形EFNM是矩形，
所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM，
∴∠EAB＝∠AQC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠AQC＝∠DCN，
∴∠DCN＝∠EAB，
在△DCN和△BAE中
，
∴△DCN≌△BAE（AAS），
∴BE＝DN，AE＝CN，
∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），
∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3，
∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3，
∴D的坐标为（3，2），
故选：B．
【变式4-3】（2023•商河县校级模拟）如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（ ）
A．3B．4C．5D．10
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，由四边形OABC是平行四边形，得OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可由ASA证得△OAF≌△BCD，得出BD＝OF＝1，即可得出结果．
【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝1，
∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，
故选：C．
【题型5 平行四边形中的最值问题】
【例5】（2023春•舞钢市期末）如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝10，△ABC的面积是25，
∴PC＝5，
∴AQ＝5，
故选：C．
【变式5-1】（2023春•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝15°，点P是射线BA上的一个动点，以AP，PC为邻边作平行四边形APCQ，则边AQ的最小值为（ ）
A．4B．2C．2D．4
【分析】根据平行四边形的性质得出AQ＝PC，根据垂线段最短，当PC⊥AB时值最小解答即可．
【解答】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝AC＝4，∠B＝15°，
∴∠PAC＝2∠B＝30°，
在Rt△APC中，AC＝4，∠PAC＝30°，
∴PC＝2，
∴AQ＝2，
故选：B．
【变式5-2】（2023春•费县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 ．
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，由点O是AC的中点，过O作AB的垂线OE，然后根据直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OEOA，
∵AB＝AC＝12，
∵AOAC12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6，
故答案为：6．
【变式5-3】（2023•碑林区校级模拟）如图，在▱ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC+AQ的最小值为 ．
【分析】利用平行四边形知识，将PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，再用勾股定理求出MC的长度，即可求解．
【解答】解：过点A作AM∥PQ且AM＝PQ，连接MP，
∵AM∥PQ且AM＝PQ，
∴四边形AQPM是平行四边形，
∴AQ＝MP，
PC+AQ的最小值转化为MP+CP的最小值，
当M、P、C三点共线时，MP+CP的最小，
∵AM∥PQ，AC⊥PQ，
∴AM⊥AC，
在Rt△MAC中，MC2．
故答案为：2．
【题型6 平行四边形中的折叠问题】
【例6】（2023春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AB边上，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，如果四边形BCDE是平行四边形，那么∠ADC＝ ．
【分析】延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC∥DE，结合∠ABC＝90°，即可得出∠ADE＝90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF＝∠EDF＝45°，从而得出∠BDC＝45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论．
【解答】解：延长CD到点F，如图所示．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BC∥DE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝90°．
∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，
∴∠ADF＝∠EDF∠ADE＝45°，
∴∠BDC＝∠ADF＝45°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝135°．
故答案为：135°．
【变式6-1】（2023•江西）如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD的周长为 ．
【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形．
∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
【变式6-2】（2023•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，D是边AB上一点，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接BE．若四边形BCDE是平行四边形，则BC的长为（ ）
A．B．3C．2D．3
【分析】由折叠的性质得到AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再根据平行四边形的性质及邻补角的定义得到BC＝DE，∠DCB＝∠CDB，从而得到BD＝BC＝DE＝AD，进而得到AB＝2BC，最后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据折叠的性质得到，
△ADC≌△EDC，
∴∠ADC＝∠EDC，AD＝ED，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DE，
∴∠EDC+∠DCB＝180°，
∵∠ADC+∠CDB＝180°，
∴∠DCB＝∠CDB，
∴BD＝BC，
∵BC＝DE，
∴BD＝BC＝DE＝AD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD+BD＝2BC，
∵AC＝3，
∴ACBC，
∴BC，
故选：A．
【变式6-3】（2023秋•锦江区校级期中）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F，连接CE，则下列结论：①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据折叠的性质和平行四边形的性质可得BE＝CD；
②由折叠得：∠ADB＝∠BDF，再由平行线的性质得∠ADB＝∠DBF，最后由等角对等边可得BF＝DF；
③证明△BCE≌△DEC，可知这两个三角形的面积相等，可作判断；
④证明∠ECF＝∠CEF，∠DBF＝∠BDF，再由对顶角相等和三角形的内角和定理可知∠ECF＝∠FBD，可得结论．
【解答】解：①由折叠得：AB＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴BE＝CD；
故①正确
②由折叠得：∠ADB＝∠BDF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴BF＝DF，
故②正确；
③由折叠得：AD＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴BC＝DE，
在△BCE和△DEC中，
，
∴△BCE≌△DEC（SSS），
∴S△BCE＝S△DEC，
∴S△BEF＝S△DCF；
故③正确；
④∵BC＝DE，BF＝DF，
∴CF＝EF，
∴∠ECF＝∠CEF，
由②知：∠BDF＝∠FBD，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠ECF＝∠FBD，
∴BD∥EC，
故④正确；
所以本题正确的结论有：①②③④，共4个；
故选：D.