初中北师大版3 平行线的性质课堂检测

这是一份初中北师大版3 平行线的性质课堂检测，共25页。试卷主要包含了3平行线的性质专项提升训练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•碑林区校级月考）如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
2．（2023秋•蓝田县期末）如图，已知直线a∥b，若∠1＝∠A，则∠A的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2023秋•盐湖区校级期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
4．（2022秋•桥西区期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．（ ）
A．※代表∠ABCB．⊙代表同旁内角
C．▲代表∠BFED．@代表同位角
5．（2022•陇县三模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM＝48°，那么∠GMD的度数为（ ）
A．96°B．104°C．114°D．124°
6．（2023秋•郓城县期末）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．（2023秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）
A．200°B．210°C．220°D．230°
8．（2023秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
9．（2022秋•平原县期中）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝110°，则∠2为（ ）
A．105°B．110°C．55°D．130°
10．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•永善县期中）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝120°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
12．（2022秋•道里区校级月考）如图，已知AB∥EF，BC∥DE，若∠B＝70°，则∠E＝ °．
13．（2022春•海淀区校级月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠DBC＝54°，则∠ADE的度数是 ．
14．（2022秋•鼓楼区校级期中）已知三条线段AB，CD，EF满足：AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD的度数是 ．
15．（2022•东胜区二模）如图，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（见图中标示），若∠1＝65°，则∠2的度数是 ．
16．（2022秋•道里区校级月考）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ °．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•清镇市期中）如图，直线b，c被直线a所截，已知∠1+∠2＝240°，b∥c，求∠2和∠3的度数．
18．（2022春•清镇市期中）如图，已知EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝50°，求∠BAC的度数．
19．（2022春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，求∠AEC的度数．
20．（2022春•宿豫区期中）如图，点B、C在直线AD上，∠DCG＝70°，BF平分∠DBE，CG∥BF，求∠ABE的度数．
21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
22．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
23．（2022春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
24．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
如图，AB∥EF，CB∥DE．求证：∠ADE+∠BFE＝180°．
证明：
∵AB∥EF，∴∠ADE＝※（两直线平行，⊙相等）．
∵CB∥DE，∴∠DEF+▲＝180°（两直线平行，@互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．
专题2.3平行线的性质专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•碑林区校级月考）如图，a∥b．∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【分析】根据平行线性质得出∠1＝∠3，根据对顶角相等即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠3＝∠1＝58°，
∴∠2＝∠3＝58°，
故选：A．
2．（2023秋•蓝田县期末）如图，已知直线a∥b，若∠1＝∠A，则∠A的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝80°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠ADE＝∠ABC＝80°，
∵∠ADE＝∠1+∠A，∠1＝∠A，
∴2∠A＝∠ADE，
即2∠A＝80°，
解得∠A＝40°．
故选：D．
3．（2023秋•盐湖区校级期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故选：B．
4．（2022秋•桥西区期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．（ ）
A．※代表∠ABCB．⊙代表同旁内角
C．▲代表∠BFED．@代表同位角
【分析】先根据平行线的性质，得出∠ADE＝∠DEF，∠DEF+∠BFE＝180°，再求得∠ADE+∠BFE＝180°即可．
【解答】证明：∵AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF （两直线平行，内错角相等）．
∵CB∥DE，
∴∠DEF+∠BFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．
故选：C．
5．（2022•陇县三模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM＝48°，那么∠GMD的度数为（ ）
A．96°B．104°C．114°D．124°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM＝∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠GHM＝48°，
∴∠BGH＝180°﹣∠GHM＝180°﹣48°＝132°，
∵GM平分∠BGH，
∴∠BGM＝∠BGH＝×132°＝66°，
∵AB∥CD，
∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣66°＝114°．
故选：C．
6．（2023秋•郓城县期末）如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】利用直角三角板值的特殊角，平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：如图，
由题意得：∠B＝45°，∠F＝30°，∠DAC＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠EDA＝∠B＝45°，
∵∠EDF+∠F+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝105°，
∴∠1＝∠DAF﹣∠DAC＝105°﹣90°＝15°，
故选：A．
7．（2023秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（ ）
A．200°B．210°C．220°D．230°
【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，
故选：D．
8．（2023秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（ ）
A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°
【分析】首先过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由AB∥EF，即可得AB∥CM∥DN∥EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
9．（2022秋•平原县期中）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝110°，则∠2为（ ）
A．105°B．110°C．55°D．130°
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补的性质求出∠3，再根据翻折的性质列式计算即可求出∠2．
【解答】解：如图，
∵纸条的两边互相平行，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠1＝110°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°，
根据翻折的性质得，2∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝（180°﹣∠3）＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
10．（2022春•青秀区校级期中）已知AB∥CD，点E在BD连线的右侧，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；
②若∠E＝80°，则∠BFD＝140°；
③如图（2）中，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，则6∠BMD+∠E＝360°；
④如图（2）中，若∠E＝m°，∠ABM＝∠CDF，则∠M＝（）°．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【分析】分别过E、F作GE∥AB，FH∥CD，再根据平行线的性质可以得到解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠CDE+∠DEG＝360°，即∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，①正确，
∵∠BED＝80°，∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠ABE+∠CDE＝280°，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝140°，②正确，
与上同理，∠BMD＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABF+∠CDF），
∴6∠BMD＝2（∠ABF+∠CDF）＝∠ABE+∠CDE，
∴6∠BMD+∠E＝360°，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•永善县期中）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝120°，∠2＝30°，则∠3＝ 90° ．
【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝120°，再由三角形的外角性质可求得∠3的度数．
【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝120°，
∴∠ABC＝∠1＝120°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠2＝120°﹣30＝90°．
故答案为：90°．
12．（2022秋•道里区校级月考）如图，已知AB∥EF，BC∥DE，若∠B＝70°，则∠E＝ 110 °．
【分析】先根据AB∥EF求出∠1的度数，再由BC∥DE即可得出∠E的度数．
【解答】解：∵AB∥EF，∠B＝70°，
∴∠1＝180°﹣70°＝110°．
∵BC∥DE，
∴∠E＝∠1＝110°．
故答案为：110．
13．（2022春•海淀区校级月考）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上．若∠DBC＝54°，则∠ADE的度数是 126° ．
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADF＝∠DBC＝54°，再由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，
∴∠ADF＝∠DBC＝54°，
∴∠ADE＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
14．（2022秋•鼓楼区校级期中）已知三条线段AB，CD，EF满足：AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD的度数是 140° ．
【分析】如图，作辅助线；首先运用平行线的性质求出∠DGC的度数，借助三角形外角的性质求出∠ACD即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AC交EF于点G，
∵AB∥EF，∠BAC＝50°，
∴∠DGC＝∠BAC＝50°，
∵CD⊥EF，
∴∠CDG＝90°，
∴∠ACD＝90°+50°＝140°．
故答案为：140°．
15．（2022•东胜区二模）如图，小刀的刀片上、下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（见图中标示），若∠1＝65°，则∠2的度数是 25° ．
【分析】延长BE交CD于F，由AB∥CD知∠1+∠BFC＝180°，据此得出∠BFC＝110°，根据∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF可得答案．
【解答】解：如图，延长BE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠BFC＝180°，
∵∠1＝65°，
∴∠BFC＝115°，
∵∠BED＝∠DEF＝90°，∠BFC＝∠2+∠DEF，
∴∠2＝∠BFC﹣∠DEF＝115°﹣90°＝25°，
故答案为：25°．
16．（2022秋•道里区校级月考）如图，直线AB∥CD，点E、F分别为直线AB和CD上的点，点P为两条平行线间的一点，连接PE和PF，过点P作∠EPF的平分线交直线CD于点G，过点F作FH⊥PG，垂足为H，若∠DGP﹣∠PFH＝120°，则∠AEP＝ 30 °．
【分析】过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质与角平分线定义得∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，再根据三角形的外角定理，结合已知条件∠DGP﹣∠PFH＝120°，得∠HFG＝120°﹣∠FPG，由FH⊥PG，根据三角形内角和定理得∠PFH＝90°﹣∠FPG，由平角定义得∠CFP＝2∠PFG﹣30°，进而便可求得结果．
【解答】解：过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，
∵PD平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠FPG，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP，
∵∠DGP﹣∠PFH＝120°，∠DGP＝∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG＝120°﹣∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH＝90°﹣∠FPG，
∴∠CFP＝180°﹣∠PFH﹣∠HFG＝2∠PFG﹣30°，
∴∠AEP＝2∠FPG﹣∠CFP＝30°，
故答案为：30．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•清镇市期中）如图，直线b，c被直线a所截，已知∠1+∠2＝240°，b∥c，求∠2和∠3的度数．
【分析】由对顶角相等知∠1＝∠2，再根据∠1+∠2＝240°可求出∠2，然后由平行线的性质可求∠3．
【解答】解：∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∠1+∠2＝240°，
∴∠1＝∠2＝120°．
∵b∥c，
∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠3＝60°．
18．（2022春•清镇市期中）如图，已知EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝50°，求∠BAC的度数．
【分析】根据EF∥BC可知∠B+∠BAF＝180°，求出∠BAF，再根据AC平分∠BAF即可求出∠BAC．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠B+∠BAF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠BAF＝65°．
19．（2022春•思明区校级期中）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，求∠AEC的度数．
【分析】先由AB∥CD，∠A＝108°，得∠ACD的度数，再根据CE平分∠ACD，可得∠DCE的度数，再根据两直线平行，内错角相等求出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝108°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣108°＝72°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝36°．
20．（2022春•宿豫区期中）如图，点B、C在直线AD上，∠DCG＝70°，BF平分∠DBE，CG∥BF，求∠ABE的度数．
【分析】根据CG∥BF，可证得∠DCG＝∠CBF，根据BF平分∠DBE，可证得∠CBE＝2∠CBF，根据邻补角的定义求出∠ABE即可．
【解答】解：∵CG∥BF，
∴∠DCG＝∠CBF，
∵∠DCG＝70°，
∴∠DCG＝∠CBF＝70°，
∵BF平分∠DBE，
∴∠CBE＝2∠CBF＝140°，
∴∠ABE＝180°﹣∠CBE＝180°﹣140°＝40°．
21．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知AB∥CD，点M是直线AB，CD内部一点，连接MB，MD．
（1）探究：①若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BMD＝ 65 °；
②若∠B＝α，∠D＝β，则∠BMD＝ α+β ；
（2）猜想：图中∠B，∠D与∠BMD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过M点作MN∥AB即可．得到∠BMD＝∠B+∠D．
（2）运用（1）的结论．
（3）运用（1）的结论．
【解答】解：（1）如图，过M点作MN∥AB，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠BMN＝∠B，∠DMN＝∠D，
∴∠BMD＝∠BMN+∠DMN＝∠B+∠D＝25°+40°＝65°，
故答案为：65．
（2）同理，∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BMD＝∠B+∠D＝α+β，
故答案为：α+β．
（3）同理，∠BMD＝∠B+∠D．
22．（2022春•山阳县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）根据AC∥EF，证得∠1+∠FAC＝180°，已知∠1+∠2＝180°，等量代换∠2＝∠FAC，从而证得FA∥CD，得出∠FAB＝∠BDC；
（2）根据角平分线的定义得∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，得出∠FAD＝2∠2，根据已知求出∠2的度数，根据EF⊥BE，AC∥EF，证得AC⊥BE，得出∠ACB＝90°，进一步求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠FAC，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠2＝∠FAC，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
23．（2022春•龙岗区校级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即AB∥CD，各活动小组探索∠APD与∠A，∠C之间数量关系时，有如下发现：
（1）在图②所示的图形中，若∠A＝30°，∠D＝35°，则∠APD＝ 65° ；
（2）在图③中，若∠A＝150°，∠APD＝60°，则∠D＝ 150° ；
（3）有同学在图②和图③的基础上，画出了图④所示的图形，其中AB∥CD，请判断∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而根据平行线的性质得到∠APD＝∠A+∠D即可解答；
（2）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，进而得到∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，求出∠DPQ＝30°，进一步求出∠D即可；
（3）过点P作PQ∥AB，根据AB∥CD，证得PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质得到α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，进而得出β＝∠BPQ+γ，进一步求出α+β﹣γ＝180°．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APQ，∠D＝∠DPQ，
∵∠A＝30°，∠D＝35°，
∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝∠A+∠D＝30°+35°＝65°．
故答案为：65°；
（2）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ＝180°，∠D+∠DPQ＝180°，
∵∠A＝150°，
∴∠APQ＝30°，
∵∠APD＝60°，
∴∠DPQ＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠DPQ＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°；
（3）过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴α+∠BPQ＝180°，γ＝∠DPQ，
∴∠BPQ＝180°﹣α，
∵β＝∠BPQ+∠DPQ，
∴β＝∠BPQ+γ，
∴β＝180°﹣α+γ，
即α+β﹣γ＝180°．
24．（2022春•天府新区月考）已知直线AB∥CD．直线EF分别与AB、CD交于点G、H，直线MS经过点G，与CD交于点P，且∠BGM＝2∠EGM．
（1）如图1所示，当∠EGM＝25°时，
①求∠GPH的度数；
②在直线MS上取一点O，使得∠GHO＝10°，求∠GOH的度数．
（2）如图2所示，在射线GA上任取一点I，连接HI，∠IGP的角平分线GQ和∠IHC的角平分线HQ交于点Q，请写出∠GQH、∠QGH、∠GIH间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①运用平行线性质即可求得答案；
②如图1，过点O作ON∥AB，则∠MON＝∠BOM＝50°，由AB∥CD，可得∠EHD＝∠BGE＝75°，再由ON∥CD，可得∠NOH＝95°，即可得出答案；
（2）如图2，过点Q作QN∥AB，则∠GQN＝∠AGQ，利用角平分线定义可得：∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∠BGM＝2∠EGM，∠EGM＝25°，
∴∠BGM＝2×25°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠GPH＝∠BGM＝50°；
②如图1，过点O作ON∥AB，
则∠MON＝∠BOM＝50°，
∵∠BGE＝∠BGM+∠EGM＝50°+25°＝75°，AB∥CD，
∴∠EHD＝∠BGE＝75°，
∴∠DHO＝∠EHD+∠GHO＝75°+10°＝85°，
∵AB∥CD，ON∥AB，
∴ON∥CD，
∴∠NOH＝180°﹣∠DHO＝180°﹣85°＝95°，
∴∠GOH＝∠MON+∠NOH＝50°+95°＝145°；
（2）2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．理由如下：
如图2，过点Q作QN∥AB，
则∠GQN＝∠AGQ，
∵∠BGM＝2∠EGM，∠BGM＝∠AGP，∠EGM＝∠FGP，
∴∠AGS＝2∠FGS，
∵GQ平分∠AGP，
∴∠AGQ＝∠QGP＝∠AGP＝∠QGH，
∵AB∥CD，
∴∠GIH＝∠IHC，
∵HQ平分∠IHC，
∴∠QHC＝∠IHC＝∠GIH，
∵QN∥AB，AB∥CD，
∴QN∥CD，
∴∠NQH＝∠QHC，
∴∠GQH＝∠AGQ+∠QHC＝∠QGH+∠GIH，
∴2∠GQH＝∠QGH+∠GIH．
如图，AB∥EF，CB∥DE．求证：∠ADE+∠BFE＝180°．
证明：
∵AB∥EF，∴∠ADE＝※（两直线平行，⊙相等）．
∵CB∥DE，∴∠DEF+▲＝180°（两直线平行，@互补）．
∴∠ADE+∠BFE＝180°．