安徽省池州市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省池州市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题必须使用2B铅笔填涂，的展开式中的系数为，已知过点与圆，下列不等关系中错误的是，下列判断中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出、确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知,则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知向量,若,则下列关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．某种化学物质的衰变满足指数函数模型，每周该化学物质衰减20%，则经过n周后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则n的最小值为（ ）
（参考数据：）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B． C．20 D．
7．已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为,则（ ）
A． B． C． D．
8．下列不等关系中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断中正确的是（ ）
A．一组从小到大排列的数据,1,3,5,6,7,9，x，10,10，去掉x与不去掉x,它们的80%分位数都不变，则
B．两组数据与,设它们的平均值分别为与,将它们合并在一起，则总体的平均值为
C．已知离散型随机变量，则
D．线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强
10．下列函数中均满足下面三个条件的是（ ）
①为偶函数 ② ③有最大值
A． B． C． D．
11．如图，棱长为1的正方体中，E为棱的中点，点F在该正方体的侧面上运动，且满足平面．下列说法正确的是（ ）
A．点F轨迹是长度为的线段
B．三棱锥的体积为定值
C．存在一点F,使得
D．直线与直线所成角的正弦值的取值范围为
12．已知数列满足,则下列说法正确的是（ ）
A． B．为递增数列 C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某校思想品德课教师一天有3个不同班的课，每班一节，如果该校一天共7节课，上午4节，下午3节，该教师的3节课任意两节都不能连着上（第四节和第五节不算连着上），则该教师一天的课所有不同的排法有___________种．
14．已知函数的图象如图所示，则___________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为,点A在双曲线C上，点B在y轴上，,则双曲线C的离心率为___________．
16．现有一个底面边长为，高为4的正三棱柱形密闭容器，在容器中有一个半径为1的小球，小球可以在正三棱柱形容器中任意运动，则小球未能达到的空间体积为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知在中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且．
（1）求角C的大小；
（2）若的面积,求的值．
18．（12分）
已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和;
（2）令，求的前9项之和．
19．（12分）
如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面．
（1）求该五面体的体积；
（2）请判断在棱上是否存在一点G,使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
20．（12分）
编号为1,2,3,4的四名同学一周内课外阅读的时间（单位：h）用表示，,将四名同学的课外阅读时间看成总体，则总体的均值为．先后随机抽取两个值，用这两个值的均值来估计总体均值．
（1）若采用有放回的方式抽样（两个值可以相同），则样本均值的可能取值有多少个？写出样本均值的分布列并求其数学期望；
（2）若采用无放回的方式抽样，则样本均值超过总体均值的概率会不会大于0.5？
（3）若考虑样本均值与总体均值的差的绝对值不超过0.5的概率，那么采用哪种抽样方法概率更大？
21．（12分）
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点,光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若椭圆C的右顶点为A,上顶点为B,动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足,作交于点M,求的最大值．
22．（12分）
已知函数与的图象关于直线对称，若,构造函数．
（1）当时，求函数在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积；
（2）若（其中为的导函数），当时，,证明：．（参考数据：）
高三数学参考答案
1．【答案】 C
【解析】 ,而,．
2．【答案】 B
【解析】 ,即．
3．【答案】 D
【解析】 ,
由可得，,整理得．
4．【答案】 A
【解析】 函数在上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上恒正且单调递增，因此且，
解得，∴实数a的取值范围是．
5．【答案】 C
【解析】 由题意可得：,
，又,所以n的最小值是8，选项C正确．
6．【答案】 A
【解析】 ,
展开式的通项公式为，
时，,所以的系数为．
7．【答案】 D
【解析】 ,即,可得圆心,半径，过点作圆C的切线，切点为M,N,
,则，
可得,
则，
,即为钝角，．
8．【答案】 C
【解析】 ,选项A显然正确；
设，则在上恒成立，故函数在上单调递增，
故，即，故,选项B成立；
，构造单调递增，
,选项C不成立；
，
构造函数单调递增，
,选项D成立．
9．【答案】 AB
【解析】 数据,1,3,5,6,7,9,x,10,10的809%分位数为，
数据,1,3,5,6,7,9,10,10的80%分位数为10，,选项A正确；
根据平均值定义可知选项B正确；
,故选项C错误；
相关系数越大，两个变量线性相关性越强，选项D错误．
10．【答案】 BC
【解析】 根据题意：选项A中，，不满足②；
选项B中，满足①②③；
选项C中，满足①②③；
选项D中，没有最大值，不满足③；故选项BC正确．
11．【答案】 ACD
【解析】 设G为中点，则截面图形是为等腰梯形，分别为的中点，由于平面,则平面平面,故点F的轨迹为线段,且,选项A正确；,选项B错误；
当点F为中点时，满足,此时直线与直线所成角的正弦值恰好为；
当点F与或重合时，此时直线与直线所成角的正弦值恰好为，选项CD正确．
12．【答案】 ACD
【解析】 因为,即，
所以数列为递增数列，可得,选项A正确；
因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误；
因为，则,两边平方整理得,选项C正确．
因为,整理得，
两边平方得，即，
可得，
所以,
即,所以,故D正确．
13．【答案】 78
【解析】 （1）上午2节，下午一节，共有种；
（2）上午1节，下午2节，共有,故不同的排课方案共有种．
14．【答案】
【解析】 由图象可得,函数的最小正周期为,
，则，
，
,即,
由于,
,故．
15．【答案】
【解析】 ,
又,则,
,即，
．
16．【答案】
【解析】 构建一个底面边长为，高为2的正三棱柱，其内切球正好半径为1，球外部分体积为；
法一：本题中的小球未到达的区域还包括三条侧棱与球的空间区域，其中为底面是两个边长为,1拼接而成的四边形，其中两个对角为，另外两个对角分别为和，高为2的曲边柱体，,
所以小球未能达到的空间体积为．
法二：球在上下移动中所形成的空间几何体为球+圆柱，
其体积为：,
所以剩下体积：．
17．【解析】 （1）由可知，,
则,
，
，即； （4分）
（2），
， （6分）
又,则,
或, （8分）
∴当时，；
当时，． （10分）
18．【解析】 （1）,
，
两式相减可得：，
，又,
，
又,
,
∴数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
,
可得; （6分）
（2）由题意可得，
． （12分）
19．【解析】 （1）分别取与的中点M,N,连接,则平面将五面体分割成两部分，棱柱和棱锥,故,
取中点为O,易知平面,
则,
则,
，
； （5分）
（2）解法一：
取中点Q,连接,
,
，
为中点，,
平面,
平面两两垂直，
以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的空间直角坐标系；
则,
∵几何体是五面体，平面,平面平面,
,
,
（6分）
设平面的法向量,
可得则
取,得,
解得平面的一个法向量, （8分）
在上，设,
，则，
设直线与平面所成角为，
，
或（舍去），
，
故存在G点，当，即G与F重合时，与平面所成角的正弦值为． （12分）
解法二：
Q为中点，连接交于H,如右图所示，
平面平面平面,
平面,
A到平面的距离到平面的距离到平面的距离，
假设G点存在，设，
由与平面所成角正弦值为，
， （8分）
由于，
，
,
解得或（舍去）， （10分）
存在点G满足条件，此时． （12分）
20．【解析】 （1）有放回抽样会有16个等可能的样本
样本均值的分布列为：
∴均值． （4分）
（2）无放回抽样会有12个等可能的样本，
样本均值的分布列为：
样本均值超过总体均值的概率为，
所以样本均值超过总体均值的概率不会大于0.5． （8分）
（3）样本均值与总体均值的误差不超过0.5的概率，
有放回的抽样，；无放回的抽样，，
，故采用无放回的抽样方法概率更大． （12分）
21．【解析】 （1）由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点,光线经过的路程为,
解得; （2分）
又椭圆的离心率为，
得，
,故,
故椭圆C的标准方程为． （4分）
（2）椭圆的,右顶点为,上顶点为，
设,直线的方程为,
联立可得,
由,可得,
,
化简为：; （6分）
而到直线的距离为，
即有M的轨迹方程为； （8分）
解法一：
设，则，
表示点与点的距离的平方，减去的差； （10分）
由点与的即离为，
可得M与点的距离的最大值为，
则的最大值为． （12分）
解法二：
令，设,
（其中）,
当且仅当时，取“=”．
22．【解析】 （1）,
当时，,
,
∴切线方程为,
切线与坐标轴的交点为，
； （4分）
（2）当时，,
由题意,即，
,
,
，
，
（6分）
（证明略）
∴上式
，①
,由（*）得，,
，②
由①②知, （9分）
构造函数,
在单调递增，
,
． （12分）
5
5.5
6
6.5
5.5
6
6.5
7
6
6.5
7
7.5
6.5
7
7.5
8
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
P
5.5
6
6.5
5.5
6.5
7
6
6.5
7.5
6.5
7
7.5
5.5
6
6.5
7
7.5
P