河南省部分名校2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题(含答案)
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这是一份河南省部分名校2023-2024学年高三上学期2月期末检测数学试题(含答案),共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容,函数的值域是,设等比数列的前项和为,且,则等内容,欢迎下载使用。
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小題答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,则
A.B.C.D.
2.已知集合,若,则的最大值是
A.1B.2C.3D.4
3.“是第二象限角”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.某企业举办冬季趣味运动会,在跳绳比赛中,10名参赛者的成绩(单位:个)分别是152,136,125,131,129,123,143,119,115,138,则这组数据的中位数是
A.126B.129C.130D.131
5.已知抛物线的焦点为,过点的直线与拋物线交于A,B两点,点在轴上方,且的横坐标为5,则
A.B..C.D.
6.折纸既是一种玩具,也是一种艺术品,更是一种思维活动.如图,有一张直径为4的圆形纸片,圆心为,在圆内任取一点,折叠纸片,使得圆周上某一点刚好与点重合,记此时的折痕为,点在上,则的最小值为
A.5B.4C.3D.2
7.已知双曲线的左焦点为,过点的直线与轴交于点,与双曲线交于点(在轴右侧).若是线段AF的中点,则双曲线的离心率是
A.B.2C.D.3
8.函数的值域是
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设等比数列的前项和为,且(为常数),则
A.B.的公比为2C.D.
10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图,球的半径为为球面上三点,劣弧的弧长记为,设表示以为圆心,且过B,C的圆,同理,圆的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形,若,则称其为曲面等边三角形,线段OA,OB,OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱堆,记为球面.设,则下列结论正确的是
A.若平面是面积为的等边三角形,则
B.若,则
C.若,则球面的体积
D.若平面为直角三角形,且,则
11.已知函数及其导函数的定义域均为,且的图象关于点对称,则
A.B.为偶函数
C.的图象关于点对称D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知单位向量满足,则______
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体,正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成,也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成,每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成.如图,在正八面体ABCDEF中,是棱BC的中点,则异面直线HF与AC所成角的余弦值是______
14.将这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入,每个格子中只能填一个数),记第1行中最大的数为,第2行中最大的数为,第3行中最大的数为,则的填法共有______种.(用数字作答)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
16.(15分)
某学校组织知识竞赛,题库中试题分A,B两种类型,每个学生选择2题作答,第1题从A,B两种试题中随机选择一题作答,学生若答对第1题,则第2题选择同一种试题作答的概率为,若答错第1题,则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为,答对种试题的概率均为,且每道试题答对与否相互独立.
(1)求学生甲2题均选择种试题作答的概率;
(2)若学生甲第1题选择种试题作答,记学生甲答对的试题数为,求的分布列与期望.
17.(15分)
如图,在正三棱柱中,D,E分别为棱的中点,在棱上,且EF平面.
(1)求的值;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
18.(17分)
已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2,且点在椭圆上(其中为的离心率).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知点,过点的直线与交于A,B两点,直线DA,DB分别交于M,N两点,试问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
19.(17分)
已经函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,证明:恰有三个不同的极值点,且.
参考数据:取.
2023-2024年度河南省高三上学期期末检测数学参考答案
1.B因为,所以.
2.B由题意可得,则.
3.A若是第二象限角,则.若,则是第二象限角或第三象限角.故选A.
4.C将这组数据从小到大排列为115,119,123,125,129,131,136,138,143,152,第5个和第6个数据分别是129和131,则这组数据的中位数是.
5.C如图,设点A,B在抛物线的准线上的投影分别是,作,垂足为D,BD与轴交于点,由题意可知.设,则,易证,则,即,整理得,解得,故.
6.D如图,设关于对称的点为,则在圆上,连接,则有,故.
7.C设双曲线的右焦点为.因为直线的斜率是,所以,所以.因为是线段AF的中点,所以.因为,所以.由双曲线的定义可得,则双曲线的离心率.
8.B.设,,则,从而.由,得,由,得或,则在和上单调递减,在,1)上单调递增.因为,所以2,即的值域为.
9.BC因为,所以.因为是等比数列,所以,即,解得,则错误.的公比,则B正确.因为,所以,则C正确.因为,所以,所以,则D错误.
10.若平面是面积为的等边三角形,则,则.A不正确.若,则,则.B正确.若,则,则平面的面积为,则到平面ABC的距离,则三棱锥的体积,则球面的体积.C正确.由余弦定理可知,则,则.D不正确.
11.ABD由,可得,则,令,得.A正确.令,则,故为偶函数.B正确.假设的图象关于点对称,则,则,即,则,这与的图象关于点对称矛盾,假设不成立.C不正确.因为的图象关于点对称,所以,令,则,则为常数),则,从而,即,由,得-2023.D正确.
12.6因为,所以,所以,则,故.
13.取棱AB的中点,连接HG,FG.因为H,G分别是棱BC,AB的中点,所以,则是异面直线HF与AC所成的角或补角.设,则.在中,由余弦定理可得,则异面直线HF与AC所成角的余弦值是.
14.60480第3行,,可选的位置有3个,其余2个位置任取2个数,共有种情况.第2行,取剩下6个数中最大的数为,可选的位置有3个,其余2个位置任取2个数,共有种情况,第1行,剩下3个数任意排列,则有种情况,故共有种填法。
15.解:(1)因为,所以……………………1分
所以,所以.………………………………………………………………3分
因为,所以.…………………………………………………………………………5分
因为,所以.……………………………………………………………………………6分
(2)由余弦定理可得,即.……………………………………7分
因为,当且仅当时,等号成立,…………………………………………………………9分
所以,解得,…………………………………………………………………11分
则的面积.…………………………………………………………13分
16.解:(1)若学生甲第1题选择种试题作答并且答对,则第2题选择种试题作答的概率,…………………………………………………………………………………………………2分
若学生甲第1题选择种试题作答并且答错,则第2题选择种试题作答的概率…………………4分
(2)由题可知,的取值可能为0,1,2,………………………………………………………………………6分
且,……………………………………………………………………8分.…………………………………………10分,……………………………………………………………………12分
故的分布列为
………………………………………………………………………………………………………………………13分
则.…………………………………………………………………15分
17.解:(1)取的中点,连接EG交AD于点,连接.
易证,则.………………………………………………………………………………2分
因为平面,且平面平面,所以,………………………3分
则四边形为平行四边形,故.……………………………………………………………5分
因为为棱AB的中点.所以…………………………………………………6分
所以,所以,即…………………………………………………………8分
(2)过点作AC的垂线AM,从而有两两垂直,故以为坐标原点,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,设平面的法向量为,
则令,得.……………………………………11分
易证平面,则平面的一个法向量为.…………………………………12分
设平面AEF与平面的夹角为,
则,……………………………………………………14分
即平面与平面夹角的余弦值为.…………………………………………………………15分
由题意可得解得………………………………………………………………………3分
(2)由题意可知直线的斜率不为0,设直线的方程为,,
则直线DA的方程为.…………………………………………………………………………5分
联立整理得…………………………………………7分
则,即.……………………………………………………………………………8分
代入,得.………………………………………………9分
同理可得.…………………………………………………………………11分
因为………………………………13分
……………………………15分
所以直线MN的斜率为定值,且定值为-2.……………………………………………………………………17分
19.(1)解:由,得,则,…………………………1分
则,…………………………………………………………………………………………3分
故曲线在处的切线方程为.…………………………………………………………5分
(2)证明:,令,则.……………………6分
因为,所以,则方程存在两个不同的实数根m,n),则,则.……………………………………………………………………8分
当时,,当时,,则在和上单调递减,在上单调递增.………………………………………………………………………………9分
,………………………………11分
令,则在上恒成立,故在上单调递减,故,则………………………………13分
不妨令,则,当时,,当时,,则在,和上单调递增,在和上单调递减,从而恰有三个极值点.………15分
由,得,所以.………………………17分
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