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2023-2024学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省济南市长清区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是( )
A. B. C. D.
2.已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
3.抛物线y=−3x2+6x+2的对称轴是( )
A. 直线x=2B. 直线x=−2C. 直线x=1D. 直线x=−1
4.若点(−1,4)在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A. (−14,1)B. (−4,−1)C. (14,2)D. (−4,1)
5.若x=−1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是( )
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 14
8.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，若∠B=30°，AC=3，则阴影部分的面积为( )
A. 32−π2
B. 3 32−π2
C. 3 32−π
D. 32−π
10.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2.若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是( )
A. c≥5B. c≥6C. c<5或c>6D. 5二、填空题：本题共6小题，共26分。
11.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是______．
12.如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB=140°，则∠ACB度数为______°.
13.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为______．
14.如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面距离BC=0.5m，AM和BN表示射入室内的光线.若某一时刻BC在地面的影长CN=0.4m，AC在地面的影长CM=2m，则窗户的高度为______．
15.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有13DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面积；③4FH⋅MH=AB2，在以上5个结论中，正确的有______．
16.解方程：x2−8x−9=0．
三、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2sin30°+3cs60°−4tan45°．
18.(本小题6分)
如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的长．
19.(本小题8分)
为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的m= ______，n= ______，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______；
(3)已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
20.(本小题8分)
每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节.已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．
21.(本小题8分)
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39°，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.(参考数据：sin39°≈0.629，cs39°≈0.777，tan39°≈0.810，sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404)
(1)求水平横管BC到水平线AD的距离(结果精确到0.1米)；
(2)求水平横管BC的长度(结果精确到0.1米)．
22.(本小题10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC=10，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=34x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y=kx交于点P(2,92)，直线x=m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
(1)求k和b的值；
(2)当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值；
(3)点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
24.(本小题12分)
综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是(−4,0)，点C的坐标是(0,4)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为(m,0)，△PCD的面积为S．
①求△PCD的面积S的最大值．
②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A=∠DEB=30°，BC=BE=3，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为______，BH与AE的数量关系为______；
(2)问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE//BC时，请直接写出BH2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
B.三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C.正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
D.圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
故选：C．
分别找出每个图形从三个方向看所得到的图形即可得到答案．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠α为锐角，且sinα=12，
∴∠α=30°．
故选A．
根据特殊角的三角函数值解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h.将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】
解：∵y=−3x2+6x+2=−3(x−1)2+5，
∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：将点(−1,4)代入反比例函数解析式，得：4=k−1，
解得：k=−4，
∴反比例函数解析式为：y=−4x．
当x=−14时，y=16，故(−14,1)不在反比例函数图象上，故A不符合题意；
当x=−4时，y=1，故(−4,−1)不在反比例函数图象上，(−4,1)在反比例函数图象上，故B不符合题意，D符合题意；
当x=14时，y=−16，故(14,2)不在反比例函数图象上，故C不符合题意．
故选：D．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．
本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：设x2+x+m=0另一个根是α，
∴−1+α=−1，
∴α=0，
故选：B．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：1015=x9．
解得x=6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．
7.【答案】B
【解析】解：少林寺、龙门石窟、云台山分别用A、B、C表示，根据题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一景点的结果数为3，
所以两家去同一景点的概率=39=13．
故选：B．
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两家去同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】D
【解析】解：观察函数图象可知：a>0，b>0，c<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a<0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
根据二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象，即可得出a>0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a<0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵⊙O与AC相切于C，
∴半径OC⊥AC，
∴∠OCA=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30°+30°=60°，
∵tan∠AOC=ACOC，AC=3，
∴OC=3tan60∘=3 3= 3，
∴△ACB的面积=12AC⋅OC=12×3× 3=3 32，扇形ODC的面积=60π×( 3)2360=12π，
∴阴影的面积=△ACB的面积−扇形ODC的面积=3 32−12π.
故选：B．
连接OC，由切线的性质得到∠OCA=90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60°，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
10.【答案】A
【解析】解：∵当x1=1，x2=3时，y1=y2．
∴抛物线对称轴为直线x=−b2=2，
∴b=−4，
∴y=x2−4x+c=(x−2)2+c−4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2,c−4)，
∴当y1=y2=c−4时，y1+y2取最小值为2c−8，
∴2c−8≥2，
解得c≥5．
故选A．
由当x1=1，x2=3时，y1=y2可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1+y2的最小值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，二次函数与不等式的关系．
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：y=−(x+2)2−3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h．
12.【答案】70
【解析】解：∵∠AOB=140°，
∴∠ACB=12∠AOB=70°．
故答案为：70．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】35
【解析】解：AB= 32+42=5，
cs∠BAC=ACAB=35．
故答案为：35．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】2m
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
【解答】
解：∵BN//AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴CNCM=BCAC，
∴0.42=0.5AC，
解得：AC=2.5(m)，
∴AB=AC−BC=2.5−0.5=2(m)，
故答案为2m．
15.【答案】①②③⑤
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，
∴∠EHM=∠B=90°，
∵EM=EM，EH=EB，
∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)，
∴∠MEH=∠MEB，
∵∠FEH=∠FEA，
∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=12(∠AEH+∠BEH)=90°，
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM=90°=∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH=90°=∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH=∠HEM，
又∵∠FHE=∠EHM=90°，
∴△FHE∽△EHM，
∴EHFH=HMEH，
又∵EH=EB=12AB，
∴AB2=4HF⋅HM，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a，
∵∠FEM=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°=∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE=∠ECB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴AFEB=AEBC=12，
∴AF=a，
∴DF=3a，
∴DF=3AF，
∴13DF=AF，故③正确，
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
由折叠的性质可得FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，由“HL”可证Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH=∠MEB，由平角的性质可求∠FEM=90°，故①和②正确；通过证明△FHE∽△EHM，得EHFH=HMEH，可得AB2=4HF⋅HM，故⑤正确；如图1，设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a，通过证明△AEF∽△BCE，可得AFEB=AEBC=12，可求AF=a，可得13DF=AF，故③正确；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
16.【答案】解：(x−9)(x+1)=0，
x−9=0或x+1=0，
所以x1=9，x2=−1．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
17.【答案】解：2sin30°+3cs60°−4tan45°
=2×12+3×12−4×1
=−1.5．
【解析】直接利用把特殊角的三角函数值代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：∵AD//BE//CF，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=6，BC=8，DE=3，
∴66+8=3DF，
∴DF=7．
【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19.【答案】30 20 90°
【解析】解：(1)总人数=15÷15%=100，
∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，
条形统计图如图所示：
故答案为30，20；
(2)∵25100×100%=25%，
所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．
故答案为：90°．
(3)800×30+20100=400(人)，
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
(1)根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；
(2)根据圆心角=360°×百分比即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．
20.【答案】解：设脐橙的销量增长率是x，
根据题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：脐橙的销量增长率是20%．
【解析】设脐橙的销量增长率是x，利用该果园2023年的脐橙销量=该果园2021年的脐橙销量×(1+脐橙的销量增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过B作BF⊥AD于F，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39°，
∴BF=AB⋅sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米．
答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米；
(2)∵∠FBC=∠BCD=∠D=90°，
∴四边形BCDF为矩形，
∴BC=DF，CD=BF=1.6米，
∵CE=0.6米，
∴DE=CD−CE=1.6−0.6=1(米)，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD，
∵∠DAE=22°，
∴AD=1tan22∘≈10.404≈2.48(米)，
又∵在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39°，
∴AF=AB⋅cs39°≈2.5×0.777=1.9425≈1.94(米)．
∴DF=AD−AF=2.48−1.94=0.54≈0.5(米)．
∴BC=DF=0.5米，
答：水平横管BC的长度约为0.5米．
【解析】(1)作BF⊥AD于F，在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB即可得BF=AB⋅sin39°≈1.6；
(2)根据矩形判定和性质求出DE=CD−CE=1，再在Rt△ADE中，根据在Rt△ADE中，求出AD=DEtan22∘≈10.404≈2.48，可求出AD的长度，在Rt△ABF中，根据AF=AB⋅cs∠BAF可求出AF的长度，从而可求出AD与AF的长度差．
本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握利用三角函数解题的方法．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC//AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
(2)解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AE⊥DC，
由(1)得：∠EAC=∠OAC，
∴∠ABC=∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34，
∴ACBC=10BC=34，
∴BC=403，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=503，
∵AB是半径，
∴半径OA=253，
即⊙O的半径为253．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠ABC=tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点P(2,92)代入y=kx，得：92=k2，
解得：k=9；
把点P(2,92)代入y=34x+b，得：32+b=92，
解得：b=3；
(2)在直线y=34x+3中，令x=0，得：y=3，
∴B(0,3)，
∴OB=3，
令y=0，得：34x+3=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
∵直线x=m分别与直线y=34x+3和双曲线y=9x交于点E、D．
∴E(m,34m+3)，D(m,9m)，
∵点E在线段AB上，
∴−4≤m≤0，
∴ED=34m+3−9m，
∵ED=BO，
∴34m+3−9m=3，
解得：m1=−2 3，m2=2 3，
经检验，m1=−2 3，m2=2 3都是原方程的解，但−4≤m≤0，
∴m=−2 3；
(3)如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B(0,3)，E(m,34m+3)，D(m,9m)，
∴F(0,34m+3)，
∴BE2=BF2+EF2=[3−(34m+3)]2+m2=2516m2，
∴BE=54|m|，
又有DE=|34m+3−9m|，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BE=DE=BC，
∴54|m|==|34m+3−9m|，
解得：m1=−3，m2=32，
当m1=−3时，D(−3,−3)，E(−3,34)，
∴DE=34−(−3)=154，
∴BC=154，
∴C(0,−34)；
当m2=32时，D(32,6)，E(32,338)，
∴DE=6−338=158，
∴BC=158，
∴C(0,398)；
综上所述，点C的坐标为(0,−34)或(0,398).
【解析】(1)利用待定系数法将点P(2,92)分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可求出k和b的值；
(2)由题意可得E(m,34m+3)，D(m,9m)，可得ED=34m+3−9m，利用ED=BO，建立方程求解即可；
(3)过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE=54|m|，由于四边形BCDE是菱形，可得BE=DE=BC，建立方程求解即可．
本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过B(−4,0)，C(0,4)两点，
∴−16−4b+c=0c=4
解得：b=−3c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−3x+4．
(2)①∵y=−x2−3x+4=−(x+32)2+254，
∴抛物线的顶点为M(−32,254)，
设直线BM的解析式为y=kx+d，则，−4k+d=0−32k+d=254
解得：k=52d=10，
∴直线BM的解析式为y=52x+10，
由题意得D(m,0)，其中−4≤m≤−32，设P(m,52m+10)，
∴PD=52m+10，OD=−m，
∴S△PCD=12PD⋅OD=12(52m+10)⋅(−m)=−54(m+2)2+5，
∵−54<0，
∴当m=−2时，S取得最大值5；
②存在，理由如下：
∵∠PDC=90°−∠CDO，
∴∠PDC<90°，不可能为直角；
当∠CPD=90°时，则∠CPD=∠PDB，
∴PC//x轴，
∴52m+10=4，
解得：m=−125，
∴P(−23,2)；当△PCD为直角三角形时，点P的坐标为(−125,4)或(−2,5)．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)①利用待定系数法可得直线BM的解析式为y=52x+10，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案；
②由于∠PDC<90°，不可能为直角，故分两种情况：当∠CPD=90°时，当∠PCD=90°时，分别求出点P的坐标即可．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键．
25.【答案】BH⊥AE AE=2 3BH
【解析】解：(1)BH⊥AE；AE=2 3BH；理由如下：
在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，
∴AE=2BC=6，
在Rt△CDB中，∠DCB=30°，
∴CD=BCcs30∘=2 3，
∵CH=DH，
∴BH=12CD= 3，
∴AEBH=6 3，
∴AE=2 3BH．
在Rt△BCD中，点H是CD的中点，
∴BH=CH=DH，
∴∠DHB=2∠DEB，
∵∠DEB=30°，
∴∠DHB=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠DBH=60°，
∴∠ABH+∠A=90°，
∴BH⊥AE，
故答案为：BH⊥AE； AE=2 3BH；
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
延长BH到F使得HF=BH，连接CF.设AE交BF于O.如图2，
∵CH=DH，BH=HF，∠CHF=∠BHD，
∴△CHF≌△DHB(SAS)，
∴BD=CF，∠F=∠DBH，
∴CF//BD．
∵AB= 3BC，BE= 3BD，
∴BE= 3CF，
∴ABBC=BECF= 3，
∵CF//BD，
∴∠BCF+∠CBD=180°，
∵∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=180°，
∴∠BCF=∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF=∠BAE，AEBF=ABBC= 3，
∴AE= 3BF=2 3BH，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AOB=90°，
∴BH⊥AE；
(3)如图3−1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．
∵DE//BC，
∴∠ABC=∠BFD=90°，
由题意BC=BE=3，AB=3 3，BD= 3，DE=2 3，
∵12BD⋅BE=12DE⋅BF，
∴BF=3× 32 3=32，
∴EF= 3BF=32 3，
∴AF=3 3+32，
∴AE2=AF2+EF2=(3 3+32)2+(32 3)2=36+9 3．
∵AE=2 3BH，
∴AE2=12BH2，
∴BH2=3+34 3；
如图3−2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=3 3−32，EF=32 3，
AE2=AF2+EF2=(3 3−32)2+(32 3)2=36−9 3．
∴BH2=AE212=3−34 3．
综上，BH2=3−34 3或3+34 3；
(1)如图1中，结论：AE=2 3BH，AE⊥BH.解直角三角形求出AC，BH即可判断．
(2)如图2中，(1)中结论成立．延长BH到F使得HF=BH，连接CF.设AE交BF于O.证明△ABE∽△BCF即可解决问题；
(3)分两种情形：①如图3−1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F；②当DE在BC的上方时，利用上面结论求出AE2即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．组别
正确字数x
人数
A
0≤x<8
10
B
8≤x<16
15
C
16≤x<24
25
D
24≤x<32
m
E
32≤x<40
n
1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是( )
A. B. C. D.
2.已知∠α为锐角，且sinα=12，则∠α=( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
3.抛物线y=−3x2+6x+2的对称轴是( )
A. 直线x=2B. 直线x=−2C. 直线x=1D. 直线x=−1
4.若点(−1,4)在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A. (−14,1)B. (−4,−1)C. (14,2)D. (−4,1)
5.若x=−1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
6.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm，则蜡烛火焰的高度是( )
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
7.在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从少林寺、龙门石窟、云台山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 14
8.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，点O为△ABC的AB边上的一点，⊙O经过点B且恰好与边AC相切于点C，若∠B=30°，AC=3，则阴影部分的面积为( )
A. 32−π2
B. 3 32−π2
C. 3 32−π
D. 32−π
10.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2.若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则c的范围是( )
A. c≥5B. c≥6C. c<5或c>6D. 5
11.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是______．
12.如图，A、B、C为⊙O上三点，若∠AOB=140°，则∠ACB度数为______°.
13.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为______．
14.如图，AB表示一个窗户，窗户的下端到地面距离BC=0.5m，AM和BN表示射入室内的光线.若某一时刻BC在地面的影长CN=0.4m，AC在地面的影长CM=2m，则窗户的高度为______．
15.如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有13DF=AF；④MF平分正方形ABCD的面积；③4FH⋅MH=AB2，在以上5个结论中，正确的有______．
16.解方程：x2−8x−9=0．
三、解答题：本题共9小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2sin30°+3cs60°−4tan45°．
18.(本小题6分)
如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的长．
19.(本小题8分)
为了传承中国传统文化，某校七年级组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字39个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如图的统计图表：
根据以上信息完成下列问题：
(1)统计表中的m= ______，n= ______，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______；
(3)已知该校七年级共有800名学生，如果听写正确的字的个数不少于24个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数．
20.(本小题8分)
每年10月至1月是赣南脐橙上市的最好季节.已知某果园2021年的脐橙销量为5万千克，2023年销量为7.2万千克，已知每年销量增长率相等，求脐橙的销量增长率是多少．
21.(本小题8分)
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39°，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.(参考数据：sin39°≈0.629，cs39°≈0.777，tan39°≈0.810，sin22°≈0.375，cs22°≈0.927，tan22°≈0.404)
(1)求水平横管BC到水平线AD的距离(结果精确到0.1米)；
(2)求水平横管BC的长度(结果精确到0.1米)．
22.(本小题10分)
如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
(1)求证：AC平分∠BAE；
(2)若AC=10，tan∠ACE=34，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=34x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y=kx交于点P(2,92)，直线x=m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．
(1)求k和b的值；
(2)当点E在线段AB上时，如果ED=BO，求m的值；
(3)点C是y轴上一点，如果四边形BCDE是菱形，求点C的坐标．
24.(本小题12分)
综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是(−4,0)，点C的坐标是(0,4)，M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为线段MB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，D点坐标为(m,0)，△PCD的面积为S．
①求△PCD的面积S的最大值．
②在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
(1)问题发现：如图1在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A=∠DEB=30°，BC=BE=3，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为______，BH与AE的数量关系为______；
(2)问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE//BC时，请直接写出BH2的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
B.三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C.正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
D.圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
故选：C．
分别找出每个图形从三个方向看所得到的图形即可得到答案．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2.【答案】A
【解析】解：∵∠α为锐角，且sinα=12，
∴∠α=30°．
故选A．
根据特殊角的三角函数值解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h.将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】
解：∵y=−3x2+6x+2=−3(x−1)2+5，
∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为x=1．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：将点(−1,4)代入反比例函数解析式，得：4=k−1，
解得：k=−4，
∴反比例函数解析式为：y=−4x．
当x=−14时，y=16，故(−14,1)不在反比例函数图象上，故A不符合题意；
当x=−4时，y=1，故(−4,−1)不在反比例函数图象上，(−4,1)在反比例函数图象上，故B不符合题意，D符合题意；
当x=14时，y=−16，故(14,2)不在反比例函数图象上，故C不符合题意．
故选：D．
先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再逐个选项判断即可．
本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：设x2+x+m=0另一个根是α，
∴−1+α=−1，
∴α=0，
故选：B．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
6.【答案】A
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形对应高的比等于相似比得到：1015=x9．
解得x=6．
即蜡烛火焰的高度是6cm．
故选：A．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比．
7.【答案】B
【解析】解：少林寺、龙门石窟、云台山分别用A、B、C表示，根据题意画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一景点的结果数为3，
所以两家去同一景点的概率=39=13．
故选：B．
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两家去同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8.【答案】D
【解析】解：观察函数图象可知：a>0，b>0，c<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a<0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
根据二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象，即可得出a>0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a<0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵⊙O与AC相切于C，
∴半径OC⊥AC，
∴∠OCA=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B=30°，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=30°+30°=60°，
∵tan∠AOC=ACOC，AC=3，
∴OC=3tan60∘=3 3= 3，
∴△ACB的面积=12AC⋅OC=12×3× 3=3 32，扇形ODC的面积=60π×( 3)2360=12π，
∴阴影的面积=△ACB的面积−扇形ODC的面积=3 32−12π.
故选：B．
连接OC，由切线的性质得到∠OCA=90°，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出∠AOC=60°，由锐角的正切求出OC长，求出△ACB的面积，扇形ODC的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
10.【答案】A
【解析】解：∵当x1=1，x2=3时，y1=y2．
∴抛物线对称轴为直线x=−b2=2，
∴b=−4，
∴y=x2−4x+c=(x−2)2+c−4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2,c−4)，
∴当y1=y2=c−4时，y1+y2取最小值为2c−8，
∴2c−8≥2，
解得c≥5．
故选A．
由当x1=1，x2=3时，y1=y2可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1+y2的最小值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，二次函数与不等式的关系．
11.【答案】(−2,−3)
【解析】解：y=−(x+2)2−3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是直线x=h．
12.【答案】70
【解析】解：∵∠AOB=140°，
∴∠ACB=12∠AOB=70°．
故答案为：70．
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得∠ACB的度数．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】35
【解析】解：AB= 32+42=5，
cs∠BAC=ACAB=35．
故答案为：35．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
14.【答案】2m
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AM仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
【解答】
解：∵BN//AM，
∴∠CBN=∠A，∠CNB=∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴CNCM=BCAC，
∴0.42=0.5AC，
解得：AC=2.5(m)，
∴AB=AC−BC=2.5−0.5=2(m)，
故答案为2m．
15.【答案】①②③⑤
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
由翻折可知：FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，
∴∠EHM=∠B=90°，
∵EM=EM，EH=EB，
∴Rt△EMH≌Rt△EMB(HL)，
∴∠MEH=∠MEB，
∵∠FEH=∠FEA，
∴∠FEM=∠FEH+∠MEH=12(∠AEH+∠BEH)=90°，
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM=90°=∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH=90°=∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH=∠HEM，
又∵∠FHE=∠EHM=90°，
∴△FHE∽△EHM，
∴EHFH=HMEH，
又∵EH=EB=12AB，
∴AB2=4HF⋅HM，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a，
∵∠FEM=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°=∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE=∠ECB，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴AFEB=AEBC=12，
∴AF=a，
∴DF=3a，
∴DF=3AF，
∴13DF=AF，故③正确，
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
由折叠的性质可得FA=FH，EA=EH，∠A=∠FHE=90°，由“HL”可证Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH=∠MEB，由平角的性质可求∠FEM=90°，故①和②正确；通过证明△FHE∽△EHM，得EHFH=HMEH，可得AB2=4HF⋅HM，故⑤正确；如图1，设AE=EB=2a.则AB=BC=AD=CD=4a，通过证明△AEF∽△BCE，可得AFEB=AEBC=12，可求AF=a，可得13DF=AF，故③正确；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
16.【答案】解：(x−9)(x+1)=0，
x−9=0或x+1=0，
所以x1=9，x2=−1．
【解析】利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
17.【答案】解：2sin30°+3cs60°−4tan45°
=2×12+3×12−4×1
=−1.5．
【解析】直接利用把特殊角的三角函数值代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
18.【答案】解：∵AD//BE//CF，
∴ABAC=DEDF，
∵AB=6，BC=8，DE=3，
∴66+8=3DF，
∴DF=7．
【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19.【答案】30 20 90°
【解析】解：(1)总人数=15÷15%=100，
∴m=100×30%=30，n=100×20%=20，
条形统计图如图所示：
故答案为30，20；
(2)∵25100×100%=25%，
所以扇形统计图中“C组“所对应的圆心角的度数是360°×25%=90°．
故答案为：90°．
(3)800×30+20100=400(人)，
答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为400人．
(1)根据B组人数以及百分比求出总人数，再根据D、E的百分比求出人数即可，再补全图形；
(2)根据圆心角=360°×百分比即可；
(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，从频数分布表与直方图中获取互相关联的信息是解本题的关键．
20.【答案】解：设脐橙的销量增长率是x，
根据题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：脐橙的销量增长率是20%．
【解析】设脐橙的销量增长率是x，利用该果园2023年的脐橙销量=该果园2021年的脐橙销量×(1+脐橙的销量增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过B作BF⊥AD于F，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39°，
∴BF=AB⋅sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米．
答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米；
(2)∵∠FBC=∠BCD=∠D=90°，
∴四边形BCDF为矩形，
∴BC=DF，CD=BF=1.6米，
∵CE=0.6米，
∴DE=CD−CE=1.6−0.6=1(米)，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD，
∵∠DAE=22°，
∴AD=1tan22∘≈10.404≈2.48(米)，
又∵在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39°，
∴AF=AB⋅cs39°≈2.5×0.777=1.9425≈1.94(米)．
∴DF=AD−AF=2.48−1.94=0.54≈0.5(米)．
∴BC=DF=0.5米，
答：水平横管BC的长度约为0.5米．
【解析】(1)作BF⊥AD于F，在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB即可得BF=AB⋅sin39°≈1.6；
(2)根据矩形判定和性质求出DE=CD−CE=1，再在Rt△ADE中，根据在Rt△ADE中，求出AD=DEtan22∘≈10.404≈2.48，可求出AD的长度，在Rt△ABF中，根据AF=AB⋅cs∠BAF可求出AF的长度，从而可求出AD与AF的长度差．
本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握利用三角函数解题的方法．
22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC，
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC//AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠EAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAE；
(2)解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AE⊥DC，
由(1)得：∠EAC=∠OAC，
∴∠ABC=∠ACE，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34，
∴ACBC=10BC=34，
∴BC=403，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=503，
∵AB是半径，
∴半径OA=253，
即⊙O的半径为253．
【解析】(1)连接OC，由切线的性质得到OC⊥DC，进而得到OC//AE，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可证得结论；
(2)连接DE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDE=90°，再利用(1)的结论可得tan∠ABC=tan∠ACE=34，从而求出BC的长，然后再利用勾股定理求出AB的长，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把点P(2,92)代入y=kx，得：92=k2，
解得：k=9；
把点P(2,92)代入y=34x+b，得：32+b=92，
解得：b=3；
(2)在直线y=34x+3中，令x=0，得：y=3，
∴B(0,3)，
∴OB=3，
令y=0，得：34x+3=0，
解得：x=−4，
∴A(−4,0)，
∵直线x=m分别与直线y=34x+3和双曲线y=9x交于点E、D．
∴E(m,34m+3)，D(m,9m)，
∵点E在线段AB上，
∴−4≤m≤0，
∴ED=34m+3−9m，
∵ED=BO，
∴34m+3−9m=3，
解得：m1=−2 3，m2=2 3，
经检验，m1=−2 3，m2=2 3都是原方程的解，但−4≤m≤0，
∴m=−2 3；
(3)如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
∵B(0,3)，E(m,34m+3)，D(m,9m)，
∴F(0,34m+3)，
∴BE2=BF2+EF2=[3−(34m+3)]2+m2=2516m2，
∴BE=54|m|，
又有DE=|34m+3−9m|，
∵四边形BCDE是菱形，
∴BE=DE=BC，
∴54|m|==|34m+3−9m|，
解得：m1=−3，m2=32，
当m1=−3时，D(−3,−3)，E(−3,34)，
∴DE=34−(−3)=154，
∴BC=154，
∴C(0,−34)；
当m2=32时，D(32,6)，E(32,338)，
∴DE=6−338=158，
∴BC=158，
∴C(0,398)；
综上所述，点C的坐标为(0,−34)或(0,398).
【解析】(1)利用待定系数法将点P(2,92)分别代入直线l和双曲线H的解析式中，即可求出k和b的值；
(2)由题意可得E(m,34m+3)，D(m,9m)，可得ED=34m+3−9m，利用ED=BO，建立方程求解即可；
(3)过点E作EF⊥y轴于点F，运用勾股定理求出BE=54|m|，由于四边形BCDE是菱形，可得BE=DE=BC，建立方程求解即可．
本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图像和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过B(−4,0)，C(0,4)两点，
∴−16−4b+c=0c=4
解得：b=−3c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−x2−3x+4．
(2)①∵y=−x2−3x+4=−(x+32)2+254，
∴抛物线的顶点为M(−32,254)，
设直线BM的解析式为y=kx+d，则，−4k+d=0−32k+d=254
解得：k=52d=10，
∴直线BM的解析式为y=52x+10，
由题意得D(m,0)，其中−4≤m≤−32，设P(m,52m+10)，
∴PD=52m+10，OD=−m，
∴S△PCD=12PD⋅OD=12(52m+10)⋅(−m)=−54(m+2)2+5，
∵−54<0，
∴当m=−2时，S取得最大值5；
②存在，理由如下：
∵∠PDC=90°−∠CDO，
∴∠PDC<90°，不可能为直角；
当∠CPD=90°时，则∠CPD=∠PDB，
∴PC//x轴，
∴52m+10=4，
解得：m=−125，
∴P(−23,2)；当△PCD为直角三角形时，点P的坐标为(−125,4)或(−2,5)．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)①利用待定系数法可得直线BM的解析式为y=52x+10，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案；
②由于∠PDC<90°，不可能为直角，故分两种情况：当∠CPD=90°时，当∠PCD=90°时，分别求出点P的坐标即可．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键．
25.【答案】BH⊥AE AE=2 3BH
【解析】解：(1)BH⊥AE；AE=2 3BH；理由如下：
在Rt△ABC中，BC=3，∠A=30°，
∴AE=2BC=6，
在Rt△CDB中，∠DCB=30°，
∴CD=BCcs30∘=2 3，
∵CH=DH，
∴BH=12CD= 3，
∴AEBH=6 3，
∴AE=2 3BH．
在Rt△BCD中，点H是CD的中点，
∴BH=CH=DH，
∴∠DHB=2∠DEB，
∵∠DEB=30°，
∴∠DHB=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠DBH=60°，
∴∠ABH+∠A=90°，
∴BH⊥AE，
故答案为：BH⊥AE； AE=2 3BH；
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
延长BH到F使得HF=BH，连接CF.设AE交BF于O.如图2，
∵CH=DH，BH=HF，∠CHF=∠BHD，
∴△CHF≌△DHB(SAS)，
∴BD=CF，∠F=∠DBH，
∴CF//BD．
∵AB= 3BC，BE= 3BD，
∴BE= 3CF，
∴ABBC=BECF= 3，
∵CF//BD，
∴∠BCF+∠CBD=180°，
∵∠ABC+∠DBE=∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE=∠CBD+∠ABE=180°，
∴∠BCF=∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF=∠BAE，AEBF=ABBC= 3，
∴AE= 3BF=2 3BH，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠AOB=90°，
∴BH⊥AE；
(3)如图3−1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．
∵DE//BC，
∴∠ABC=∠BFD=90°，
由题意BC=BE=3，AB=3 3，BD= 3，DE=2 3，
∵12BD⋅BE=12DE⋅BF，
∴BF=3× 32 3=32，
∴EF= 3BF=32 3，
∴AF=3 3+32，
∴AE2=AF2+EF2=(3 3+32)2+(32 3)2=36+9 3．
∵AE=2 3BH，
∴AE2=12BH2，
∴BH2=3+34 3；
如图3−2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF=3 3−32，EF=32 3，
AE2=AF2+EF2=(3 3−32)2+(32 3)2=36−9 3．
∴BH2=AE212=3−34 3．
综上，BH2=3−34 3或3+34 3；
(1)如图1中，结论：AE=2 3BH，AE⊥BH.解直角三角形求出AC，BH即可判断．
(2)如图2中，(1)中结论成立．延长BH到F使得HF=BH，连接CF.设AE交BF于O.证明△ABE∽△BCF即可解决问题；
(3)分两种情形：①如图3−1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F；②当DE在BC的上方时，利用上面结论求出AE2即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．组别
正确字数x
人数
A
0≤x<8
10
B
8≤x<16
15
C
16≤x<24
25
D
24≤x<32
m
E
32≤x<40
n
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