2023-2024学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线l1：ax+y−1=0与直线l2：x−ay−1=0的位置关系是( )
A. 垂直B. 相交且不垂直C. 平行D. 平行或重合
2.已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,1),n=(1,−1,0)，则这两个平面的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
3.如图，在三棱锥A−BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC，E为BC中点，则AE⋅BC等于( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2，若x=−1时，f(x)取极值0，则ab的值为( )
A. 3B. 18C. 3或18D. 不存在
5.若方程x24−t+y2t−1=1表示曲线C，则下列说法正确的是( )
A. 若1B. 若曲线C为双曲线，则t>1
C. 曲线C不可能是圆
D. 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则16.已知数列{an}中，a1=2，an=1−1an−1(n≥2)，则a2023等于( )
A. −1B. −12C. 12D. 2
7.设a=0.1，b=sin0.1，c=e−0.9，则( )
A. a8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线l过坐标原点并与双曲线交于P，Q两点(P在第一象限)，过点P作l的垂线与双曲线交于另一个点A，直线QA交x轴于点B，若点B的横坐标为点Q横坐标的两倍，则双曲线的离心率为( )
A. 1B. 22C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}的前n项和Sn=−n2+9n(n∈N*)，则下列结论正确的是( )
A. {an}是等差数列B. a4+a6=0C. a910.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB，交PB于点F，则下列结论正确的是( )
A. PA//平面EDB
B. PB⊥平面EFD
C. 直线PB与平面ABCD所成的角的余弦值为 33
D. 平面CPB与平面PBD夹角的大小为60°
11.设m∈R，过定点A的动直线l1：x+my=0，和过定点B的动直线l2：mx−y−m+3=0交于点P，圆C：(x−2)2+(y−4)2=3，则下列说法正确的有( )
A. 直线l2过定点(1,3)B. 直线l2与圆C相交最短弦长为2
C. 动点P的曲线与圆C相交D. |PA|+|PB|最大值为5
12.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两点，O为坐标原点，则( )
A. 抛物线C的焦点坐标为(0,1)
B. 若A，F，B三点共线，则x1x2=−1
C. 若|AB|=8，则AB的中点到x轴距离的最小值为3
D. 若OA⊥OB，则|OA||OB|≥32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ex+1x在其图象上的点(1,e+1)处的切线方程为______．
14.在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA′的长为3，且∠A′AB=∠A′AD=60°则AC′的长为______．
15.已知函数f(x)=x+sinx，若f(a−1)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是______．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，左、右焦点分别是F1，F2，若A(3,3)是椭圆外一点，则|AF1|2|AF2|2的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5=30，a4=8．
(1)求数列{an}的通项公式及Sn；
(2)设bn=an⋅2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，D是AB的中点．
(1)证明：BC1/​/平面A1DC；
(2)求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短弦长．
20.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=3，an+1=4an+3n−1，n∈N*．
(1)求证：数列{an+3n−1}是等比数列，并求an的通项公式；
(2)记Sn=1a1+1a2+⋯+1an，求证：对任意n∈N*，13≤Sn<49．
21.(本小题12分)
已知动圆P过点F2(2,0)并且与圆F1：(x+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)过点F2(2,0)的直线l1与轨迹C交于A、B两点，设直线l：x=12，设点D(−1,0)，直线AD交l于M，求证：直线BM经过定点．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x+(1−2a)ex−ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：当a=0时，直线l1：y−1=0，直线l2：x−1=0，此时两直线垂直，
当a≠0时，直线l1的斜率k1=−a，直线l2的斜率k2=1a，
因为k1⋅k2=−1，则两直线垂直，
综上两直线位置关系是垂直．
故选：A．
分a=0和a≠0讨论，其中a≠0时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断．
本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=−1 2× 2=−12，因为向量夹角范围为[0,π]，
故两向量夹角为23π，故两平面夹角为π3，即60°，
故选：B．
根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案．
本题主要考查了二面角的向量公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积的运算，是中档题．
本题解题的关键是把要求数量积的向量表示成已知向量的和或差的形式，再进行数量积的运算即可．
【解答】
解：∵AE⋅BC=12( AB+AC)⋅(DC−DB)
=12(DB− DA +DC−DA)⋅ (DC−DB)
=12(DB− 2DA+DC)⋅ (DC−DB)
=12DB⋅DC−12DB2−DA⋅DC+DA⋅DB
+12DC2−12DC⋅DB，
∵DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC，
∴AE⋅BC=0，
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x3+3ax2+bx+a2，得f′(x)=3x2+6ax+b，
因为x=−1时，f(x)取得极值0，
所以f(−1)=−1+3a−b+a2=0f′(−1)=3−6a+b=0，解得a=1b=3或a=2b=9，
当a=1b=3时，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0，
此时函数在f(x)在x=1处取不到极值；
经检验a=2b=9时，函数f(x)在x=1处取得极值0，满足题意，
所以a=2b=9，所以ab=18．
故选：B．
利用导数与极值的定义得到关于a，b的方程组，求出a，b，然后再检验x=−1时，函数是否能取得极值，由此得解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A，当t=52时，4−t=t−1，此时曲线C为圆，故A错误；
对于B，若曲线C为双曲线，则(4−t)⋅(t−1)<0，即t<1或t>4，故B错误；
对于C.若曲线C为圆，则4−t=t−1，即t=52，故曲线C可能是圆，故C错误；
对于D，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4−t>t−1>0，解得1故选：D．
根据t的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可．
本题考查曲线的方程，考查椭圆与双曲线的性质，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据a1=2并利用an=1−1an−1可得a2=1−1a1=12，
a3=1−1a2=−1，
a4=1−1a3=2，a5=1−1a4=12，…
所以可得数列{an}是周期为3的周期数列，
即a2023=a3×674+1=a1=2．
故选：D．
根据题意代入计算可得数列{an}是周期为3的周期数列，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由sinxb=sin0.1<0.1=a，
c=e−0.9>−0.9+1=0.1=a，
故b故选：C．
直接利用放缩公式sinx本题考查了利用三角放缩和指数放缩比较大小，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：已知点B的横生标为点Q横坐标的两倍，
则|QO|=|QB|，
即∠OBQ=∠BOQ，
则kPQ+kAQ=0，
设P(x,y)，Q(−x,−y)，A(m,n)，
则yx+y+nx+m=0，①
又AP⊥PQ，
则yx×y−nx−m=−1，②
由①②可得y2−n2=x2−m2，
又x2a2−y2b2=1，m2a2−n2b2=1，
则x2−m2a2=y2−n2b2，
则a2=b2，
则e2=c2a2=a2+b2a2=2，
即双曲线的离心率为 2，
故选：C．
由直线的斜率公式，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了直线的斜率公式，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：当n=1时，a1=S1=8，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−n2+9n−[−(n−1)2+9(n−1)]=10−2n，符合a1=8，
故an=10−2n(n∈N*)，
所以an+1=10−2(n+1)=8−2n，an+1−an=−2，
所以数列{an}是等差数列，首项为a1=8，公差d=−2，A正确；
a4+a6=2a5=0，B正确；
因为公差d=−2<0，所以数列{an}是递减数列，所以a9>a10，C错误；
Sn=−n2+9n=−(n−92)2+814，
易知当n=4或5时，Sn有最大值S4=S5=20，D错误．
故选：AB．
由an与Sn的关系求出数列{an}的通项，可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前n项和Sn的函数性质可判断D．
本题主要考查等差数列的性质，考查了转化思想，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设DC=1，
对于A，A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，E(0,12,12)，
PA=(1,0,−1)，DB=(1,1,0)，DE=(0,12,12)，
设平面EDB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DB=x+y=0m⋅DE=12y+12z=0，取x=1，得m=(1,−1,1)，
∵PA⋅m=0，PA⊄平面EDB，∴PA/​/平面EDB，故A正确；
对于B，PB=(1,1,−1)，
∵PB⋅DE=0，∴PB⊥ED，
∵EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD，故B正确；
对于C，∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角的平面角，
∵BD= AD2+AB2= 2，PB= PD2+BD2= 3，
∴cs∠PBD=BDPB= 2 3= 63，故C错误；
对于D，依题意得C(0,1,0)，CB=(1,0,0)，PC=(0,1,−1)，
设平面CPB的一个法向量为n=(a,b,c)，
则CP⋅n=a=0PC⋅n=b−c=0，取b=1，得n=(0,1,1)，
∵PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PD⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴DB⊥AC，
∵DB∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD的一个法向量为CA=(1,−1,0)，
∵cs=n⋅CA|n|⋅|CA|=−12，
∴平面CPB与平面PBD夹角的大小为60°，故D正确．
故选：ABD．
对于A，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；对于B，利用线面垂直的判定定理判断；对于C，推导出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角的平面角，求解判断；对于D，求出平面CPB的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、线面角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：由直线l1：x+my=0，可得过定点A(0,0)，
动直线l2：mx−y−m+3=0⇒m(x−1)−(y−3)=0，可得恒过定点B(1,3)，所以A正确；
由圆的方程可得圆心C(2,4)，半径r= 3，
所以圆心C到直线l2的距离d=|2m−3−m+3| 1+m2=|m| 1+m2，
所以弦长为2 r2−d2=2 3−m21+m2=2⋅ 3−1+m2−1m2=2 2+11+m2∈(2 2,2 3]，所以B不正确；
因为两条直线始终互相垂直，P是两条直线的交点，所以PA⊥PB，可得P的轨迹为圆，且圆心为AB的中点，(12,32)，半径r′=|AB|2= 102，
圆心距为 (2−12)2+(4−32)2= 342∈(r−r′,r+r′)，所以两圆相交，所以C正确；
因为两条直线始终互相垂直，P是两条直线的交点，所以PA⊥PB，
可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=12+32=10，
由均值不等式可得：|PA|+|PB|2≤ |PA|2+|PB|22= 5，
即|PA|+|PB|≤2 5，所以D不正确；
故选：AC．
由直线l2的方程可得直线恒过的定点的坐标，求出圆C到直线l2的距离，由弦长，圆心到直线的距离及圆的半径的关系可得弦长的表达式，再由函数的单调性可得弦长的范围，由题意可得点P的轨迹为圆，Q圆心的坐标及半径，求出两圆的圆心距，可得与两圆的半径的关系，由均值不等式可得|PA|+|PB|2≤ |PA|2+|PB|22= 5，可判断所给命题的真假．
本题考查求直线恒过定点的方法，直线与圆相交的弦长的求法，均值不等式的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：抛物线C的焦点坐标为(0,1)，A正确．
当A，F，B三点共线时，取特殊情形AB平行x轴时，令y=1，则x2=4，不妨令x1=2，x2=−2，则x1x2=−4，故B错误．
当A，F，B三点共线时，|AF|+|BF|=|AB|，AB的中点到准线的距离等于4，所以AB的中点到x轴的距离为3．
当A，F，B三点不共线时，|AF|+|BF|>|AB|，AB的中点到准线的距离大于4，所以AB的中点到x轴的距离大于3，C正确．
当OA⊥OB时，直线AB过定点M(0,4)．
设直线AB的方程为y=kx+4，
联立方程x2=4y,y=kx+4,整理得x2−4kx−16=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−16,(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16k2+64，
所以|x1−x2|=4 k2+4．
|OA||OB|=|OM||x1−x2|=16 k2+4≥32，当k=0时取等号，D正确．
故选：ACD．
根据题意，由抛物线的定义以及性质即可判断ABC，设直线AB的方程为y=kx+4，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理即可判断D．
本题主要考查抛物线的定义以及性质，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】y=(e−1)x+2
【解析】解：由f(x)=ex+1x，得f′(x)=ex−1x2，
∴f′(1)=e−1，
则函数f(x)=ex+1x在其图象上的点(1,e+1)处的切线方程为y=(e−1)(x−1)+e+1，
即y=(e−1)x+2．
故答案为：y=(e−1)x+2．
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】 29
【解析】解：在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，
可得AC=AB+AD+AA′，
所以AC′2=(AD+AB+AA′)2=4+4+9+0+2×2×3×12+2×2×3×12=29，
所以|AC′|= 29．
故答案为： 29．
由平行六面体ABCD−A′B′C′D′，可得AC=AB+AD+AA′，进而计算可求AC′的长．
本题考查利用向量的运算求两点间的距离，考查运算求解能力，属中档题．
15.【答案】[−1,12]
【解析】解：由f(x)=x+sinx(∈R)得：f(−x)=−x−sinx=−(x+sinx)=−f(x)，故f(x)为奇函数，
f′(x)=1+csx≥0恒成立，故f(x)在R上是增函数，
所以f(a−1)+f(2a2)≤0⇔f(a−1)≤f(−2a2)，
所以a−1≤−2a2，即2a2+a−1≤0，解得−1≤a≤12，
故a的范围是[−1,12].
故答案为：[−1,12].
易知f(x)是奇函数，且结合导数知f(x)是增函数，据此将不等式化简，即可解出a的范围．
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题．
16.【答案】3+2 2
【解析】解：不妨设F1(−c,0)，F2(c,0)，
已知椭圆C的离心率e=ca= 32，①
又a2=c2+b2，②
联立①②，解得a=2b，
因为A(3,3)是椭圆外一点，
所以9a2+9b2>1，
即94b2+9b2>1，
解得b2<454，
此时c2<1354，
所以|AF1|2|AF2|2=(3+c)2+9(3−c)2+9=1+12cc2−6c+18=1+12c+18c−6
≤1+122 c⋅18c−6=1+126 2−6=3+2 2，
当且仅当b2=c23，c=18c，即b2=6，c2=18时，等号成立，
则|AF1|2|AF2|2的最大值为3+2 2．
故答案为：3+2 2．
由题意，结合离心率公式以及a，b，c之间的关系得到a=2b，再根据A(3,3)是椭圆外一点，得到b2<454，利用两点间距离公式和基本不等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的定义以及基本不等式，考查了逻辑推理和运算能力．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意可得5a1+10d=30a1+3d=8，
解得a1=d=2，
所以an=2n,Sn=n(a1+an)2=n(2+2n)2=n2+n；
(2)由(1)知bn=2n⋅4n，
则Tn=2(1×4+2×42+⋯+n⋅4n)4Tn=2(1×42+2×43+⋯+n⋅4n+1)，
两式相减得：−3Tn=2(1×4+42+43+⋯+4n−n⋅4n+1)=2×[4×(1−4n)1−4−n⋅4n+1]，
即有Tn=29[(3n−1)4n+1+4]．
【解析】(1)设出等差数列{an}的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答；
(2)由(1)的结论，利用错位相减法求和即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
18.【答案】(1)证明：连接AC1，交A1C的于O，连接OD，
因为O,D分别是AC1，AB的中点，
所以OD/​/BC1，
又OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC
即BC1/​/平面A1DC；
(2)解：由(1)得：OD/​/BC1，
即∠DOC(或其补角)就是异面直线BC1与A1C所成的角，
又OC= 2，CD= 3，OD=12BC1= 2，
则cs∠DOC=OD2+OC2−CD22OD⋅OC=14，
即异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为14．
【解析】(1)连接AC1，交A1C的于O，连接OD，因为O,D分别是AC1，AB的中点，所以OD/​/BC1，然后结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)(1)得：OD/​/BC1，即∠DOC(或其补角)就是异面直线BC1与A1C所成的角，然后结合余弦定理求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属基础题．
19.【答案】(1)证明：直线l的方程可化为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0，
由2x+y−7=0x+y−4=0，解得x=3y=1，
所以直线l恒过定点(3,1)；
(2)解：当直线l过圆心C(1,2)时，直线l被圆C截得的弦长最长，
由(1)得直线l恒过定点(3,1)，设定点为点P，
当直线l⊥CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，
kCP=1−23−1=−12，
直线l的斜率为k=−2m+1m+1，
由−2m+1m+1．(−12)=−1，解得m=−34，
此时直线l的方程是2x−y−5=0，
圆心C(1,2)到直线2x−y−5=0的距离为d=|2−2−5| 5= 5，
所以最短弦长是2 25−d2=2 25−5=4 5．
【解析】本题考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
(1)直线l的方程可化为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0，进行求解即可；
(2)当直线过圆心时，弦长最长，当直线l⊥CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，利用两直线垂直斜率关系，以及点到直线的距离公式求解即可．
20.【答案】解：(1)∵数列{an}满足a1=3，an+1=4an+3n−1，n∈N*，
∴an+1+3n=4an+4⋅3n−1=4(an+3n−1)，
∴{an+3n−1}以4为首项，4为公比的等比数列，
∴an+3n−1=4n即an=4n−3n−1．
证明：(2)∵1an=14n−3n−1=13⋅4n−1+4n−1−3n−1<13⋅4n−1=13⋅(14)n−1，
∴Sn=1a1+1a2+⋯+1an<13[1+14+(14)2+⋯+(14)n−1]=49[1−(14)n]<49，
又1an>0，则Sn≥1a1=13，
∴13≤Sn<49．
【解析】(1){an+3n−1}以4为首项，4为公比的等比数列，即可求解；
(2)1an=14n−3n−1=13⋅4n−1+4n−1−3n−1<13⋅4n−1=13⋅(14)n−1，即可求解．
本题考查了数列的递推式，数列与不等式的综合，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知|PF1|=|PF2|+2，|PF1|−|PF2|=2，P轨迹C为双曲线的右支，2a=2，a=1，|F1F2|=2c=4，c=2，
所以双曲线的标准方程x2−y23=1(x>0)．
(2)证明：由对称性可知，若直线BM过定点，则定点在x轴上．
当直线l1的斜率不存在时，A(2,3)，B(2,−3)，M(12,32)，知直线BM经过点P(1,0)，
当直线l1的斜率存在时，不妨设直线l1：y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
直线AD：y=y1x1+1(x+1)，当x=12时，yM=3y12(x1+1)，M(12,3y12(x1+1))，
联立y=k(x−2)3x2−y2=3得，(3−k²)x²+4k²x−(4k²+3)=0，x1+x2=−4k23−k2,x1x2=−4k2+33−k2，
下面证明直线BM经过点P(1,0)，即证kPM=kPB，即−3y1x1+1=y2x2−1，
由y1=k(x1−2)，y2=k(x2−2)，整理得4x1x2−5(x1+x2)+4=0，
又4⋅4k2+3k2−3−5⋅4k2k2−3+4⋅k2−3k2−3=0
即证BM经过点P(1,0)，故直线BM恒过定点．
【解析】(1)由圆与圆外切得|PF1|=|PF2|+2，由双曲线的定义得C的轨迹为双曲线的右支，求出a，b得出方程；(2)由对称性可知，若直线BM过定点，则定点在x轴上．利用直线l1斜率不存在得出点为P(1,0)，再证明当直线斜率l1存在时，直线BM过P点即可．
本题考查圆与圆的位置关系，双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，属于综合题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=e2x+(1−2a)ex−ax，所以f′(x)=2e2x+(1−2a)ex−a=(2ex+1)(ex−a)，
当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增；
当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，
由f′(x)<0，得x0，可得x>lna，
所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，所以f(x)至多有一个零点；
当a>0时，函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，
所以当x=lna时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(lna)=a−a2−alna=a(1−a−lna)，
令h(a)=1−a−lna，a∈(0,+∞)，则h′(a)=−1−1a<0，
所以h(a)在(0,+∞)上单调递减，
又h(1)=0，所以要使f(x)min<0，即h(a)<0，则a>1．
又因为f(−1)=1e2+1−2ae+a=1+e+ae(e−2)e2>0，
所以f(x)在(−∞,lna)上有一个零点，
又f(ln(3a))=3a2+3a−aln(3a)=a[3a+3−ln(3a)]=a[(3a−1)−ln(3a)+4]，
令g(x)=x−1−lnx，x∈(3,+∞)，则g′(x)=1−1x=x−1x>0，
所以g(x)在(3,+∞)上单调递增，
因为a>1，所以3a>3，所以g(3a)=3a−1−ln(3a)>g(3)>0，
所以f(ln(3a))=a[3a+3−ln(3a)]>a[g(3a)+4]>4a>0，
所以f(x)在(lna,+∞)上也有一个零点．
综上所述，要使f(x)有两个零点，则a的取值范围是(1,+∞)．
【解析】(1)求导可得f′(x)=(2ex−a)(ex+1)，分a≤0，a>0两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解；
(2)由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，所以f(x)至多有一个零点，当a>0时，求出f(x)的最小值，使f(x)min<0可求解a的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．