北京市重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题(无答案)

这是一份北京市重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题(无答案)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1．已知集合，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．直三棱柱中，．则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5．设分别是正方形的边上的点，且，如果（为实数），那么的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
6．6．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．函数的图像关于原点对称
B．函数的图像关于直线对称
C．函数图像上所有点向右平移个单位后，所得图像关于原点对称
D．函数在区间上单调递增
8．设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则（ ）
A． B．6 C．8 D．16
9．已知函数．若当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．数列表示第天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第天的日增长率．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）．
12．在数列中，，则______．
13．双曲线的渐近线为等边三角形的边所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则______．
14．已知函数的部分图像如图所示．
（1）函数的最小正周期为______．
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像．若函数为奇函数，则的最小值为______．
15．已知曲线的方程是，给出下列三个结论：
①曲线与两坐标轴有公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点在曲线上，则的最大值是；
④曲线C围成图形的面积大小属于区间．
所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共85分）
16．（本小题满分13分）
在中，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题满分14分）
如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面平面，分别为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18．（本小题满分13分）
2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．
某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：
（Ⅰ）从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
（Ⅱ）从2020年7月至12月中随机选取4个月，记为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个数．求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨．当为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）
19．（本小题满分15分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若和有相同的最小值，求的值．
20．（本小题满分15分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．与平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴正半轴交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：为定值．
21．（本小题满分15分）
若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质．
（1）判断下列数列是否满足性质，并说明理由．
①；
②．
（2）若数列满足性质，且，求证：集合为无限集；
（3）若周期数列满足性质，求出数列的通项公式．