人教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题18.9 三角形的中位线（知识讲解）

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专题 18.9 三角形的中位线（知识讲解）【学习目标】理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；运用三角形中位线与第三边的位置关系、数量关系解决问题；理解并掌握三角形中位线定理的拓展结论。【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、中点三角形定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。要点三、中点四边形定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。（此内容主要在学习特殊四边形后运用较广）【典型例题】类型一、三角形的中位线➽➼定理的理解1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（     ）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】C【分析】根据三角形中位线定理计算即可．解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，∴BC=2DE=2×4=8，故选：C．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，若，，则下列线段是的中位线的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形中位线的定义分析即可．解：∵，，∴为的中点，为的中点，∴为的中位线．故选：A．【点拨】本题考查三角形中位线和中点的定义．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．熟练掌握三角形中位线的相关知识是解题的关键．【变式2】如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，线段EF的长（　　）A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定【答案】C【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．解：连接AR．∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF为△APR的中位线，∴EF＝AR，∵AR的长为定值，∴线段EF的长不改变．故选：C．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，正确作出辅助线，得到EF为△APR的中位线是解决问题的关键．类型二、三角形的中位线➽➼求线段✬✬求角度✬✬证明2．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作EFCD，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形；若四边形的周长是，的长为，求线段、的长．【答案】(1) 见分析 (2) 【分析】（1）利用三角形的中位线证明，从而可得结论；（2）利用三角形的中位线的性质先求解EC， 再利用勾股定理求解DE，可得BC，再利用勾股定理可得答案．(1)证明：，分别是，的中点，是的中位线，，又，四边形是平行四边形；(2)解：是的中点，，四边形的周长是，，，，在中，由勾股定理，，，，又是的中位线，，．【点拨】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，熟练的应用平行四边形的性质解决问题是关键．举一反三：【变式1】如图，点F是的边AC的中点，点D在AB上，连接DF并延长至点E，使，连接CE．求证：；若，，求BC的长．【答案】(1) 见详解 (2) 4【分析】（1）根据题干条件即可求证；（2）根据平行线的性质、中位线的性质即可求解；解：(1)证明：∵F是的边AC的中点∴在和中∵∴(2)∵，∴∵F是的边AC的中点，∴【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA＝13．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．在（1）所作图形中，连接EF，已知AC＝12，AD＝10，CD＝6，求△BEF的周长．【答案】(1) ①作图见分析；②作图见分析； (2) 34【分析】（1）①利用基本作图作∠ABC的平分线即可；②利用基本作图作CD的垂直平分线即可；（2）先根据等腰三角形的性质得到AE=DE，再根据线段垂直平分线的性质得到DF=CF，则可判断EF是△ADC的中位线，最后求出△BEF的周长．(1)解：①如图，BE为所作；②如图，点F为所作；(2)解：∵BD=BA，BE是∠ABC的平分线，∴AE=DE=，BE⊥AD，∴，∵MF是DC垂直平分线，∴DF=CF=，∴EF是△ADC的中位线，∴EF=，∴△BEF的周长=BE+EF+BF= BE+EF+BD+DF=12+6+13+3=34．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和三角形中位线性质．类型三、三角形的中位线➽➼作图✬✬面积✬✬求线段（角度）3．如图，在中，点为边的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】图见分析【分析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点为线段的中点时，，首先以点和点为圆心，以大于的相同长为半径，分别在线段两侧画弧，其弧的交点分布于线段的两侧，连接两交点，交线段于点，此点即为所求点，然后连接．解：如图，点即为所求．【点拨】本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作图正确的出线段的中点．举一反三：【变式1】如图，在中，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若四边形的面积为，求的面积．【答案】（1）见分析；（2）8【分析】（1）先说明为的中位线，可得、，又，则根据一组对边平行且相等则为平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再说明的面积的面积，进而说明的面积的面积，最后根据图形即可解答．解：证明：∵，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形；解：∵四边形是平行四边形，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积．∵是的中点，∴的面积的面积，∴的面积．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线以及三角形的面积计算，掌握平行四边形的判定与性质成为解答本题的关键．【变式2】如图，为的中线，为的中线．（1），，求 的度数；（2）若的面积为40，，则到边的距离为多少．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过作边的垂线即可得：到边的距离为的长，然后过作边的垂线，再根据三角形中位线定理求解即可．解：（1）是的外角，；（2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离，过作边的垂线，为的中线，，，的面积为40，，即，解得，∵为的中线，∴，又∵为的中线，∴，则有：．即到边的距离为4．【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．类型四、三角形的中位线➽➼证明✬✬求线段（角度）4．如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．求证：；若，求的长．【答案】(1) 证明见分析； (2) 14【分析】（1）延长，交于点E，通过证明≌，得到，，进而得到为的中位线，即可得证；（2）利用勾股定理得到线段的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段的长度．（1）解：如图，延长，交于点E，∵平分，∴，在与中，∴≌，∴，，即点D为线段的中点，∴为的中位线，∴，∵，∴；（2）解：在中，，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F.求证：；如果，求证：.【答案】(1) 见分析 (2) 见分析【分析】（1）由，推出，，再由三角形内角和定理即可证明；（2）取中点G，连接，证明即可解决问题．解：（1）证明：∵，∴，，∵，∴，∴；（2）证明：取中点G，连接，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线定理，关键是作辅助线构造全等三角形．【变式2】按要求作图．如图（1），在平行四边形中，为对角线，是的中线．①在取一点F使得；（仅使用无刻度的直尺画图）．②画出的高．（仅使用无刻度的直尺画图）．如图（2），四边形是平行四边形，在线段找一点E，使得平分．（仅使用圆规画图）【答案】(1) ①见分析；②见分析 (2) 见分析【分析】（1）①连接交AC于O点，则，则为的中位线，可得，延长交于F，则满足条件；②设交于P点，则P点为的三条中线的交点，然后延长交于H，为边上的中线，再由，根据等腰三角形的性质得到；（2）以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则，可得，再根据，可知，从而得到，即可．（1）解：①如图1，连接交AC于O点，并延长交于F，F点即为所作；理由：∵四边形是平行四边形，∴，∵是的中线．∴为的中位线，∴，即；②如图1，设交于P点，延长交于H，即为所作；理由：∵四边形是平行四边形，∴，∵是的中线．∴P点为的三条中线的交点，∴为边上的中线，∴，即是的高；（2）解：如图2，以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则线段为所作．理由：根据作法得：，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，即平分．【点拨】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．类型五、三角形的中位线➽➼实际应用➽➼作图✬✬求值5．要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由．【答案】这种说法正确，理由见分析【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可．解：这种说法正确，理由如下：连接，，的中点为D，E，是的中位线，，只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离，所以，这个说法是正确的．【点拨】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，为边的中点，请用尺规作图法求作线段，使得点在上，，且．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见分析【分析】分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点，作直线MN，交AC于点E，连接DE，则线段DE即为所求的线段．解：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，∴作出边AC的中点E，连接DE，则线段DE即为所求的线段，如图所示：【点拨】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【变式2】如图，为等边三角形，D为边AB的中点，过点C的直线，作点D关于直线l的对称点M，连接DM交AC于点E，交直线l于点F，作于点N，连接MC，MN．求证：为等边三角形；求证：为等边三角形；如果等边的边长为8，求DM的长．【答案】(1) 证明见分析 (2) 证明见分析 (3) 12【分析】（1）根据对称的性质可知，推出，则∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB=60°，即可证明△ADE是等边三角形；（2）如图所示，连接DC，由题意得，由对称的性质可得，由（1）可知，E为AC的中点，可证EF是的中位线，F是CN的中点，DM是线段CN的垂直平分线，则，可知△CNM是等腰三角形，根据，结论得证；（3）由（2）可得，EF是△ANC的中位线，，则DF=DE+EF=6，DM=2DF=12；（1）解：∵D、M关于直线l对称，∴，∵CN⊥BC，∴，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠ACB=60°，∴△ADE是等边三角形；（2）解：如图所示，连接DC， 由题意知，∴，∵D、M关于直线l对称，∴，由（1）可知，E为AC的中点，∵，∴，∴EF是的中位线，∴F是CN的中点，∴DM是线段CN的垂直平分线，∴，∴△CNM是等腰三角形，又∵，∴△CNM是等边三角形；（3）解：由（2）可得，EF是△ANC的中位线，∴，∴DF=DE+EF=6，∴DM=2DF=12；【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，轴对称图形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．