苏科版七年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.4平方差公式专项提升训练-【拔尖特训】（原卷版+解析 ）

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专题9.4平方差公式专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022春•吴江区校级期中）下列运算正确的是（　　）A．2a﹣3a＝﹣1 B．﹣4a3a2＝﹣4a C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a22．（2022春•吴江区期中）下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　）A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）3．（2022春•高邮市期末）已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为（　　）A．0 B．1 C．3 D．44．（2022春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（　　）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．35．（2022秋•崇川区期中）已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．46．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（　　）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+727．（2022秋•如皋市期中）如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（　　）A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n28．（2022春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022春•亭湖区校级月考）计算：（2﹣3x）（2+3x）＝　 　．10．（2022春•东台市期中）（﹣5y+2x） 　 　＝25y2﹣4x2．11．（2022春•东海县期中）已知a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝　 　．12．（2022春•高淳区校级期中）计算：20222﹣2024×2020＝　 　．13．(2023春•镇江期中）计算：（22+1）（24+1）（28+1）＝　 　．14．(2023秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+12）×（1+122）×（1+124）×（1+128）+1215=　 　．15．(2023春•淮阴区期末）已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝　 　．16．（2022春•亭湖区校级月考）阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22010＝　 　．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•溧阳市期末）计算：（1）x（x﹣2y）；（2）（5﹣x）（x+5）．18．（2022春•沭阳县期中）简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．19．利用乘法公式计算下列各题：（1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（23x+5y）（23x−5y）；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x−12）（x2+14）（x+12）．20．计算：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）；（2）(−13a+12b)(−13a−12b)；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）；（4）(12x−2)(12x+2)−14x(x+8)；（5）(x−y)(19x−y)−(13x−y)(13x+y)．21．（2020春•徐州期中）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）根据以上规律，（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝　 　；（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020的值．22．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．23．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：　 　；图②阴影部分面积为：　 　；（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．24．（2022春•大丰区校级月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的选项）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你选的等式进行简便计算：1012﹣2×992+972；（3）用你选的等式进行简便计算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．专题9.4平方差公式专项提升训练班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022春•吴江区校级期中）下列运算正确的是（　　）A．2a﹣3a＝﹣1 B．﹣4a3a2＝﹣4a C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2【分析】运用整式的加减、积的乘方、平方差公式等知识进行计算、辨别．【解答】解：∵2a﹣3a＝﹣a，∴选项A不符合题意；∵﹣4a3a2不能再计算，∴选项B不符合题意；∵（﹣3a）3＝﹣27a3，∴选项C不符合题意；∵（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，∴选项D符合题意，故选：D．2．（2022春•吴江区期中）下列式子中，能用平方差公式运算的是（　　）A．（﹣x+y）（y﹣x） B．（x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣y+x）（x+y） D．（x﹣y）（﹣x+y）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2判断，左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．【解答】解：A．没有相反项，故此选项不符合题意；B．没有完全相同的项，故此选项不符合题意；C．原式＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；D．没有完全相同的项，故此选项不符合题意．故选：C．3．（2022春•高邮市期末）已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为（　　）A．0 B．1 C．3 D．4【分析】根据平方差公式变形，将a+b整体代入求值即可．【解答】解：当a+b＝2时，原式＝（a+b）（a﹣b）+4b＝2（a﹣b）+4b＝2a﹣2b+4b＝2a+2b＝2（a+b）＝2×2＝4．故选：D．4．（2022春•相城区期末）若a2﹣2a﹣1＝0，那么代数式（a+2）（a﹣2）﹣2a的值为（　　）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【分析】由已知条件求得a2﹣2a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣2a的形式，后整体代入求值即可．【解答】解：（a+2）（a﹣2）﹣2a＝a2﹣4﹣2a＝a2﹣2a﹣4，∵a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝1﹣4＝﹣3．故选：B．5．（2022秋•崇川区期中）已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平方差公式即可得出答案．【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝3×1＝3．故选：C．6．（2022•滨海县模拟）用简便方法计算107×93时，变形正确的是（　　）A．1002﹣7 B．1002﹣72 C．1002+2×100×7+72 D．1002﹣2×100×7+72【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：107×93＝（100+7）×（100﹣7）＝1002﹣72，故选：B．7．（2022秋•如皋市期中）如图，边长为（m+n）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是（　　）A．2m+2n B．m+2n C．2m2+n D．2mn+n2【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．【解答】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：S大正方形﹣S小正方形＝（m+n）2﹣m2＝2mn+n2，故选：D．8．（2022春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择．【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴选项A不符合题意；∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴选项B符合题意；∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴选项C不符合题意；∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2，∴选项D不符合题意，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．（2022春•亭湖区校级月考）计算：（2﹣3x）（2+3x）＝　4﹣9x2　．【分析】根据平方差公式进行计算，即可得出结果．【解答】解：（2﹣3x）（2+3x）＝22﹣（3x）2＝4﹣9x2．10．（2022春•东台市期中）（﹣5y+2x） 　（﹣5y﹣2x）　＝25y2﹣4x2．【分析】由平方差公式可知（﹣5y+2x）（﹣5y﹣2x）＝25y2﹣4x2，即可得出答案．【解答】解：（﹣5y+2x）（﹣5y﹣2x）＝25y2﹣4x2，故答案为：（﹣5y﹣2x）．11．（2022春•东海县期中）已知a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝　2　．【分析】根据平方差公式计算即可．【解答】解：因为a+b＝2，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×1＝2．故答案为：2．12．（2022春•高淳区校级期中）计算：20222﹣2024×2020＝　4　．【分析】利用平方差根式计算即可．【解答】解：原式＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+4＝4．故答案为：4．13．(2023春•镇江期中）计算：（22+1）（24+1）（28+1）＝　216−13　．【分析】将原式变形为13（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），然后利用平方差公式计算即可．【解答】解：原式=13（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=13（24﹣1）（24+1）（28+1）=13（28﹣1）（28+1）=13（216﹣1）=216−13．故答案为：216−13．14．(2023秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+12）×（1+122）×（1+124）×（1+128）+1215=　2　．【分析】根据平方差公式解决此题．【解答】解：（1+12）×（1+122）×（1+124）×（1+128）+1215=2×(1−12)×(1+12)×(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215 =2×(1−122)(1+122)×(1+124)×(1+128)+1215 =2×(1−124)(1+124)×(1+128)+1215 =2×(1−128)×(1+128)+1215 =2×(1−1216)+1215 =2−1215+1215 ＝2．故答案为：2．15．(2023春•淮阴区期末）已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，则a+b＝　10　．【分析】根据平方差公式得出（3a+3b）2＝900，再由a＞0，b＞0，可求出3a+3b＝30，进而求出a+b＝10．【解答】解：∵（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，∴（3a+3b）2﹣1＝899，即（3a+3b）2＝900，又∵（±30）2＝900，a＞0，b＞0，∴3a+3b＝30，即a+b＝10，故答案为：10．16．（2022春•亭湖区校级月考）阅读以下内容：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…+22010＝　22011﹣1　．【分析】观察各式，总结规律，按照把式子变形，再计算即可．【解答】解：1+2+22+23+24+…+22010＝（2﹣1）（22010+22009+22008+22007+…+2+1）＝22011﹣1．故答案为：22011﹣1．三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•溧阳市期末）计算：（1）x（x﹣2y）；（2）（5﹣x）（x+5）．【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）根据平方差公式计算即可．【解答】解：（1）x（x﹣2y）＝x2﹣2xy；（2）（5﹣x）（x+5）＝﹣（x﹣5）（x+5）＝﹣（x2﹣25）＝25﹣x2．18．（2022春•沭阳县期中）简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【分析】（1）利用平方差公式变形并化简求解即可．（2）将原式变形利用完全平方公式求解即可．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．19．利用乘法公式计算下列各题：（1）（2x+y）（2x﹣y）；（2）（23x+5y）（23x−5y）；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）；（4）（x−12）（x2+14）（x+12）．【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得解；（2）利用平方差公式进行计算即可得解；（3）二次利用平方差公式进行计算即可得解；（4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解．【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2＝4x2﹣y2；（2）（23x+5y）（23x﹣5y）＝（23x）2﹣（5y）2=49x2﹣25y2；（3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；（4）（x−12）（x2+14）（x+12）＝（x2−14）（x2+14）＝x4−116．20．计算：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）；（2）(−13a+12b)(−13a−12b)；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）；（4）(12x−2)(12x+2)−14x(x+8)；（5）(x−y)(19x−y)−(13x−y)(13x+y)．【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即可解答本题．【解答】解：（1）（2a﹣5）（﹣2a﹣5）＝25﹣4a2；（2）（−13a+12b）（−13a−12b）=19a2−14b2；（3）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab）＝9x2﹣25a2b2；（4）（12x−2）（12x+2）−14x（x+8），=14x2−4−14x2−2x，＝﹣2x﹣4；（5）（x﹣y）（19x−y）﹣（13x−y）（13x+y），＝（x﹣y）（19x−y）﹣（19x2−y2），=2y2−109xy．21．（2020春•徐州期中）阅读以下材料：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……（1）根据以上规律，（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝　xn﹣1　；（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020的值．【分析】（1）利用题中所给的等式的变换规律写出结论；（2）先变形为原式=14×（5﹣1）（1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020），然后利用（1）中的结论计算．【解答】解：（1）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）＝xn﹣1；故答案为xn﹣1；（2）1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020=14×（5﹣1）（1+5+52+53+54+55+…+52018+52019+52020）=14×（52021﹣1）=52021−14．22．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】①原式可写成（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1），再利用平方差公式计算即可；②原式可写成12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1），再利用平方差公式计算即可；③原式可写成（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502），再利用平方差公式计算即可．【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）＝（28﹣1）•（28+1）＝216﹣1；②原式=12（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）=12（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）=12（34﹣1）•（34+1）•（38+1）=12（38﹣1）•（38+1）=12×(316−1)；③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1＝101×（99﹣97+95﹣…+3﹣1）＝101×（2+2+…+2）＝101×25×2＝5050．23．（2022秋•苏州期中）如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）．（1）请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积：图①阴影部分面积为：　a2﹣b2　；图②阴影部分面积为：　（a+b）（a﹣b）　；（2）请探究并直接写出a2﹣b2、a+b、a﹣b这三个式子之间的等量关系；（3）利用（2）中的结论，求542.72﹣457.32的值．【分析】（1）由正方形、长方形面积的计算方法以及拼图中面积之间的关系得出答案；（2）由图①、图②阴影部分的面积相等可得答案；（3）利用（2）中的结论进行计算即可．【解答】解：（1）图①的阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②的长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图①、图②阴影部分的面积相等可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）由（2）得，542.72﹣457.32＝（542.7+457.3）×（542.7﹣457.3）＝1000×85.4＝85400．24．（2022春•大丰区校级月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 　A　；（请选择正确的选项）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你选的等式进行简便计算：1012﹣2×992+972；（3）用你选的等式进行简便计算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．【分析】（1）利用拼图前后面积之间的关系，用代数式表示各个部分的面积即可；（2）将原式化为（1012﹣992）+（972﹣992），再利用平方差公式进行计算即可；（3）根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，剩余部分的面积为这两个正方形的面积差，即a2﹣b2，从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，将剩余部分拼成长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：A；（2）原式＝1012﹣992﹣992+972＝（1012﹣992）+（972﹣992）＝（101+99）（101﹣99）+（97+99）（97﹣99）＝400﹣392＝8；（3）原式＝（20222﹣20212）+（20202﹣20192）+（20182﹣20172）+…+（19522﹣19512）+（19502﹣19492）＝（2022+2021）（2022﹣2021）+（2020+2019）（2020﹣2019）+（2018+2017）（2018﹣2017）+…+（1950+1949）（1950﹣1949）＝2022+2021+2020+2019+2018+2017+…+1950+1949＝146927．