苏科版八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.14正方形的性质与判定大题专练（重难点培优）（原卷版+解析版）

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专题9.14正方形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形．3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，且．求证：平分．4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．5．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．6．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)求证：；(2)若，是的角平分线，求的长．7．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F， 交AE于点O，且BF⊥AE ．(1)求证：BF＝AE；(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．8．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．(1)的大小＝______°；(2)求证：≌；(3)若，则的大小＝______°．9．(2023春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．10．（2022春·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．11．(2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知正方形的边长是，，，垂足分别是、，且，则的长是______________．12．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF（1）求菱形BDFE的面积；（2）求CG的长度．13．(2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．14．(2023秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）作图发现如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是　　．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．16．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（1）以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（2）设旋转后点E的对应点为F，连接EF，△AEF是什么三角形（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长17．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，正方形中，为边上一点，于，于，连接（1）求证：（2）若，的面积为，求的长18．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是的四边形）；(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为，腰长为；(3)在图（3）中，、均为格点，请画出一个格点，使得．19．(2023春·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接、．(1)求证：；(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．20．（2022春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．21．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．22．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，求证：．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．请你根据小明的思路写出完整的解答过程．证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，……（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．23．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.25．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．26．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点在边上，且，顶点，分别是边，上的动点，连接．(1)当四边形为正方形时，直接写出的长等于________；(2)连接，判断图中与的大小关系，并说明理由；(3)若的面积等于12，求的长．27．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点E为平行四边形ABCD 外一点．(1)如图1，若∠AEC=∠BED=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)如图2，若∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，过点B作BF⊥BE交EC的延长线于点F．① 求证：四边形ABCD是正方形；② 探索线段AE 、CE 与BE 之间的数量关系，并说明你的理由；直接写出线段DE 、CE 与BE 之间的数量关系．28．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．29．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点．①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　；②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；(2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．30．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；(2)请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？专题9.14正方形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．【答案】119°【分析】根据正方形的性质得到∠A=∠C=∠D= 90°，根据折叠的性质，得到∠F=∠A= 90°，∠FEN =∠C= 90°，∠DNM=∠ENM，根据平角的定义得到∠ENM 的度数，根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，，，，，，，．【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．2．(2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形．【答案】证明见解析．【分析】可作于点，由可得，进一步可得，从而可得，再根据四边形ABCD是矩形即可得到结论．【详解】证明：如图，作于点， ∵四边形是矩形，∴，∴，∴，，∠ABC=90° ∵，∴，∵，∴，∴，∴∴矩形是正方形．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．3．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，正方形的边长为1，点在延长线上，且．求证：平分．【答案】见解析【分析】求得，证明，推出，即可证明结论．【详解】证明：∵四边形是边长为1的正方形，∴，，∵，，∴，∴，∴平分．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，证明是解题的关键．4．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝12，DE＝4，求△AEF的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°，可利用SAS证得△ADE≌△ABF；（2）根据勾股定理可得AE＝4，再由全等三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°∵F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠ABC＝∠D＝90°在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）．（2）解：∵BC＝12，∴AD＝12在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝12，∴AE＝＝4，由（1）知△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．∴∠EAF＝90°∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．5．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）已知在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE⊥AF于点G．(1)求证：DE＝AF；(2)若点E是AB的中点，AB＝4，求GF的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，即可求证；（2）根据勾股定理可得，从而得到，再由，可得，即可求解．（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，点是中点，∴，在中，，∵DE=AF，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．6．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点，点是线段上一点，连接，过点作于点，交于点．(1)求证：；(2)若，是的角平分线，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠EOC=∠GOB=90°，OC=OB，易证△EOC≌△GOB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据BF⊥CE，可得∠EFB=∠CFB=90°，根据BF是∠DBC的角平分线，可知∠EBF=∠CBF，可证△EBF≌△CBF（SAS），可得BE=BC，根据正方形的性质，可知BC=2，即可求出OE．（1）证明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OC=OB，∴∠EOC=∠GOB=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵BF⊥CE，∴∠OEC+∠OBG=90°，∴∠OBG=∠OCE，在△EOC和△GOB中，，∴△EOC≌△GOB（ASA），∴BG=CE；（2）解：∵BF⊥CE，∴∠EFB=∠CFB=90°，∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠EBF=∠CBF，∵BF=BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴BE=BC，在正方形ABCD中，OB=OC，∠BOC=90°，∵OB=，根据勾股定理，得BC=2，∴OE+=2，∴OE=2-．【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．7．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F， 交AE于点O，且BF⊥AE ．(1)求证：BF＝AE；(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)OD=AB，理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，从而得到△ABE≌△BCF，即可求证；（2）延长AD交射线BM于点G，根据△ABE≌△BCF，可得BE=CF，从而得到CF=DF，再由AD∥BC，进而得到∠DGF=∠CBF，可证得△DGF≌△CBF，从而得到DG=BC，进而得到OD为△AOG的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BF⊥AE，∴∠EOB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE；(2)解：OD=AB，理由如下：如图，延长AD交射线BM于点G，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵E是BC的中点，∴，∴CF=DF，∵AD∥BC，∴∠DGF=∠CBF，在△DGF和△CBF中，∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，∴△DGF≌△CBF，∴DG=BC，∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，∵BF⊥AE，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．(1)的大小＝______°；(2)求证：≌；(3)若，则的大小＝______°．【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65【分析】（1）由正方形的性质求解即可；（2）由正方形ABCD可知，，，进而可证≌（SAS）；（3）由≌可知，由三角形外角的性质可知，计算求解即可．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴，故答案为45．（2）证明：∵四边形ABCD是正方形∴，在和中∵∴≌（SAS）．（3）解：∵≌∴∵∴故答案为65．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．9．(2023春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，得AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，利用SAS可证得△ABP≌△CBP即可证明PC＝PE．（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，从而得∠DAP＝∠DCP，再由PA＝PE即可证出∠DCP＝∠E，进而可证出∠CPE＝∠EDF＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE，（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．（2022春·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠FAD＝45°【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；（2）根据矩形的性质得到CD=AB=3，求得DE=4，根据全等三角形的性质得到FH=DE=4，EH=CD=3，得到AH=FH，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH=ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，∴CD=AB=3，∵AE=1，∴DE=4，∵△FEH≌△ECD，∴FH=DE=4，EH=CD=3，∴AH=4，∴AH=FH，∵∠FHE=90°，∴∠FAD=45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．11．(2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知正方形的边长是，，，垂足分别是、，且，则的长是______________．【答案】【分析】延长交于点，证明，根据勾股定理即可求得【详解】如图，延长交于点，四边形是正方形，， ，，，，,，（SSS），，四边形是正方形，，，，,，，，,， ， ，在和中， ，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．12．（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF（1）求菱形BDFE的面积；（2）求CG的长度．【答案】（1）16；（2）【分析】（1）已知正方形的边长可求BD，根据BE，DC即可求菱形BDFE的面积．（2）连接DE，可证△BCG≌△DCE，得出CG＝CE，可求CG的长度．【详解】解：（1）正方形边长为4，则BD＝，则菱形BDFE的边长为，菱形BDFE的面积为S＝4×4＝16．答：菱形BDFE的面积为16．（2）连接DE，则DE⊥BF，∴∠CBG+∠DEC＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CBG，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴CG＝CE=BE-BC=，【点睛】本题考查了菱形的对角线垂直的性质，正方形的性质，勾股定理，本题中证△BCG≌△DCE是解题的关键．13．(2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形．如图，取一张正方形纸片ABCD，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点C落在第一次的折痕EF上点G处，折痕为BH试探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三个角之间的数量关系，并说明理由．【答案】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA，理由见解析【分析】连接，由折叠的性质得出垂直平分，则，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．理由：连接CG，由第一次折叠知点B、C关于EF对称，∴EF垂直平分BC，∴BG＝CG，由第二次折叠知△BCH≌△BGH，∴BG＝BC，∴BG＝CG＝BC，∴△BCG是等边三角形，∴∠CBG＝60°，∵△BCH≌△BGH，∴∠CBH＝∠GBH＝30°，∵∠ABC＝90°，∴，∴∠CBH＝∠GBH＝∠GBA．【点睛】本题考查的是折叠的性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．(2023秋·江苏镇江·八年级统考阶段练习）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）16【分析】（1）四边形APCD正方形，则PD平分∠APC，PC=PA，∠APD=∠CPD=45°，即可求解；（2）由△AEP≌△CEP，则∠EAP=∠ECP，而∠EAP=∠BAP，则∠BAP=∠FCP，又∠FCP+∠CMP=90°，则∠AMF+∠PAB=90°即可求解； （3）过点C作CN⊥BG，垂足为N，证明△PCN≌△APB（AAS），则 CN=PB=BF，PN=AB，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形APCD为正方形∴PD平分∠APC，∠APC=90°，PC=PA∴∠APD=∠CPD=45°在△AEP和△CEP中，∴△AEP≌△CEP(SAS)（2）CF⊥AB．理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP∵∠EAP=∠BAP∴∠BAP=∠FCP∵∠FCP+∠CMP=90°，∠AMF=∠CMP∴∠AMF+∠PAB=90°∴∠AFM=90°∴CF⊥AB（3）过点C作CN⊥BG，垂足为N∵CF⊥AB，BG⊥AB∴四边形BFCN为矩形，FC∥BN∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB又AP=CP，∠ABP=∠CNP=90°∴△PCN≌△APB(AAS)∴CN=PB=BF，PN=AB∵△AEP≌△CEP∴AE=CE∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+BF+AF=2AB=16【点睛】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等等知识点，其中（3），证明△PCN≌△APB（AAS），是本题的关键．15．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）作图发现如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是　　．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BE＝CD；（2）BE＝CD，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．（2）根据正方形的性质可得到：AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，再通过角的等量代换可证出∠CAD＝∠EAB，因此△CAD≌△EAB，即可求解．【详解】解：（1）∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．（2）BE＝CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE＝CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．16．(2023春·江苏宿迁·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（1）以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形；（2）设旋转后点E的对应点为F，连接EF，△AEF是什么三角形（3）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长【答案】（1）见解析；（2）△AEF是等腰直角三角形；（3）【分析】（1）利用正方形的性质，可画出旋转后的图形；（2）由旋转的性质，可得AF=AE，∠FAE=90°，即△AEF是等腰直角三角形的性质．（3）由四边形AECF的面积为25，易知正方形的面积也为25，从而得到正方形的边长AD=5，而DE=2，再利用勾股定理即可求出AE.【详解】解：（1）如图，△ABF即是旋转后的图形；（2）△AEF是等腰直角三角形．理由：∵以A为中心，把△ADE按顺时针方向旋转90°得到△ABF，∴AF=AE，∠FAE=90°，∴△AEF是等腰直角三角形的性质．（3）∵△ADE≌△ABF，∴ ∴,∴,∴,∴,在Rt中，DE=2，AD=5，∴,【点睛】此题考查了正方形的性质与旋转的性质及勾股定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．17．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图，正方形中，为边上一点，于，于，连接（1）求证：（2）若，的面积为，求的长【答案】（1）见解析；（2）2．【分析】（1）首先根据正方形的性质得出，然后通过等量代换得到，从而利用AAS即可证明；（2）由全等三角形的性质得出，设 ，则，然后利用即可求出x的值．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴ ∵， 在和中， ；（2） 设 ，则 或 （舍去）【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．18．（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．(1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为17的正方形（正方形是四条边相等，四个内角都是的四边形）；(2)在图（2）中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其底边为，腰长为；(3)在图（3）中，、均为格点，请画出一个格点，使得．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据要求作一个边长为的正方形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题即可．【详解】（1）解：如图1中，正方形即为所求；根据作法得：，，∴该四边形为正方形，∴该四边形的面积为；（2）解：如图2中，即为所求．根据作法得：；（3）解：如图3中，点即为所求．根据作法得：，∴，∴，∴．【点睛】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．(2023春·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接、．(1)求证：；(2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若为中点，则当______时，四边形是正方形（直接写出答案）．【答案】(1)见解析(2)四边形BECD是菱形，理由见解析(3)45°【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴ACDE，∵MNAB，即CEAD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BDCE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，故答案为：45°．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．20．（2022春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．(1)求证：AF与DE互相平分；(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．【答案】(1)见解析(2)AB＝AC且∠BAC＝90°【分析】（1）证明四边形DFEA是平行四边形，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，再根据三角形中位线定理及正方形的判定可得出结论．（1）证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD，∴EFAB，EFAB＝AD，∴四边形DFEA是平行四边形，∴AF与DE互相平分．（2）解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形，理由如下：由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AF是△ABC的中线，∴AF⊥BC，∵DE是△ABC的中位线，∴DEBC，∴AF⊥DE，∴平行四边形ADFE是菱形．又∵∠BAC＝90°，∴四边形ADFE是正方形．故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．(2023秋·江苏宿迁·八年级沭阳县修远中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．22．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足，求证：．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．请你根据小明的思路写出完整的解答过程．证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，……（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论；（2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论；②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8．【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，∵绕点旋转至，∴∴，，，∵，，∴∴∵∴∵∴∴∵∴（2）①如图2，由题意：∵四边形是正方形，∴，∵∴∵∴∴∴在和中∵∴∴∴②的周长不随时间的变化而变化，如图3，延长到，使，连接，在和中∵∴∴，∵，∴，∴在和 中∵∴∴∴∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4∴的周长∴的周长是定值8．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．23．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．(1)如图1，当时，求证：菱形是正方形．(2)如图2，连接，当的面积等于1时，求线段的长度．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据菱形和正方形的性质，去证明≌，即可得到，从而推出，得到，即可证明得出结论；（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，根据菱形和正方形的性质得到，从而证明得到≌，得到，根据的面积等于1，即可求出CG的长度，而，即可求出答案．（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵四边形是菱形，∴，∵∴在和中，，∴≌（HL）∴，∴，∴，∴菱形为正方形；（2）过F作，交DC的延长线于点M，连接GE，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，∵∴，∴，在和中，，∴≌（AAS）， ∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，综合掌握以上性质和判定是本题的关键．24．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD'≌△HNM，得DD'=MN；（2）连接MD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD'，再根据（1）知，DD'=MN，从而解决问题．【详解】解：（1）证明：过点N作NH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，∵∠NHB=90°，∴四边形ABHN是矩形，∴AB=HN，∵DD′⊥MN，∴∠DON=90°，∴∠OND+∠ODN=90°，∵∠OND+∠MNH=90°，∴∠ODN=∠MNH，∵∠DAD'=∠NHM，AD=NH，∴△ADD'≌△HNM（ASA），∴MN=DD'；（2）连接MD'，DD'，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD'2+BM2=D'C'2+C'M2，∴62+（x-2）2=x2+22，解得x=9，∴AB=AD=9，∴AD'=3，由勾股定理得，DD'=，∵MN是DD'的垂直平分线，由（1）知，DD'=MN，∴MN=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．25．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．(2)探究证明：①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．【答案】(1)(2)①见解析   ②见解析【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到 ，故可求解；②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到 ， 再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则 AF＝EG．故可求解．（1），理由如下：∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB2＝2DE2，∵B点与F点重合，∴AF2＝2DE2，∴；故答案为：．（2）①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．∵四边形ABCD是正方形，∴，，．∵，，∴四边形AFGD为平行四边形．∴AF＝DG，AD＝FG．∴FG＝CD．∵，AB＝BC，∴．∴∵．∴．∴．∴．∴．∴．∴，．∴．∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∴．②如图，作，并截取，连接AG、GE．∵四边形ABCD是正方形，∴，CD＝AD．∴同理，．∵，∴．又∵DG＝DE，∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∵，∴．∴．∴，AG＝EC．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴四边形AGEF为平行四边形．∴AF＝EG．∴．【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．26．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，已知矩形中，，．菱形的顶点在边上，且，顶点，分别是边，上的动点，连接．(1)当四边形为正方形时，直接写出的长等于________；(2)连接，判断图中与的大小关系，并说明理由；(3)若的面积等于12，求的长．【答案】(1)4(2)∠1 =∠2，理由见解析(3)3【分析】（1）根据正方形的性质及矩形的性质得出∠DHG=∠AEH，利用全等三角形的判定和性质求解即可；（2）根据矩形及菱形的性质得出∠CGE=∠GEA，∠FGE=∠HEG，结合图形，找准各角之间的关系即可得出结果；（3）作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，连接EG，利用矩形及菱形的性质得出∠MGF=∠AEH，再由全等三角形的判定和性质得出MF=AH=4，利用三角形面积得出CG=6，结合图形求解即可．（1）解：如图所示，当四边形EFGH为正方形时，GH=HE，∠EHG=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠A=90°，∴∠DHG=90°-∠AHE=∠AEH，∴∆DHG≅∆AEH，∴DG=AH=4，故答案为：4；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴ABCD，∴∠CGE=∠GEA，∵四边形EFGH为菱形，∴GFHE，∴∠FGE=∠HEG，∴∠CGE-∠FGE =∠GEA-∠HEG，即∠1=∠2；（3）如图，作FM⊥CD，交CD的延长线于点M，连接EG， ∵四边形EFGH为菱形，∴GFHE，∴∠FGE=∠HEG，∵ABCD，∴∠CGE=∠GEA，∴∠CGE-∠FGE =∠GEA-∠HEG即∠MGF=∠AEH∵∠D=∠A=90°，GF=EH，∴∆MGF≅∆AEH，∴MF=AH=4，∵ΔFCG的面积等于12∴，∴CG=6，∵CD=AB=9，∴DG=CD-CG=3．【点睛】题目主要考查矩形、正方形及菱形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．27．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）已知点E为平行四边形ABCD 外一点．(1)如图1，若∠AEC=∠BED=90°，求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)如图2，若∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，过点B作BF⊥BE交EC的延长线于点F．① 求证：四边形ABCD是正方形；② 探索线段AE 、CE 与BE 之间的数量关系，并说明你的理由；直接写出线段DE 、CE 与BE 之间的数量关系．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②，理由见解析；．【分析】（1）连接EO，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行证明即可；（2）①通过证明△ABE≌△CBF，即可证明四边形ABCD是正方形；②由△ABE≌△CBF，可得AE=CF，再由；过点C作CP⊥BE交于P，过点C作CQ⊥ED交于Q，可证明△BCP≌△DCQ，再由 ，即可求解．（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O为AC，BD的中点，∵∠AEC= ∠BED=90°，∴AC=2OE，BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）①证明：∵∠AEB=∠BEC=∠CED=45°，∴∠AEC=∠BED=90°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠BEC=45°，BF⊥BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE=BF，∠F=45°，∴∠AEB=∠F，∵∠ABC=90°，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AB=BC，∴四边形ABCD是正方形；②，理由∵△ABE≌△CBF，∴AE=CF，∴CE+AE=CE+CF=EF，∵△BEF是等腰直角三角形，∴，∴，过点C作CP⊥BE于点P，过点C作CQ⊥ED于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∵∠PCQ=∠BCD=90°，∴∠DCQ=∠BCP，∴△BCP≌△DCQ（AAS），∴BP=DQ，∵∠CED=45°，∴△CEQ是等腰三角形，∴EQ=CQ，∴∵∠BEC=45°，∴PE=PC，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握矩形的判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．28．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．(1)如图1，若．①求BF的长；②求四边形DEGF的面积．(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由“ASA”证明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的长；②利用等积法求出AG的长度，由勾股定理得出BG的长度，再由S四边形DEGF＝S△ABG，即可求出四边形DEGF的面积；（2）先证明四边形四边形BHGF是平行四边形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．（1）解：①∵在正方形ABCD中，∴，，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，在Rt△ABF中，，∴；②由①知，∴＝，∵，，，∴，即，∴，∴，∵在中，，，，∴，∴ ；（2）解：∵，，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴四边形FBHM为平行四边形，∴，而，∴，∴，∵，∴，由（1）知，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，全等三角形的判定，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．29．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）在矩形中， AB=10，BC=6，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为边上一点．①如图1，当点落在边上时，直接写出此时　　；②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；(2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．【答案】(1)①2；②BC＝2BP，见解析(2)BP＝10或30【分析】（1）①利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC，进而得BC＝2BP；（2）由△PEC是直角三角形，∠EPC=90°时，这时四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．（1）解：①如图：点E为折叠后的点B的对应点∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°，∴，∴CE=DC-DE=10-8=2；故答案为：2； ②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CEAP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP；（2）∵△PEC是直角三角形当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝10； 当∠ECP＝90°时，则∠ECP=∠B=90°，∴，∵，∴点E、D、C三点共线，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30；当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质、正方形的判定、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．30．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；(2)请思考并解决小明提出的两个问题：问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？【答案】(1)①②都正确，证明见解析(2)问题1：1.5；问题2：【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进而可得MN的最小值为．（1）解：①②都正确，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∵∠B＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，∴∠GER＝∠GFT，在△GER和△GFT中，，∴△GER≌△GFT（AAS），∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图： 由（1）可知，GR＝GT，又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°∴四边形RBTG是正方形，∴∠GBF＝45°，∴BG＝GT，∴当GT最大时，BG最大，在Rt△GFT中，GF≥GT，∴当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图： ∵四边形RBTG是正方形，∴BG＝RT＝EF＝1.5，∴BG最大值为1.5，故答案为：1.5；问题2：如图，延长NG交AB于P，∵ABCD，GN⊥CD，∴GP⊥AB，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，∵2（a−1）2≥0，∴MN2有最小值2，∴MN的最小值为．【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．