北师大版八年级数学下册 专题1.2 等边三角形-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

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专题1.2 等边三角形-重难点题型【北师大版】【知识点1 等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】 【例1】（2023秋•赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数．【变式1-1】（2023秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．【变式1-2】（2023秋•肥东县期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．（1）求∠EFB的度数；（2）求证：DE＝2DF．【变式1-3】（2023秋•郑州期末）如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝　 　；（2）如图2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝　 　；（3）如图3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM的度数，请借助图3填空．解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°，所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°，因为OM平分∠BOC，所以∠MOC＝　 　∠BOC＝　 　（用α表示），因为△COD为等边三角形，所以∠DOC＝60°，所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝　 　（用α表示）．（4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM的度数．（用β来表示，无需说明理由）【题型2 等边三角形的性质（规律问题）】【例2】（2023春•渠县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）A．16 B．32 C．64 D．128【变式2-1】（2023秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　　．【变式2-2】如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为　 　．（n≥2，且n为整数）【变式2-3】（2023秋•汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2023，1）的是点　 　．【题型3 等边三角形的性质（动点问题）】【例3】（2023春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【变式3-1】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．【变式3-2】（2023春•市中区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3-3】（2023秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【题型4 等边三角形的判定】【例4】（2023秋•渑池县期末）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【变式4-1】 （2023春•平川区校级期末）下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为120°③一边上的高也是这边所对的角的平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-2】（2023春•福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式4-3】（2023春•文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【题型5 等边三角形的判定与性质综合】【例5】（2023秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【变式5-1】（2023秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【变式5-2】（2023秋•浦城县期中）如图，△ABC是等边三角形．（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．【变式5-3】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【题型6 等边三角形中的多结论问题）】【例6】（2023春•武侯区校级期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式6-1】（2023春•靖边县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式6-2】（2023秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（　　）①∠DCB＝∠B；②CDAB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式6-3】（2023秋•遂宁期末）如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）专题1.2 等边三角形-重难点题型【北师大版】【知识点1 等边三角形】（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【题型1 等边三角形的性质（角度问题）】 【例1】（2023秋•赫山区期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数．【解题思路】依据等边三角形三线合一的性质，即可得到AD垂直平分BC；利用垂直平分线的性质即可得到EC＝EB，进而得到∠ECD的度数；再根据角的和差关系即可得出结论．【解答过程】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，又∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°．【变式1-1】（2023秋•河东区期中）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．【解题思路】根据BM＝CN可得CM＝AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA＝∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM＝∠ACB＝60°，即可解题．【解答过程】证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，∴∠AQN＝∠ACB，∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．【变式1-2】（2023秋•肥东县期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F．（1）求∠EFB的度数；（2）求证：DE＝2DF．【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．【解答过程】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝CDAC，∵CEBC，∴CD＝CE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∵∠B＝60°，∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°；（2）证明：连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD∠ABC＝30°，∵∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴DE＝BD，∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2DF，即DE＝2DF．【变式1-3】（2023秋•郑州期末）如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC．（1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝　15°　；（2）如图2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝　50°　；（3）如图3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM的度数，请借助图3填空．解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°，所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°，因为OM平分∠BOC，所以∠MOC＝　　∠BOC＝　60°　（用α表示），因为△COD为等边三角形，所以∠DOC＝60°，所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝　　（用α表示）．（4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM的度数．（用β来表示，无需说明理由）【解题思路】（1）首先求出∠BOC＝90°，利用角平分线可得∠COM＝45°，再利用角的和差可得答案；（2）同（1）的思路；（3）首先求出∠BOC＝α﹣120°，利用角平分线可得∠COM60°，再利用角的和差可得答案；（4）根据（3）的思路可得答案．【解答过程】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠AOB＝120°，∴∠BOC＝120°﹣30°＝90°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝90°÷2＝45°，∴∠MOD＝60°﹣45°＝15°．故答案为：15°．（2）∵∠AOC＝100°，∠AOB＝120°，∴∠BOC＝120°﹣100°＝20°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝20°÷2＝10°，∴∠MOD＝60°﹣10°＝50°．故答案为：50°．（3）解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°，所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°，因为OM平分∠BOC，所以∠MOC∠BOC60°（用α表示），因为△COD为等边三角形，所以∠DOC＝60°，所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC（用α表示）．故答案为：，60°，．（4）当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，∠DOM．因为∠AOC＝β，∠AOB＝120°，所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝β﹣120°，因为OM平分∠BOC，所以∠MOC∠BOC60°，因为△COD为等边三角形，所以∠DOC＝60°，所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC．【题型2 等边三角形的性质（规律问题）】【例2】（2023春•渠县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）A．16 B．32 C．64 D．128【解题思路】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解．【解答过程】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，∴∠A1B1O＝∠MON，∴A1B1＝OA1，∴A1B1＝A1A2＝OA1，同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1，…∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，故选：C．【变式2-1】（2023秋•新化县期末）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　2n﹣1　．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．故答案是：2n﹣1．【变式2-2】如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为　　．（n≥2，且n为整数）【分析】根据等边三角形的性质分别求出△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长即可解决问题．【解答】解：∵等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，∴A1D1＝D1C2，∴△A2C2C3的周长△A1C1C2的周长，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长分别为1，，，…，，∴△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为1．故答案为．【变式2-3】（2023秋•汉阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2023，1）的是点　A，C　．【解题思路】先作直线y＝1，以C为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点A、B经过点（2，1），同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论．【解答过程】解：由题意可知：第一次滚动：点A、B经过点（2，1），第二次滚动：点B、C经过点（3，1），第三次滚动：点A、C经过点（4，1），第四次滚动：点A、B经过点（5，1），…发现，每三次一循环，所以（2023﹣1）÷3＝673，∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2023，1）的是点A、C，故答案为：A，C．【题型3 等边三角形的性质（动点问题）】【例3】（2023春•渭滨区期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答过程】解：（1）由题意，t×1+12＝2t，解得：t＝12，∴当t＝12时，M，N两点重合，此时两点在点C处重合；（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，∵CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．【变式3-1】如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为：t（s），当t＝2时，判断△BQP的形状，并说明理由．【解题思路】当t＝2时，可分别计算出BP、BQ的长，再根据∠B＝60°对△BPQ的形状进行判断即可．【解答过程】解：△BPQ是等边三角形，当t＝2时，AP＝2×1＝2，BQ＝2×2＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4，∴BQ＝BP，又∵∠B＝60°，∴△BPQ是等边三角形．【变式3-2】（2023春•市中区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【解题思路】（1）由三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到AB＝BC＝9cm，由P的速度和时间t表示出P走过的路程CP的长，然后用边长BC减去CP即可表示出BP；由Q的速度及时间t，即可表示出Q走过的路程BQ；（2）若△PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB＝BQ，由（1）表示出的代数式代入即可列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于Q的速度大于P的速度，即Q要追及上P，题意可知两点相距AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比P多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的路程﹣P运动的路程＝18列出关于t的方程，求出方程的解即可求出满足题意的t的值，然后由求出t的值计算出P运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出P的位置即为第一次相遇的位置．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴CP＝2t，则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴BQ＝5t；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t，所以当ts时，△PBQ为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t﹣2t＝18，解得t＝6，则6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇．【变式3-3】（2023秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【解题思路】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答过程】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵△AMN是等边三角形，∴t＝10﹣2t，解得t，∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，y﹣10＝30﹣2y，解得：y．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．【题型4 等边三角形的判定】【例4】（2023秋•渑池县期末）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【解题思路】根据等边三角形的判定判断．【解答过程】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；②这是等边三角形的判定2，故正确；③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．所以都正确．故选：D．【变式4-1】 （2023春•平川区校级期末）下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为120°③一边上的高也是这边所对的角的平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】根据等边三角形的判定定理、三角形的外角的概念、三角形的面积公式判断即可．【解答过程】解：三个内角都相等的三角形是等边三角形；有两个外角为120°，则两个内角都是60°，∴这个三角形是等边三角形；一边上的高也是这边所对的角的平分线的三角形是等腰三角形；根据三角形的面积公式可知，三条边上的高相等的三角形是等边三角形，故选：B．【变式4-2】（2023春•福山区期末）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答过程】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【变式4-3】（2023春•文登区期末）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【解题思路】如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形，由此即可得结论【解答过程】解：如图在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠POF＝60°，∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF是等边三角形，∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN，在△PEM和△PON中，，∴△PEM≌△PON（ASA）．∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，∴△PNM是等边三角形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．【题型5 等边三角形的判定与性质综合】【例5】（2023秋•松桃县期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【解答过程】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．【变式5-1】（2023秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【解题思路】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．【解答过程】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．【变式5-2】（2023秋•浦城县期中）如图，△ABC是等边三角形．（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，根据平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可；（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE即可证明．【解答过程】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴△ADE是等边三角形；（2）解：AE+CE＝BE．∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∴BE＝BD+DE＝AE+CE，CE＝BD＝DE，∴∠EBC＝30°，∴∠BEC＝60°．【变式5-3】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【解题思路】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【解答过程】（1）证明：连接BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．【题型6 等边三角形中的多结论问题）】【例6】（2023春•武侯区校级期末）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解题思路】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答过程】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．【变式6-1】（2023春•靖边县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，得FE＝FD，即可求解，故①正确；由题意，∠C＝60°，易得∠C＝∠CFG＝60°，得△CFG一定为等边三角形，故②正确；∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，得△FDC不可能为等腰三角形，故③错误；【解答过程】解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；故选：C．【变式6-2】（2023秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（　　）①∠DCB＝∠B；②CDAB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【解题思路】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CDAB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答过程】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CDAB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【变式6-3】（2023秋•遂宁期末）如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　①②④　．（填序号）【解题思路】先利用旋转的性质得到AB＝AC，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，则∠EAC＝∠BAD＝60°，再计算出∠DAC＝30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA＝EC，加上DA＝DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对③进行判断，利用等边三角形的判定判断即可．【解答过程】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，∴AB＝AC，AC＝AE，∠BAC＝∠EAC，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD＝∠ADB＝60°，∴∠EAC＝∠BAD＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确；∵AC＝AE，∠EAC＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴EA＝EC，而DA＝DC，∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；∴DE⊥AC，∵AB⊥AC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠AEB≠∠BED，∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误；在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，由旋转知，AB＝AD∴△ABD为等边三角形，故④正确；故答案为：①②④．