2023-2024学年广东省潮州市潮安区八年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省潮州市潮安区八年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式1x+4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠−4B. x≠0C. x≠4D. x>−4
2.点(2,−8)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (2,8)B. (−2,8)C. (−2,−8)D. (2,−8)
3.如图，点E、H、G、N共线，∠E=∠N，EF=NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是( )
A. EH=NGB. ∠F=∠MC. FG=MHD. FG/​/HM
4.若三角形的三边长分别是4、9、a，则a的取值可能是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.下列四个等式，正确的是( )
A. 3a3⋅2a2=6a6B. 3x2⋅4x2=12x2C. 2x2⋅3x2=6x4D. 5y3⋅3y5=15y15
6.计算2x2−4÷1x2−2x的结果为( )
A. xx+2B. 2xx+2C. 2xx−2D. 2x(x+2)
7.如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
8.如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD=5，CD=9，则CE的长为( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,1)，B(−3,2)，点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C有( )
A. 4个B. 5个C. 7个D. 8个
10.如图，△ABC中，点D在BC上，∠ACB=75°，∠BAC=∠ADC=60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G.DC=m，AF=n，则线段EG的长为( )
A. 12n−14mB. 12n+14mC. 12n−12mD. 12n+12m
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若x2−ax+4是完全平方式，则a的值是______．
12.已知一个正多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是______．
13.数0.000301用科学记数法表示为______．
14.若10a=3，10b=2，则102a−b=______．
15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0,3)，点B坐标(4,0)，AB=5，∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
因式分解：−2xy−x2−y2．
17.(本小题8分)
解分式方程：x+32x−6=xx−3+2．
18.(本小题8分)
如图，D是Rt△ABC斜边BC上的一点，连接AD，将△ACD沿AD翻折得△AFD.恰有AF⊥BC．
(1)若∠C=35°，∠BAF=______；
(2)试判断△ABD的形状，并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)在第一象限的格点(网格线的交点)上找一点D( ， )，使得S△ACB=S△ACD．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(2a−12aa+2)÷a−4a2+4a+4，其中a=2．
21.(本小题8分)
为了增强体质，某学校组织徒步活动.两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早16小时到达目的地．
(1)求两个小组的速度分别是多少？
(2)假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m(m>1)小时，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的1.2倍还要多12小时，是否存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2倍？请说明理由．
22.(本小题8分)
请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和(只需表示，不必化简)
(2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
(3)如果图中的a，b(a>b)满足a2+b2=53，ab=14．
求：①a+b的值；
②a2−b2的值．
23.(本小题8分)
如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．
(1)如图1，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠AOB=120°，∠MPN=60°，求证：OP=OM+ON．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，射线AD⊥BC于点D．
(1)如图1，求∠BAD的度数；
(2)若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，AE=CF，连接BE，BF．
①如图2，连接EF，当EF/​/BC时，求∠EBD的度数；
②如图3，当BE+BF最小时，求证：∠ABF=∠DBE．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵分式1x+4在实数范围内有意义，
∴x+4≠0，
解得：x≠−4，
故选：A．
直接利用分式有意义的条件得出答案．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分式的分母不为零是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：点(2,−8)关于x轴对称的点的坐标为：(2,8)．
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．根据三角形全等的判定方法即可求解．
【解答】
解：在△EFG与△NMH中，已知∠E=∠N，EF=NM，
A.由EH=NG可得EG=NH，所以添加条件EH=NG，根据“SAS”可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B.添加条件∠F=∠M，根据“ASA”可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C.添加条件FG=MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D.由FG/​/HM可得∠EGF=∠NHM，所以添加条件FG/​/HM，根据“AAS”可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：∵三角形的三边长分别是4、9、a，
∴9−4故选：D．
根据三角形三边之间的关系即可进行解答．
本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解本题的关键．
各项利用同底数幂的乘法法则计算，即可作出判断．
【解答】
解：A、3a3⋅2a2=6a5，本选项错误；
B、3x2⋅4x2=12x4，本选项错误；
C、2x2⋅3x2=6x4，本选项正确；
D、5y3⋅3y5=15y8，本选项错误．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：原式2x2−4÷1x2−2x
=2(x+2)(x−2)÷1x(x−2)
=2(x+2)(x−2)·x(x−2)
=2xx+2．
故选：B．
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式．
7.【答案】D
【解析】【分析】
考查了全等三角形的判定，关键是根据三边对应相等的两个三角形全等(SSS)这一判定定理．利用三角形全等的判定证明．
【解答】
解：从角平分线的作法得出，
△AFD与△AED的三边全部相等，
则△AFD≌△AED(SSS)．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：∵BD=5，CD=9，
∴BC=BD+CD=14，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE=BE=12BC=7，
故选：C．
先求出BC=14，再根据三角形中线的定义可得EC=BE=7．
本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰、以AC、BC为腰或以BC、AB为腰．则满足条件的点C可求．
解：如图所示：
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】此题考查学生掌握三角形全等的证明方法，灵活运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半化简求值，是一道综合题．
利用证明△AFG≌△CFD可得CF=AF=n，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得FG=DF=12DC=12m，进而可求CG=CF−FG=n−12m，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求解．
解：∵∠ACB=75°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=45°．
∵∠ADC=60°，
∴∠ADB=180°−∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠ADB−∠ACB=120°−75°=45°．
又∵CF⊥AD，
∴∠AFC=∠CFD=90°，∠ACF=∠DAC=45°，
∴AF=CF．
∵CF⊥AD，AE⊥BC，
∴∠CDF+∠DCF=∠CGE+∠DCF=90°，
∴∠CDF=∠CGE．
又∵∠CGE=∠AGF，
∴∠AGF=∠CDF．
∵在△AFG和△CFD中，
∠AFC=∠CFD,∠AGF=∠CDF,AF=CF,
∴△AFG≌△CFD(AAS)，
∴CF=AF=n，FG=DF．
在Rt△CFD中，∠CFD=90°，∠ADC=60°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=12CD=12m，
∴FG=DF=12m，
∴CG=CF−FG=n−12m.
在Rt△CGE中，∠AEC=90°，∠FCD=30°，
∴EG=12CG=12n−14m．
故选：A．
11.【答案】±4
【解析】解：∵x2−ax+4是完全平方式，
∴−ax=±2⋅x⋅2，
解得a=±4．
故答案为：±4．
根据完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个解答即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5，
故答案为：5．
根据n边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，由此列方程求n．
本题考查了多边形外角与内角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
13.【答案】3.01×10−4
【解析】解：0.000301=3.01×10−4．
故答案为：3.01×10−4
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】92
【解析】解：当10a=3，10b=2时，
102a−b
=102a÷10b
=(10a)2÷10b
=32÷2
=9÷2
=92，
故答案为：92．
利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15.【答案】125
【解析】解：在AB上取一点G，使AG=AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，
∵∠CAO=∠BAC，AP=AP，
∴△APQ≌△APG(SAS)，
∴PQ=PG，
∴OP+PQ=OP+PG，
∵点O到直线AB上垂线段最短，
∴OP+PG最小值为OH的长度，
∵S△ABC=12AB⋅OH=12AO⋅BO，
∴OH=AO⋅BOAB=3×45=125，
∴OP+PQ的最小值为125，
故答案为：125．
利用角平分线构造全等，将OP+PQ转化为OP+PG，则OP+PG最小值为OH的长度，利用等面积求出OH即可．
本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质、等面积法，解决此题的关键是构造△APQ≌△APG，将OP+PQ转化为OP+PG．
16.【答案】解：原式=−(x2+y2+2xy)
=−(x+y)2．
【解析】原式提取−1，利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】解：x+32x−6=xx−3+2，
x+3=2x+2(2x−6)，
x+3=2x+4x−12，
−5x=−15，
x=3，
把x=3代入2x−6=0，
∴x=3不是原方程的解，应舍去，
∴原方程无解．
【解析】根据解分式方程的步骤解方程即可，注意要检根．
本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检根．
18.【答案】35°
【解析】解：(1)∵∠BAC=90°，
∴∠CAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠C+∠CAF=90°，
∴∠BAF=∠C=35°；
故答案为：35°；
(2)△ABD是等腰三角形．
理由：由(1)可知∠C=∠BAF，
∵将△ACD沿AD翻折得△AFD．
∴∠CAD=∠FAD，
∵∠ADB=∠C+∠CAD，∠DAB=∠DAF+∠BAF，
∴∠ADB=∠BAD，
∴AB=BD，
∴△ABD是等腰三角形．
(1)由直角三角形的性质可得出答案；
(2)由折叠的性质得出∠CAD=∠FAD，证出∠ADB=∠BAD，由等腰三角形的判定可得出结论．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)2，1．
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
(1)描出对应点A1、B1、C1的位置，连线即可；
(2)过A，B两点作x轴的垂线，过C点作y轴的垂线交于E，F两点，先得到∠BCA=90°，然后利用轴对称找到点D，写出坐标即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图，过A，B两点作x轴的垂线，过C点作y轴的垂线交于E，F两点，
则AE=CF=3，∠BFC=∠AEC=90°，CE=BF=2，
在△AEC和△CFB中，
AE=CF∠AEC=∠BFCCE=BF,
∴△AEC≌△CFB，
∴∠EAC=∠FCB，
∴∠BCA=∠FCB+∠ECA=∠EAC+∠ECA=90°，
即要使得S△ACB=S△ACD，则B，D两点关于AC对称，
即点D的坐标为(2,1)，
故答案为：2，1．
20.【答案】解：(2a−12aa+2)÷a−4a2+4a+4
=2a(a+2)−12aa+2÷a−4(a+2)2
=2a2−8aa+2·(a+2)2a−4
=2a(a−4)a+2·(a+2)2a−4
=2a(a+2)
=2a2+4a，
当a=2时，
原式=2×22+4×2
=8+8
=16．
【解析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
21.【答案】解：(1)设第二小组的速度是x千米/h，
根据题意，得31.2x+16=3x，
解得x=3，
经检验，x=3是原方程的根且符合题意，
3×1.2=3.6(千米/h)，
答：第一小组的速度是3.6千米/h，第二小组的速度是3千米/h；
(2)不存在，理由如下：
根据题意，得am=a1.2m+12×2，
解得m=58，
经检验，m=58是原方程的根，
∵m>1，
∴m=58不符合题意，
∴不存在满足条件的m．
【解析】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
(1)设第二小组的速度是x千米/h，根据第一小组比第二小组提早16小时到达目的地，列分式方程，求解即可；
(2)根据第一小组的速度是第二小组速度的2倍，列分式方程，求出m的值，再根据m的取值范围即可判断．
22.【答案】解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2(a+b)2−2ab，
(2)a2+b2=(a+b)2−2ab，
(3)①∵a2+b2=53，ab=14，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=53+2×14=81，
∴a+b=±9，
又∵a>0，b>0，
∴a+b=9．
②∵(a−b)2=a2+b2−2ab=53−2×14=25
∴a−b=±5
又∵a>b>0，
∴a−b=5
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=9×5=45．
【解析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，由面积的关系结合平方差公式解题是关键．
(1)由图形面积的整体和部分求和角度两方面求法，可得此题结果
(2)由(1)易得结论；
(3)①(a+b)2由已知可得：=a2+b2+2ab=53+2×14=81，再结合a、b的范围即可求解；②(a−b)2=a2+b2−2ab=53−2×14=25a−b=5再结合a、b的范围即可．
23.【答案】(1)解：PM=PN，理由如下：
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠AOB=90°，∠MPN=90°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PMO+∠PMA=180°，
∴∠PMA=∠PNO，
∴在△PEM和△PFN中，
∠PME=∠PNF∠PEM=∠PFNPE=PF，
∴△PEM≌△PFN(AAS)，
∴PM=PN；
(2)证明：过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，如图所示：
∵OC平分∠AOB，
∴PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，
∵∠AOB=120°，∠MPN=60°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PNO+∠PNF=180°，
∴∠PMO=∠PNF，
在△PME和△PNF中，
∠PME=∠PNF∠PEM=∠PFNPE=PF,
∴△PME≌△PNF(AAS)，
∴EM=FN，
∵∠AOB=120°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠EPO=∠FPO=30°，
∴OP=2OE，OP=2OF，
∴OE=OF，
∴OP=OE+OF=OM−ME+ON+NF=OM+ON．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
(1)根据角平分线的性质可得PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，再根据∠AOB=90°，∠MPN=90°，可得∠PMO+∠PNO=180°，进一步可得∠PMA=∠PNO，可证△PEM≌△PFN(AAS)，根据全等三角形的性质即可证明PM=PN；
(2)过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，根据角平分线的性质可得PE=PF，∠PEM=∠PFN=90°，可证△PME≌△PNF(AAS)，可得EM=FN，再根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=2OE，OP=2OF，进一步可证OP=OE+OF=OM+ON．
24.【答案】(1)解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=12∠BAC=45°；
(2)解：①延长FE交AB于点G，如图所示：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=12×90°=45°，
∵EF/​/BC，
∴∠AGF=∠ABC=45°，∠AFG=∠ACB=45°，
∴∠AGF=∠AFG，
∴AG=AF，
∴AB−AG=AC−AF，
∴BG=CF，
∵∠AGE=∠GAE=45°，
∴AE=GE，
∵AE=CF，
∴BG=GE，
∴∠GBE=∠GEB，
∵EF/​/BC，
∴∠GEB=∠EBD，
∴∠GBE=∠EBD，
∵∠GBE+∠EBD=45°，
∴∠EBD=22.5°；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG=AB，如图所示：
∵∠BCG=90°，∠BCA=45°，
∴∠ACG=45°，
∵∠BAD=45°，
∴∠ACG=∠BAD，
在△ABE和△CGF中，
AB=CG∠BAE=∠GCFAE=CF,
∴△ABE≌△CGF(SAS)，
∴BE=GF，
∴BE+BF=BF+FG，
∴B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，如图所示：
∵△ABE≌△CGF，
∴∠AEB=∠CFG，
∵∠AFH=∠CFG，
∴∠AEB=∠AFH，
∵∠BHE=∠AHF，
又∵∠HBE+∠BEH+∠BHE=180°，∠AHF+∠AFH+∠HAF=180°，
∴∠HBE=∠HAF，
∵∠HAF=12∠BAC=45°，
∴∠HBE=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HBE，
∴∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠DBE，
∴∠ABF=∠DBE．
【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
(1)根据等腰三角形三线合一进行解答即可；
(2)①根据等腰三角形的性质，得出AG=AF，得出BG=CF，根据等腰三角形的判定得出AE=GE，即可证明BG=GE，得出∠GBE=∠GEB，根据平行线的性质得出∠GEB=∠EBD，证明∠GBE=∠EBD，根据∠GBE+∠EBD=45°即可得出答案；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG=AB，证明△ABE≌△CGF，得出BE=GF，从而得出BE+BF=BF+FG，B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，证明∠HBE=∠HAF，得出∠HBE=45°，证明∠ABD=∠HBE，得出∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠DBE，即可证明结论．