浙江省温州市瓯海区瓯海区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

这是一份浙江省温州市瓯海区瓯海区实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共30分）
1. 以下列各组数作为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 6，8，11C. 1，1，D. 5，12，23
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，故不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，故是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2. 如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设三角形的第三边长是，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：设三角形的第三边长是，
，
，
第三边长为偶数，
的最大值为，
周长最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 3. 如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：点是边的中点，的面积等于，
，
是的中点，
，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
4. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，
，
故选项错误，不符合题意；
B、，
，
故选项正确，符合题意；
C、，
，
故选项错误，不符合题意；
D、，
，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5. 如图，点，，在同一直线上，，，，则的长为（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点，，在同一直线上，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6. 如图，中，，，是边的垂直平分线，垂足为D，交边于点E，连接，则的周长为（ ）

A. 16B. 15C. 13D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以得到，根据三角形的周长定义，可知的周长，由此可以得到答案.
【详解】解：∵在中，是的垂直平分线，
∴，
∴的周长.
故选D.
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
7. 的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）

A. M点B. N点C. P点D. Q点
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8. 在中，已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系求解．
【详解】解：在中，，，
，
，即．
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
9. 如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确是（ ）

A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】当时，过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出，再根据不同的角度求出，根据即可判断A、B、C；当时，利用勾股定理即可判断D．
【详解】解：当时，过点E作于H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
当时，则，
∵，
∴，故A不符合题意；
当时，则，
∴，
∵，
∴，故B不符合题意；
当时，则，
∴，
∴
∵，
∴，故C不符合；

当时，则，即，故D符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10. 如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】在上截取，利用证明，利用证明即可得，延长使，连接，根据得四边形是平行四边形，则，，，根据得，则，利用证明，得，则，，即可判断②④，根据题意无法证明与相等，故③错误，即可得．
【详解】解：如图所示，在上截取，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
故①正确；
如图所示，延长使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②④正确；
根据题意无法证明与相等，
故③错误，
综上，①②④正确
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握这些知识点，适当添加辅助线．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 盖房子的时候，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条的根据是____．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是_____________
【答案】##
【解析】
【分析】由把未知数的系数化“1”时，不等号的方向改变可得，从而可得答案．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用不等式的性质解不等式，理解把未知数的系数化“1”时，不等号的方向问题是解本题的关键．
13. 如图，在中，，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用直角三角形的特征及含所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的特征，熟练掌握含所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14. 如图，若，且，则________．

【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，已知中，，是的中点，，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半进行求解即可．
【详解】解：∵中，，是的中点，，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半是解题的关键．
16. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是___________

【答案】（或或或）．
【解析】
【分析】根据平行线性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明．
【详解】解：∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）．
故答案为：（或或或）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，以点为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长是_______．

【答案】
【解析】
【分析】，根据即可求解．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题．注意计算的准确性．
18. 如图，在，，，，在的同侧，分别以，，为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】结合图形，可得阴影部分的面积为以，为直径的半圆之和加上的面积减去以为直径的半圆面积，即可解答．
【详解】解：，，，
，
结合图形，可得阴影部分面积为，
,
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆的面积公式，观察图形，得到阴影部分的面积为以，为直径的半圆之和加上的面积减去以为直径的半圆面积是解体的关键．
三、解答题（46分）
19. 已知：如图，点A，D，C，F在同一直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】可证，用即可求证．
【详解】证明： ，
，
在和中，
，
（）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键．
20. 如图，是的边上一点，，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得，，再由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得得，由即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，
，，
在和中，
，
；
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
，
，
即的长是3．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21. 如图，在等边中，点是线段上一点．作射线，点关于射线的对称点为．连接并延长，交射线于点．

（1）根据题意，补全图形；
（2）设，求的度数用表示；
（3）用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）依照题意画出图形即可；
（2）根据，求出即可；
（3）结论：，如图，作交于点，连接，证明即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：连接，

点关于射线的对称点为，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：结论：，
证明：如图，作交于点，连接，

，
，
等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
点关于射线的对称点为，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22. （1）操作实践：中，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；要求用两种不同的分割方法

（2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值；以下为备用图

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？请你至少写出两种不同情况的条件,无需证明
【答案】（1）见解析；（2）见解析，或或或；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先对角分类讨论，为等腰三角形的顶角时；为等腰三角形的底角时；利用三角形内角和及外角定理推出另一个等腰三角形中的内角度数再进行顶角和底角的分类讨论．
根据（1）（2）中的图形总结即可．
【详解】解：如图所示：

方法一：两个底角的度数分别为：；方法二：两个底角的度数分别为：；
设分割线为，相应用的角度如图所示：

图的最大角，图的最大角，
图的最大角，图的最大角，
故的最大内角可能值是或或或；
若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
该三角形直角三角形；
该三角形有一个角是最小角的倍；
该三角形有一个角是其中一个角的倍．
【点睛】此题主要考查作图——应用与设计作图及等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想，是一道可以体现从性质到应用的好题．
23. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识 ；（写出一个即可）
（3）任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．
【答案】（1）河流的宽度为
（2）相似三角形的对应边成比例（答案不唯一）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长；
（2）任务二：根据相似三角形的性质进行作答即可；
（3）任务三：可以利用全等性质来测量．
【小问1详解】
解：由题知，
∴，
又，，，
∴，
解得．
故河流的宽度为；
【小问2详解】
解：本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：如图：

在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面B的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达C处，继续向东行走到D处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与A、C共线时停下，位置记为E，
因为，，，
所以，
即，
这时的长度即表示河流的宽度．
【点睛】本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
24. 课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．

生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______．
问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．
①填空：____________．
②若，求的度数．
结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．

【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解；
（2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解；
②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解；
（3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解．
【详解】解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，
∴它的两个锐角都是；
故答案为：．
（2）①根据旋转可得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：．
②∵等腰直角三角形中，，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
（3）当在上时，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
当在的延长线上时，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
当在的延长线上，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．题目
测量河流宽度AB
目标示意图

测量数据
，，