沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题07 一元二次方程的应用（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)

这是一份沪科版八年级数学下学期核心考点精讲精练 专题07 一元二次方程的应用（知识点考点串编）-【专题重点突破】(原卷版+解析)，共44页。
【思维导图】
©知识点一：传播问题
技巧：公式(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·甘肃麦积·九年级期末）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，假设每轮传染的人数相同，则每轮传染中平均每个人传染了几个人（ ）
A．12B．14C．10D．11
练习1．（2022·福建福清·九年级期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习2．（2022·湖北黄石·九年级期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染，若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
©知识点二：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
例．（2021·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）据统计， 2019年山东省高考报名人数是75.6万余人，2021年高考报名人数达到了79.5万余人．设2019年至2021年山东省的高考报名人数的年平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C．D．
练习1．（2021·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）某种药品原价100元，连续两次降价后售价是81元，设平均每次降价的百分率为x，下列方程正确的是（ ）
A． B． C．D．
练习2．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）2018年我校一本上线280人，2020年一本上线410人，设平均每年一本上线人数的增长率为x，依题意列方程为（ ）
A．280（1+2x）＝410 B．280（1+x）2＝410 C．400（1+x）2＝280D．400（1+2x）＝280
练习3．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20(1+x)2＝8 B．8(1+x)2＝20C．20(1﹣x)2＝8D．8(1﹣x)2＝20
©知识点三：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！
例．（2022·四川自贡·九年级期末）将一个正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成的无盖盒子容积为，则原铁皮的边长为（ ）
A．12cmB．14cmC．16cmD．18cm
练习1．（2019·河南·许昌市第一中学九年级期中）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2，设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣40＝0B．x2﹣3x﹣38＝0C．x2＋3x﹣40＝0D．x2＋3x﹣40＝0
练习2．（2021·福建省福州第十六中学九年级期中）如图，在长100m，宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为．设道路的宽为xm，则x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
练习3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
B．
C．D．
©知识点四：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！
例．（2022·全国·九年级）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A． B． C．D．
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
练习2．（2021·湖南·会同县教学研究室九年级期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）
A．24B．35C．42D．53
练习3形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225D．(x+8)(x﹣8)=225
©知识点五：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量
总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2021·江苏昆山·九年级期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000 B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000 D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000
练习1．（2021·山东·平原县江山国际学校九年级阶段练习）某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408 B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408 D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
练习2．（2021·辽宁·沈阳市第三十三中学九年级阶段练习）某服装店五月份推出春装优惠活动．普通顾客打x折，VIP贵宾在打x折的基础上再打x折．已知一件原价500元的春装，VIP贵宾在优惠后实际仅需付320元，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
练习3．（2021·全国·九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
©知识点六：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！
例．（2021·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
A．1.5B．2C．3或者1.5D．以上答案都不对
练习1．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
练习2．（2019·河北丰南·九年级期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒或秒
练习3．（2020·河南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
©知识点七：工程问题
例．（2022·云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
练习2．（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
练习3．（2021·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
©知识点八：行程问题
例．（2021·全国·九年级专题练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
练习2．（2021·江苏·九年级专题练习）从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
练习3．（2021·江苏·九年级专题练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
©知识点九：图标信息题
例．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
练习1．（2019·浙江绍兴·八年级期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
练习2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题：
（1）该月小王手机话费共有________元．
（2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？
练习3．（2018·贵州遵义·九年级阶段练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
根据上表数据，求规定用水量a的值．
结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
©知识点十：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
技巧：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1).
例．（2021·湖北·荆州市荆南中学九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．
（1）若参加聚会的人数为6，则共握手 次，若参加聚会的人数为n （n为正整数），则共握手 次；
（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数？
练习1．（2019·江西定南·九年级期中）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛72场比赛，共有多少个队参加比赛．
练习2．（2022·湖北老河口·九年级期末）参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
练习3．（2020·全国·九年级课时练习）某象棋比赛，每名选手都要与其他选手比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分．有四位观众统计了比赛中全部选手得分总数，分别是2017，2070，2018，2078，经核实，只有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？
月份
用水量（吨）
交费总数（元）
7
140
264
8
95
152
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
专题07 一元二次方程的应用
【思维导图】
©知识点一：传播问题
技巧：公式(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
例．（2022·甘肃麦积·九年级期末）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，假设每轮传染的人数相同，则每轮传染中平均每个人传染了几个人（ ）
A．12B．14C．10D．11
【答案】A
【解析】
【分析】
设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，
依题意得：1+x+x（1+x）=169，
解得：x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
练习1．（2022·福建福清·九年级期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：第一轮后被感染的动物的数量为，第二轮后被感染的动物的数量为
则列方程为，
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键．
练习2．（2022·湖北黄石·九年级期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染，若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为（3+3x）只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：所列方程为，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键．
练习3．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出每轮传染的人数，再根据“经过两轮传染后共有169个人患了新冠”建立方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意，第一轮会有人被传染，
第二轮会有人被传染，
则，
解得或（不符题意，舍去），
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
©知识点二：平均增长率问题
技巧：b=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , b为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
例．（2021·山东·日照市岚山区教学研究室八年级期末）据统计， 2019年山东省高考报名人数是75.6万余人，2021年高考报名人数达到了79.5万余人．设2019年至2021年山东省的高考报名人数的年平均增长率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知2020年高考人数为万余人，2021年高考人数为万余人，列方程即可．
【详解】
解：由题意知2020年高考人数为万余人，2021年高考人数为万余人
∴
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程．
练习1．（2021·黑龙江·牡丹江四中九年级阶段练习）某种药品原价100元，连续两次降价后售价是81元，设平均每次降价的百分率为x，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设平均每次的降价率为，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得方程．
【详解】
解：由题意得：，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查求平均变化率的方法，解题的关键是掌握若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
练习2．（2020·湖南·娄底市第三中学九年级阶段练习）2018年我校一本上线280人，2020年一本上线410人，设平均每年一本上线人数的增长率为x，依题意列方程为（ ）
A．280（1+2x）＝410B．280（1+x）2＝410
C．400（1+x）2＝280D．400（1+2x）＝280
【答案】B
【解析】
【分析】
一般用增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），2019年一本上线人数为280（1+x），2020年一本上线人数为280（1+x）（1+x），即可列出方程．
【详解】
解：设平均每年一本上线人数的增长率为x，依题意列方程为280（1+x）2＝410．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程在实际问题中的运用，理解增长率的概念是列方程的关键．
练习3．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）某商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，设平均降价率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．20(1+x)2＝8B．8(1+x)2＝20
C．20(1﹣x)2＝8D．8(1﹣x)2＝20
【答案】C
【解析】
【分析】
设平均降价率为x，根据降价商品原价为20元，连续两次降价后售价为8元，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】
解：设平均降价率为x，
根据题意，可列方程为20（1-x）2=8．
故选择C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次关键知道降价前和降价后的价格，列方程求解．
©知识点三：形积问题
技巧：根据图形的性质和面积公式，联系一元二次方程的根，注意涉及到面积的和差，切勿混淆！
例．（2022·四川自贡·九年级期末）将一个正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成的无盖盒子容积为，则原铁皮的边长为（ ）
A．12cmB．14cmC．16cmD．18cm
【答案】D
【解析】
【分析】
正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-4×2）厘米，高为4厘米，根据题意列方程，解方程求解即可
【详解】
解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-4×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，
（x-4×2）（x-4×2）×4=400，
解得=18， =-2（不合题意，舍去）；
答：正方形铁皮的边长应是18cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
练习1．（2019·河南·许昌市第一中学九年级期中）某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2，设原正方形空地的边长为xm，则下列方程正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣40＝0B．x2﹣3x﹣38＝0C．x2＋3x﹣40＝0D．x2＋3x﹣40＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
设原正方形空地的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m，根据长方形的面积公式可列出方程．
【详解】
解：设原正方形空地的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）＝4×10，
化简得：x2﹣3x﹣38＝0．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
练习2．（2021·福建省福州第十六中学九年级期中）如图，在长100m，宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为．设道路的宽为xm，则x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行的性质，使绿化面积在一个矩形中．
【详解】
解：A道路有重合部分减去两次还要补上一次等式才能成立；
B移动道路到边缘后剩余矩形的长和宽为（100-x）和（80-x）等式关系不成立；
C忽略了重合道路的面积等式不成立；
D移动道路到边缘后剩余矩形的长和宽为（100-x）和（80-x）就是绿化面积，等式成立符合题意．
故答案选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移道路使绿化面积变为一个矩形是解题关键．
练习3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若设小道的宽为x米，利用平移知识可知剩余部分可合成长30-2x米，宽25-x米的长方形，根据使种植面积为600平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
若设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长30-2x米，宽25-x米的长方形，依题意得：．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用平移知识将实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
©知识点四：数字问题
技巧：注意个位和十位数字的表示，特别是涉及到互换位置的时候，根据题意直接列出方程即可！
例．（2022·全国·九年级）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【详解】
解：依题意得：较大的奇数为x+2，
则有：x（x+2）=323．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项．
【详解】
解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，
；
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
练习2．（2021·湖南·会同县教学研究室九年级期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ）
A．24B．35C．42D．53
【答案】A
【解析】
【分析】
设十位数字为x，则个位数字为x+2，根据“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”列式即可求解．
【详解】
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，
整理得：(x-2)(3x+1)=0，
解得(舍去)，
∴这个两位数为24，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是设出个位或十位数为x，其他数位用x的代数式表示，进而建立方程求解．
练习3形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )
A．x(x+8)=225B．x(x+16)=225
C．x(x﹣16)=225D．(x+8)(x﹣8)=225
【答案】C
【解析】
【分析】
最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程．
【详解】
∵最大数为x，
∴最小数用x表示为：x-16，
∴列方程为：x(x﹣16)=225，
故选：C
【点睛】
本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式
来列方程．
©知识点五：商品销售问题
技巧：销售总额＝单件售价×数量
总利润：单件利润×数量＝（售价－进价）×数量
利润＝成本×利润率
例．（2021·江苏昆山·九年级期中）为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方程为（ ）
A．（x﹣100）[300＋4（200﹣x）]＝30000
B．（x﹣200）[300＋2（100﹣x）]＝30000
C．（x﹣100）[300＋2（200﹣x）]＝30000
D．（x﹣200）[300＋4（100﹣x）]＝30000
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，先分别求出每个电子产品的利润为（x-100）元，根据每降2元多售4件，就是每降1元多售两件求出降价的钱数（200-x）可求增加的数量为2（200-x）,可得每天销售的件数，根据公式列出方程即可．
【详解】
解：设这种电子产品降价后的销售单价为x元，
每个电子产品的固定成本为100元，每个电子产品获利为（x-100）元，
每个电子产品降价为(200-x)元，增加件数为，
每天可售出这种电子产品的件数为，
根据题意得．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查销售利润的应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤，解题关键是每天利润=每天销售的件数×每个电子产品的利润，每个电子产品的利润=售价-固定成本，每天销售的件数=原来每天销售件数+增加销售部分．
练习1．（2021·山东·平原县江山国际学校九年级阶段练习）某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨x元，根据题意可列方程为（ ）
A．（20+x）（40﹣3x）＝408
B．（x﹣10）[40﹣3（x﹣20）]＝408
C．（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408
D．（20+x）（40﹣3x）﹣10×40＝408
【答案】C
【解析】
【分析】
设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，利用每天的销售利润＝每包的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设这种鱼饵的售价上涨x元，则每包的销售利润为（20+x﹣10）元，每天可销售（40﹣3x）包，
依题意得：（20+x﹣10）（40﹣3x）＝408．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
练习2．（2021·辽宁·沈阳市第三十三中学九年级阶段练习）某服装店五月份推出春装优惠活动．普通顾客打x折，VIP贵宾在打x折的基础上再打x折．已知一件原价500元的春装，VIP贵宾在优惠后实际仅需付320元，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设该店普通顾客打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设该店普通顾客打x折，
依题意，得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
练习3．（2021·全国·九年级课时练习）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得．
【详解】
解：设房价定为x元，
根据题意，得
故选A．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
©知识点六：动点几何问题
技巧：先把动点走过的路程用时间表示出来，再把剩余的路长用时间表示出来，根据题意列方程！
例．（2021·内蒙古·乌拉特前旗第三中学九年级阶段练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（ ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
A．1.5B．2C．3或者1.5D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：，
，
∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，
∴，
∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，
∴AQ=2，，，
的面积是面积的，
，
整理得，
解得，
当s时，的面积是面积的．
故选择B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键．
练习1．（2021·辽宁朝阳·九年级期中）如图，中，，cm，cm，动点从点出发沿边以cm /秒的速度向点移动，点从点出发，沿边以cm /秒的速度向点移动，如果点，分别从点，同时出发，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为cm2时，的值（ ）
A．2或3B．2或4C．1或3D．1或4
【答案】B
【解析】
【分析】
设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6−t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式得出方程×（6−t）×2t＝8，求出即可．
【详解】
设经过秒钟，使的面积为，
，，
×（6−t）×2t＝8，解得：，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，用未知数表示出△PBQ的面积是解此题的关键．
练习2．（2019·河北丰南·九年级期中）如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（ ）
A．秒B．秒C．秒D．秒或秒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意，，
，
，
，
解得或5，
或时，的面积为．
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．
练习3．（2020·河南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是（ ）
A．2sB．3sC．4sD．5s
【答案】B
【解析】
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为，
则BP为（4﹣t）cm，BQ为tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（4﹣t）×t＝，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为．
故选B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
©知识点七：工程问题
例．（2022·云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【解析】
【分析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
(1)
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
(2)
解：设增加x条生产线．
，
解得，（不符合题意，舍去），
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条
（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．
（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？
【答案】（1）；（2）12或36
【解析】
【分析】
（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天
故答案为：；
（2）根据题意，得：
或
∴即该工厂引进了12或36条生产线．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
练习2．（2021·湖北宜昌·中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】
（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则
，
，
漫灌用水：，
喷灌用水：，
滴灌用水：，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
，
解得（舍去），，所以．
（3）节省水费：元，
维修投入：元，
新增设备：元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】
本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键．
练习3．（2021·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．
【详解】
解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
©知识点八：行程问题
例．（2021·全国·九年级专题练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9
【解析】
【分析】
（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；
（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．
【详解】
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），
那么从刹车到停车所用的时间是s；
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，
从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，
则这段路程内的平均车速为，
所以x（20-4x）＝15，
整理得：4x²-20x＋15＝0，
解得：，
∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
练习1．（2021·江苏·九年级专题练习）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少?
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?
【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s
【解析】
【分析】
（1）将t=4代入公式计算即可；
（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可；
（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案.
【详解】
解：（1）当 t=4s 时，cm.
答：甲运动 4s 后的路程是 ．
（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则.
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s．
（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s．
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
练习2．（2021·江苏·九年级专题练习）从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
【答案】快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米
【解析】
【分析】
首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可．
【详解】
设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，
依题意得－＝.
解得x1＝－72，x2＝60.
经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．
但x1＝－72不合题意，应舍去．
故x＝60.
所以x＋12＝72.
答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据时间差列出方程是解题关键.
练习3．（2021·江苏·九年级专题练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【解析】
【分析】
（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解．
【详解】
解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
，
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】
本题考查一元一次方程，一元二次方程．
©知识点九：图标信息题
例．（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
（1）求出该市规定标准用水量a的值；
（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【解析】
【分析】
（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可；
（2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可．
【详解】
解：（1）因七月份用水量为140吨，
1．6×140＝224＜264，
所以需加收:(元)，
即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40，
又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标
故答案为a＝100；
（2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x；
当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100．
即y
用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键．
练习1．（2019·浙江绍兴·八年级期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息：
A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人．
【解析】
【分析】
设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=240030．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40