精品解析：河北省石家庄市西山学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题

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高二年级数学试题
命题人： 冯伟冀 审核人：孟天鹏 靳冰岩
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解.
【详解】由题意直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到平面的距离公式即可求出.
【详解】由题意得，故点到平面的距离，
故选：C.
3. 已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可.
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆 的左焦点为，
所以双曲线 的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线 的渐近线为.
故选：D
4. 已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到.
【详解】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，
则，
故选：C.
5. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可.
【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况:
一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；
二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，
所以甲取得最终胜利的概率为.
故选；D.
6. 已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】因为，其中，则，
直线的斜率为，由，可得，且，即点，
所以，直线的方程为，即.
故选：B.
7. 已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得点M在以AB为直径的圆上，则以AB为直径的圆与直线有公共点，然后利用点到直线的距离公式列不等式可求得结果.
详解】∵，∴，
∴点M在以AB为直径的圆上，
∴以AB为直径的圆与直线有公共点．
∵以AB为直径的圆的圆心为、半径为1，
∴， 化简整理得，
解得，
故选：A．
8. 已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果.
【详解】如图，设，由双曲线定义知，
则．
又，所以，
所以．
又，所以，由，得
，则，而，
则，化简得，所以．
故选：C.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 点在圆上
C. 直线与圆相离D. 直线与圆相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.
【详解】解：将点代入直线l的方程，满足，
所以点M在圆C上，A选项正确；
将点代入圆C的方程，满足，
所以点M在圆C上，B选项正确；
圆心到直线的距离
直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；
故选：ABD.
10. 设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 为等差数列
C. D. 当时，有最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以数列是首项19，公差为的等差数列，
即，，故选项A，B正确.
因为，所以，故选项C正确.
因为，所以当时，有最大值，故选项D错误.
故选：ABC.
11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 平行六面体的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.
【详解】，则，故，A正确；
，，，故，B正确；
连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；
过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，
D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 在等比数列 中，，则 _________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列的公比为，，所以，
所以，
故答案为：12.
13. 已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则__________
【答案】
【解析】
【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值.
【详解】由对立事件的概率公式可得，
由独立事件的概率乘法公式可得，因此，.
故答案为：.
14. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求.
【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，,

因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得,
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
（1）求圆心为C的圆的标准方程；
（2）若过点作圆C的切线，求该切线方程；
（3）若圆C上恰有3个点到直线：的距离为1，求实数m的值.
【答案】（1）
（2）或
（3）或19
【解析】
【分析】（1）由点和，求得线段AB的中垂线方程，与联立，求得圆心，进而求得半径即可；
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径求解；
（3）根据圆C上恰有3个点到直线：的距离为1，由圆心到直线的距离为求解.
【小问1详解】
解：因为点和，所以线段AB的中点为 ，，
则线段AB的中垂线方程为，即 ，
由 ，解得 ，则圆心为， ，
所以圆的方程为：；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，
所以切线方程为；或；
【小问3详解】
因为圆C上恰有3个点到直线：的距离为1，
所以圆心到直线的距离为，解得或.
16. 已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可；
（2）由等差数列及等比数列的求和公式求解；
（3）根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，得，
即，解得或（舍），
故；
由，得，解得，
故；
综上，的通项公式为的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可得.
所以，数列的前项和.
【小问3详解】
由（1）可得，
则①②
①-②，得，
所以，.
17. 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求小红不能正确解答本题的概率；
（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.
（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.
【小问1详解】
记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，
所以
【小问2详解】
若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
【小问3详解】
记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
18. 如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
（1）若为棱的中点，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
（2）求直线与所成角余弦值的取值范围.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；
（i）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（ii）分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；
（2）根据（1）的结论，分别求出直线和直线的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
设正方体的棱长为2，
若为棱的中点，则，.
所以.
（i）设平面的一个法向量为，
则即令，则.
设与平面所成角为，则有.
故直线与平面所成角的正弦值为.
（ii）易知平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则有.
故平面和平面的夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设直线与所成角为，则.
所以.
因为，所以，即，于是有，
所以，即.
故直线与所成角余弦值的取值范围为.
19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为.
（1）求值；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点.
（i）若点的坐标为，且，求直线的方程；
（ii）若的值与点的位置无关，求的值.
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题设与椭圆的性质得，即可解出答案；
（2）设，，，，联立直线方程与椭圆方程根据韦达定理得出，
（i）当时，根据已知，得出，结合，解出，即可得出答案；
（ii）由已知得出，整理为，若的值与点的位置无关，即与的值无关，则的系数为0，即，即可解出答案.
【小问1详解】
由题意知：，解得
，；
【小问2详解】
设，，，，
联立方程，消去，得：，
则
（i）当时，因为在椭圆内，所以恒成立，
因为，所以，
又
则，即，，
则，即，解得：
则：；
（ii）因为，
，
，
若的值与点的位置无关，即与的值无关，
则的系数为0，即，解得.