精品解析：河南省鹤壁市浚县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

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1. 一个正数的两个平方根分别为与，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的性质列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与,
∴，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
2. 计算是（ ）
A. B. -3C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据积的乘方的逆用进行计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 面积相等的两个三角形是全等三角形
C. 的解是
D. 如果，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质以及全等三角形的判定，一元一次不等式的解法逐一判断即可．
【详解】解：A．利用全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，
故选项正确，是真命题，符合题意；
B．利用能够完全重合的两个三角形是全等三角形，面积相等的两个三角形不一定重合，
故面积相等两个三角形是全等三角形，不正确，
故选项是假命题，不符合题意；
C．利用0解得：，
故选项是假命题，不符合题意；
D．，
当，时，则，
故选项是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义．
4. 下列因式分解结果正确的是( )
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可．
【详解】，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
无法因式分解，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是对整式运算的考查，熟练掌握同底数幂相乘除，幂的乘方及积的乘方的法则是解决本题的关键．根据同底数幂的乘除法，幂的乘方及合并同类项依次判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，故本选项正确；
B、，计算错误，故本选项错误；
C、，计算错误，故本选项错误；
D、，计算错误，故本选项错误．
故选：A．
6. 要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再定出的垂线，使A、C、E在一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长．判定的理由是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．本题由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定．
【详解】解：，,
,
又，,
（）
故选：A．
7. 如图，平分，于点E，，，则的面积等于（ ）
A. 28B. 21C. 14D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形面积公式，是解题的关键．
作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作交的延长线于F，
平分，，，
，
的面积，
故选：C．
8. 如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，平行线的性质得到∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，等量代换得到∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD=FD，CE=FE，即可得到结论．
【详解】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
∵，
∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，
∴BD=FD，CE=FE，
∵AB=4，AC=5，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=4+5=9．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．证明BD=FD，CE=FE是解本题的关键．
9. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（）
A. 2B. 3或1.5C. 2或1.5D. 2或3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据题意得，，由于，所以当，时，，即，当，时，，即，然后分别解方程可求出对应的值．
【详解】根据题意得，
∴当时，，
即，
解得；
当时，
即，
解得；
综上所述，的值为3或．
故选：B．
10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③④B. ①②③④⑤C. ①②③D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
根据角平分线定义推出．利用证明，据此判断①；根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理判断③；根据全等三角形的性质、邻补角定义判断②；根据等腰三角形性质、三角形外角性质、全等三角形的性质及直角三角形的性质判断④；过作交于点，根据角平分线性质得出，利用证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．
【详解】解：为的角平分线，
在和中，
，
故①正确，符合题意；
为的角平分线，，
，
故③正确，符合题意；
故②正确，符合题意；
是等腰三角形，
故④错误，不符合题意；
如图，过作交于点，
是的角平分线上的点，且，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故⑤正确，符合题意；
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是利用平方根解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义．
利用平方根的定义直接开平方法解方程即可得解．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 已知，为有理数，且满足，则__________．
【答案】
【解析】
13. 顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”．如图，是一个“黄金三角形”，，是的角平分线，延长到点，使得，则的度数为________．
【答案】##36度
【解析】
【分析】运用等腰三角形性质可求出，再由角平分线的意义可求出，最后由等边对等角可得结论．
【详解】解：∵，．
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及角平分线的意义，正确掌握相关知识是解答本题的关键．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是∠ACB的平分线CD上的一动点，，△ABC的面积为，则PA＋PE的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】是∠ACB的平分线，作点关于直线的对称点在上，连接，与直线的交点即为点的位置，求出即可．
【详解】解：∵是∠ACB的平分线，
∴作点关于直线的对称点在上，连接，
与直线的交点即为点的位置，
∵垂直平分，
∴，，
∴PA＋PE=,
∵，
∴，,
∴点是的中点，
∵AB＝AC，
∴，
∵△ABC的面积为，
∴,
∴,
∴PA＋PE的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识点，根据题意得出是解本题的关键．
15. 如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至G，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】
如图，延长至G，使，连接，
在和中
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
16. 先化简，再求值：，其中.
【答案】-4
【解析】
【分析】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
当时，原式=
【点睛】考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题：本题共7小题，共67分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据根式化简的性质将，化简，再根据绝对值性质去的绝对值符号，最后根据实数运算法则求解．
【详解】原式
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序及运算法则．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19. 某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
（1）求的长．
（2）这辆大巴车超速了吗？
【答案】（1）
（2）超速了
【解析】
【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
（2）本题用路程除以时间求出速度，再与限速进行比较即可解题．
【小问1详解】
解：由题意知，是直角三角形，，，
()，
即长为．
【小问2详解】
解：大巴车的速度为：（），（），
，
这辆大巴车超速了．
20. 观察下边图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是_______，边长是_______，并在数轴上准确地作出表示阴影正方形边长的点．
（2）已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分．
求：①的值；
②算术平方根．
【答案】（1）13，，图见解析；（2）①，②．
【解析】
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用勾股定理和算术平方根的定义求出边长，最后利用勾股定理作出边长表示的无理数即可；
（2）①利用无理数估算的方法即可求得x和y；②将①中的x和y代入计算，并求算术平方根．
【详解】解：（1）阴影部分面积，
边长=，
在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示：
故答案为：13，；
（2）①∵，，
∴，，
∵x为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，，
∴，
②由①得，，
∴，它的算术平方根是．
【点睛】本题考查实数与数轴，用勾股定理表示无理数．掌握等面积法是解决（1）的关键，(2)中需注意小数部分=原数-整数部分．
21. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）基本作图，过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G即可；
（2）根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL可证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，再根据线段垂直平分线的性质即可得到AD垂直平分EF.
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF
【点睛】本题主要考查作图-基本作图以及角平分线性质和线段垂直平分线的性质.
22. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了__________名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是__________度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．
【答案】（1）80；（2）见解析；（3）36；（4）600名
【解析】
【分析】（1）根据等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据等级的人数以及抽取的学生数计算出等级所对应的扇形圆心角的度数；
（4）求出等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．
【详解】解：（1）（名，
故答案为：80；
（2）等级的学生为：（名，
补全条形图如下，
（3）等级所对应的扇形圆心角的度数为：；
（4）（名，
答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．
23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
【答案】（1）见解析 （2）；
【解析】
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．