2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 高三数学开学摸底考试卷（测试范围：新高考数学全部内容）（原卷版+解析）

这是一份2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 高三数学开学摸底考试卷（测试范围：新高考数学全部内容）（原卷版+解析），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
测试范围：新高考数学全部内容
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（ ）
A．M⫋NB．M⫌N
C．M＝ND．以上都不正确
3．（5分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为（ ）
A．48B．96C．144D．288
4．（5分）已知偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，1]D．[1，+∞）
5．（5分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，则f（x）•g（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
B．{x|﹣π＜x＜﹣或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
C．{x|﹣＜x＜0或0＜x＜或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
D．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或（2n﹣1）π＜x＜2nπ，n∈Z，且n≠0}
7．（5分）已知csα＝，则sin＝（ ）
A．B．﹣C．D．
8．（5分）设Sn是等比数列{an}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（ ）
A．12B．24C．16D．32
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
（多选）9．（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，将△ABC绕AC旋转180°，旋转过程中记点B位置为点P，则（ ）
A．直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直
B．PB+PD的最大值为
C．二面角A﹣PD﹣C的大小与点P的位置无关
D．旋转形成的几何体的体积为π
（多选）10．（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点．已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则（ ）
A．若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8
B．若l1的方程为y＝2，且∠PQM＝∠MQN，则M（13，2）
C．分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上
D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝xcsx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝时取得极小值﹣1
B．∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则＜
D．若a＜＜b，∀x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
（多选）12．（5分）某社团开展“建党100周年主题活动﹣﹣学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线x+y﹣4＝0上的动点，则的最小值为 ．
14．（5分）四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为 ．
15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣6y+a＝0关于直线y＝x+b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求线段BE的长．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＜．
19．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△APC为等边三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝BC＝2，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，BM＝λBC，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求λ的值．
21．（12分）已知双曲线（其中a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）（其中c＞0）．
（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为﹣2．直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△MF1F2的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a∈R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f′（x）的极值；
（2）若存在t∈[2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范围．
高三数学开学摸底考试卷
条 码 粘 贴 处
（正面朝上贴在此虚线框内）
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×]
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）（请用2B铅笔填涂）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请用2B铅笔填涂）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请在各试题的答题区内作答）
四．解答题（共6小题，满分70分）（请在各试题的答题区内作答）
高三数学开学摸底考试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
测试范围：新高考数学全部内容
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．
【解答】解：z＝＝＝，
故z在复平面内对应的点位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．
2．（5分）设集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}，则（ ）
A．M⫋NB．M⫌N
C．M＝ND．以上都不正确
【分析】对集合N进行变形，可以看到集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，再判断即可．
【解答】解：集合M＝{x|x＝2n，n∈Z}，故集合M中的元素是2与整数的乘积的集合，
N＝{x|x＝4n±2，n∈Z}＝{x|x＝2（2n±1），n∈Z}，
故集合N的元素是2与奇数的乘积的集合，
故N⫋M，
故选：B．
【点评】本题考查集合与集合，集合与元素的关系，基础题．
3．（5分）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为（ ）
A．48B．96C．144D．288
【分析】使用捆绑法，然后恰当分类，结合间接法能求出结果．
【解答】解：第一步，先排A，B，共有＝2种排法，将排好的A、B作为一个整体，记为G；
第二步，（1）先将C，D，G，F排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排E，共有3＝72种排法，
（2）先将C，D捆绑在一起，记为H，然后将H，G排成一排，
最后在2个空位中选一个排共，共有＝24种排法，
（3）将C，D，G，F，E排成一排，且C，D不相邻，E不站两端的排法有72﹣24＝48种，
综上，满足条件的不同排法共有2×48＝96种．
故选：B．
【点评】本题考查排列数的计算，考查捆绑法，恰当分类、间接法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）已知偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，则函数f（x）的值域为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[﹣3，1]D．[1，+∞）
【分析】根据函数的奇偶性的定义和性质，建立方程求出a，b的值，结合一元二次函数值域的性质进行求解即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）＝ax2+bx+1的定义域[a﹣1，2]，
∴a﹣1+2＝0，得a＝﹣1，即函数的定义域为[﹣2，2]，
此时函数f（x）＝﹣x2+bx+1，
则对称轴为y轴，则﹣＝0，得b＝0，
则f（x）＝﹣x2+1，
∵﹣2≤x≤2，
∴﹣3≤f（x）≤1，即函数的值域为[﹣3，1]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，结合二次函数的性质是解决本题的关键．
5．（5分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，|PF1|＝λ|PF2|（≤λ≤3），则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由，，在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cs60°，即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，求解即可求椭圆的离心率的最小值．
【解答】解：由，∴，
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cs60°
即（2c）2＝（）2+（）2﹣2×××，
上式两边同除以（2a）2，得e2＝（）2+（）2﹣＝＝1﹣＝1﹣≥1﹣＝，
∴e≥，等号当且仅当λ＝1时成立，故椭圆的离心率的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率和椭圆方程的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用，属中档题．
6．（5分）已知f（x）＝sinx，g（x）＝ln|x|+（ex）2，则f（x）•g（x）＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
B．{x|﹣π＜x＜﹣或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
C．{x|﹣＜x＜0或0＜x＜或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}
D．{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或（2n﹣1）π＜x＜2nπ，n∈Z，且n≠0}
【分析】不等式f（x）•g（x）＞0等价于或，由此能求出结果．
【解答】解：∵g（x）＝ln|x|+（ex）2是偶函数，
∴当x＞0时，g（x）＝lnx+（ex）2，g′（x）＝＞0在x＞0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（）＝0，
∴当x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，g（x）＞0，
当x∈（﹣，0）∪（0，）时，g（x）＜0，
当x∈（2nπ，2nπ+π），n∈Z时，f（x）＞0，
当x∈（2nπ+π，2nπ+2π），n∈Z时，f（x）＜0，
∵不等式f（x）•g（x）＞0等价于或，
∴不等式f（x）•g（x）＞0的解集为：
{x|﹣＜x＜0或＜x＜π或2nπ＜x＜（2n+1）π，n∈Z，且n≠0}．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的解集的求法，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．（5分）已知csα＝，则sin＝（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】由已知可求范围∈（，π），则sin＞0，进而根据二倍角公式即可计算得解sin的值．
【解答】解：∵csα＝，
∴∈（，π），则sin＞0，
∵csα＝＝1﹣2sin2，可得sin2＝，
∴sin＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8．（5分）设Sn是等比数列{an}的前n项和．若＝2，S4＝4，则S8等于（ ）
A．12B．24C．16D．32
【分析】本题先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等比数列的定义及已知条件可计算出q4＝2，再根据等比数列的求和公式写出S4及S8的表达式，进一步计算即可得到S8的结果．
【解答】解：由题意，设等比数列{an}的公比为q，则
＝q4＝2，
S4＝＝﹣＝4，
∴＝﹣4，
S8＝＝＝•（1﹣4）＝（﹣4）×（﹣3）＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的基本计算．考查了方程思想，定义法，整体思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知菱形纸片ABCD的边长为2，且∠ABC＝60°，将△ABC绕AC旋转180°，旋转过程中记点B位置为点P，则（ ）
A．直线AC与点P的轨迹所在平面始终垂直
B．PB+PD的最大值为
C．二面角A﹣PD﹣C的大小与点P的位置无关
D．旋转形成的几何体的体积为π
【分析】由题知，点P的轨迹所在平面为平面BDP，再结合题意依次分析各选项即可得答案．
【解答】解：如图，点P的轨迹为以菱形对角线的交点为圆心的半圆弧，
即点P的轨迹所在平面为平面BDP，由于在菱形ABCD中，AC⊥BD，
所以在旋转过程中，AC⊥OP，
因为OP∩BD＝O，OP，BD⊂平面BDP，
所以AC⊥平面BDP，故A正确；
对于B选项，因为PD2+PB2＝BD2＝12，
所以由不等式，得，
当且仅当PD＝PB时等号成立，故B正确；
对于C，取PD中点E，连接AE，CE，OE，由AP＝AD＝PC＝PD得PD⊥AE，PD⊥CE，
所以，∠AEC是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
所以，由对称性可知∠AEC＝2∠AEO，，
因为OE的长度随着P的位置的变化而变化，
所以，∠AEO随着P的位置的变化而变化，即∠AEC的大小与点P的位置有关，故C错误；
对于D选项，由题知旋转形成的几何体为两个半圆锥，底面半径为，高为1，
故其体积为，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查旋转体的结构特征，二面角的求法，组合体的体积，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点．已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则（ ）
A．若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8
B．若l1的方程为y＝2，且∠PQM＝∠MQN，则M（13，2）
C．分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上
D．抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等
【分析】分别求出P、Q的坐标，利用焦点弦公式|PQ|＝x1+x2+p求出弦长可得选项A错；求解角的平分线方程求解M的坐标，可得选项B正误；通过求解D的坐标，即可判断C正确；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线l1及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确．
【解答】解：由题意可得P（，2），又F（2，0），
∴直线PF的斜率k＝＝−，
∴直线PF的方程为：y＝−（x−2），
联立，得2x2﹣17x+8＝0，
∴x1＝，x2＝8，∴Q（8，﹣8），
∴|PQ|＝x1+x2+4＝，∴A选项错误；
直线PF的斜率k＝＝−，
设MQ的斜率为k，k＞0，可得，可得2k2﹣3k﹣2＝0，
可得k＝2，
又直线MQ的斜率kMQ＝2，∴直线MQ的方程为：y+8＝2（x﹣8），即2x﹣y﹣24＝0，
，则M（13，2），∴B选项正确；
设P（，b），PO的方程为：y＝，PF的方程为：y＝，与y2＝8x联立，可得by2﹣（b2﹣16）y﹣16b＝0，可得yQ＝﹣，
，可得D（﹣2，），分别延长PO，NQ交于点D，则点D在C的准线上，
所以C选项正确；
设抛物线在P处的切线方程为：y−2＝k（x−）（k≠0），
联立，得ky2﹣8y+16﹣4k＝0，
由Δ＝64﹣4k（16﹣4k）＝0，解得k＝2．
∴抛物线在P处的切线方程为：y＝2x+1，
∴该切线与直线l1所成角的正切值为2．
设该切线与直线FP所成角为θ，
则tanθ＝||＝||＝2，
∴该切线与直线l1所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，
即抛物线C在点P处的切线分别与直线l1、FP所成角相等，∴D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝xcsx﹣sinx，下列结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在x＝时取得极小值﹣1
B．∀x∈[0，π]，f（x）≤0恒成立
C．若0＜x1＜x2＜π，则＜
D．若a＜＜b，∀x∈（0，）恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1
【分析】利用可导函数极值点处的导数为零判断A，通过f′（x）的符号确定f（x）在[0，π]上的单调性，判断B，再构造函数g（x）＝，研究其单调性判断C，D选项．
【解答】解：f′（x）＝﹣xsinx，
对于A，＝﹣≠0，A错；
对于B，当x∈[0，π]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝0，B对；
对于CD，令g（x）＝，则g′（x）＝，由B知，g′（x）＜0在（0，π）上恒成立，所以g（x）在（0，π）上是减函数，
所以由0＜x1＜x2＜π，则，结合sinx1＞0，sinx2＞0得＜，C对；
显然g（x）在（0，）上单调递减，所以＝在（0，）上恒成立，
再令h（x）＝x﹣sinx，0，h′（x）＝1﹣csx≥0在（0，）上恒成立，h（x）是增函数，
所以h（x）＝x﹣sinx＞0，即＜1在（0，）上恒成立，
综上＜1在（0，）上恒成立，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了导数的综合应用，侧重考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值等，属于难题．
（多选）12．（5分）某社团开展“建党100周年主题活动﹣﹣学党史知识竞赛“，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是（ ）
A．两人均获得满分的概率为
B．两人至少一人获得满分的概率为
C．两人恰好只有甲获得满分的概率为
D．两人至多一人获得满分的概率为
【分析】根据已知条件，结合独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，即可求解．
【解答】解：∵甲，乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，
分别记甲，乙能得满分的事件为M，N，P（M）＝，，M，N独立，
∴两人均获得满分的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝，故A正确，
两人至少一人获得满分的概率为＝[1﹣P（M）][1﹣P（N）]＝，故B错误，
两人恰好只有甲获得满分的概率为＝，故C错误，
两人至多一人获得满分的概率为1﹣P（MN）＝1﹣，故D错误．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，点M是直线x+y﹣4＝0上的动点，则的最小值为 ．
【分析】根据题意，设AB的中点为N，设N的坐标为（x，y），分析可得x2+y2＝，即N的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，又由+＝2，则|+|＝2||，分析||的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设AB的中点为N（x，y），A在x轴上，B在y轴上，
|AB|＝3，且的线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上运动，
则设A（2x，0），B（0，2y），且（2x﹣0）2+（2y﹣0）2＝9，
变形可得：x2+y2＝，即N的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，设该圆为圆O，
又由+＝2，则|+|＝2||，
||的几何意义为圆O上任意的一点到直线x+y﹣4＝0上任意一点的距离，
又由点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝2，
则||的最小值d′＝d﹣r＝2﹣，
故的最小值为4﹣3；
故答案为：4﹣3．
【点评】本题考查直线与圆为位置关系，涉及向量加法的几何意义以及向量的线性运算，属于中档题．
14．（5分）四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为 ．
【分析】如图，过B1作B1E⊥BD，垂足为E，求出|BE|、|B1E|，利用相似三角形的性质求出|PQ1|，结合锥体的体积公式分别求出四棱锥P﹣A1B1C1D1和P﹣ABCD的体积即可．
【解答】解：如图，该四棱台为ABCD﹣A1B1C1D1，
四棱锥P﹣ABCD的高PO交BD于O，交B1D1于O1，
由题意知，|BD|＝3，|B1D1|＝2，过B1作B1E⊥BD，垂足为E，
则|BE|＝＝，又|BB1|＝，所以|B1E|＝＝，
在四棱锥P﹣ABCD中，＝，＝，
所以＝＝＝，而|OO1|＝|B1E|＝，
解得|PO1|＝，
所以四棱锥P﹣A1B1C1D1的体积为＝•|PO1|＝，
四棱锥P﹣ABCD的体积为VP﹣ABCD＝SABCD•（|PO1|+|O1|O）＝，
所以四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为VP﹣ABCD﹣＝﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查棱锥的体积公式，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣6y+a＝0关于直线y＝x+b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是 （﹣∞，8） ．
【分析】首先将圆的方程整理为标准形式，然后利用直线过圆心确定b的值，利用圆的方程确定a的取值范围即可求得a﹣b的取值范围．
【解答】解：圆的方程化为标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，
由题意知，直线y＝x+b过圆心，而圆心坐标为（﹣2，3），
代入直线方程，得b＝5，
由圆的方程可知13﹣a＞0，即a＜13，
由此，得a﹣b＜8，
故答案为：（﹣∞，8）．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的应用，圆中的最值与范围问题等知识，属于基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为 6 ．
【分析】由条件利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），
∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y＝sin[ω（x+）+φ]＝sin（ωx++φ），
∴φ＝++φ+2kπ．即ω＝﹣6k，k∈z，
∵ω＞0，
∴ω的最小值为：6
故答案为：6
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，连接AD并延长到点E，使AE＝3DE．
（1）若DE＝1，求∠BAC的余弦值；
（2）若∠ABC＝，求线段BE的长．
【分析】（1）由题意得AD＝2，cs∠ADB+cs∠ADC＝0，由题意设BD＝DC＝x，利用余弦定理得cs∠ADB＝，cs∠ADC＝，求出x，可得BC，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）利用余弦定理可得BC＝2，结合题意，利用余弦定理可得AD＝，cs∠BAE＝，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵DE＝1，AE＝3DE，∴AD＝2，
∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cs∠ADB+cs∠ADC＝0，
由题意设BD＝DC＝x，AB＝4，AC＝2，
则在△ADB中，由余弦定理得cs∠ADB＝＝＝，
在△ADC中，由余弦定理得cs∠ADC＝＝＝，
∴+＝0，解得x＝2，
∴BC＝2BD＝4，
在△ABC中，由余弦定理得cs∠BAC＝＝＝﹣；
（2）∵AB＝4，AC＝2，∠ABC＝，
∴在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcs∠ABC，即8＝16+BC2﹣2×4×BC，解得BC＝2，
∵点D为BC的中点，∴BD＝BC＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcs∠ABC＝16+2﹣2××4×＝10，即AD＝，
∵AE＝3DE，∴AE＝AD＝，
在△ABD中，由余弦定理得cs∠BAE＝＝＝，
在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AEcs∠BAE＝16+（）2﹣2×4××＝，即BE＝．
【点评】本题考查三角形中的几何计算和解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＜．
【分析】（1）求得an+1＝，判断an＞0，两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
（2）求得akak+1ak+2＝[﹣]，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．
【解答】解：（1）由a1＝，
可得an+1＝，
由a1＞0，可得an＞0，
则＝1+，
即﹣＝1，
所以{}是首项为2，公差为1的等差数列，
则＝2+n﹣1＝n+1，即an＝；
（2）证明：an＝，对k＝1，2，3，…，akak+1ak+2＝
＝[﹣]，
所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2＝[﹣+﹣+…+﹣]
＝[﹣]＝﹣＜．
【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
【分析】（1）根据题意，由频率值和等于1，可求频率分布直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图可知评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比，进而求出评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人；
（3）根据频率分布直方图中的数据，利用平均数的求法公式即可求出结果．
【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由频率分布直方图可知，
评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：（0.022+0.018）＝1：5：4，
所以评分在[40，60）内的顾客应抽取（人）；
（3）用户对该APP评分的平均分为：＝76.2．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△APC为等边三角形，AC＝4，平面APC⊥底面ABC，AB＝BC＝2，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，BM＝λBC，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求λ的值．
【分析】（1）由题意得PO⊥AC，又平面APC⊥底面ABC，根据面面垂直的性质，即可证明结论；
（2）连接BO，由（1）可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵△APC为等边三角形，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
∵平面APC⊥底面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，PO⊂平面APC，
∴PO⊥平面ABC；
（2）连接BO，由（1）可知建立以O为坐标原点，以AC、OB、OP所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
AB＝BC＝2，AC＝4，则OP＝2，AB2+BC2＝16＝AC2，
∴△ABC等腰直角三角形，则OB＝2，BO⊥AC，
∴C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），A（﹣2，0，0），设M（x，y，0），
则＝（x，y﹣2，0），＝（2，﹣2，0），
∵BM＝λBC，∴，则x＝2λ，y＝2﹣2λ，0≤λ≤1，
∴M（2λ，2﹣2λ，0），
∵平面APC⊥平面ABC，平面APC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，
∴平面PAC的一个法向量为＝（0，2，0），
设平面MPA的一个法向量为＝（x，y，z），＝（2，0，2），＝（2λ+2，2﹣2λ，0），
则，取x＝，则z＝﹣1，y＝，
∴平面MPA的一个法向量为＝（，，﹣1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
∴cs＜，＞＝＝＝cs30°＝，即（）2＝4，解得λ＝3（不合题意，舍去）或λ＝，
故λ＝．
【点评】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．
21．（12分）已知双曲线（其中a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0）（其中c＞0）．
（1）若双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为；直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为﹣2．直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△MF1F2的面积；
（2）以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P．过P作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率．
【分析】（1）根据已知条件，结合渐近线的定义，推得，再结合双曲线过点（2，1），即可求出双曲线的方程，再与直线l联立，并结合韦达定理，即可求解；
（2）先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可求解．
【解答】解：（1）双曲线过点（2，1）且一条渐近线方程为，
则①，
双曲线过点（2，1），
则②，
联立①②解得，a2＝2，b2＝1，
故双曲线的方程为，
直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为﹣2，
则l的方程为y＝x﹣2，代入双曲线方程可得，x2﹣8x+10＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），
则x1+x2＝8，
M为线段AB的中点，
则x＝4，y＝x﹣2＝2，即M（4，2），
∵，
∴△MF1F2的面积为；
（2）由题意可知，圆的方程为x2+y2＝c2，
联立，解得x＝，y＝，即P（，），
切线的斜率为，
则kOP＝，化简整理可得，3（c2﹣a2）＝，
故3c4+4a4﹣8a2c2＝0，即3c4﹣8e2+4＝0，解得e2＝2，
故双曲线的离心率为．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a∈R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）讨论f′（x）的极值；
（2）若存在t∈[2，e]，使得不等式f（t）＜0成立，求a的取值范围．
【分析】（1）求得f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），设g（x）＝2x﹣a（1+lnx），求得，分a≤0和a＞0，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；
（2）根据题意转化为存在t∈[2，e]，使得，构造函数，求得，分a+1≤2、2＜a+1＜e和a+1≥e，结合函数h（t）的单调性和极值、最值，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，函数f（x）＝x2﹣axlnx+1+a，a∈R，
可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），
设g（x）＝f'（x）＝2x﹣a（1+lnx），x∈（0，+∞），则，
①当a≤0时，可得g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）没有极值；
②当a＞0时，若，则g'（x）＜0，f′（x）在上单调递减，
若，则g'（x）＞0，f′（x）在上单调递增，
所以f′（x）在处取得极小值，且极小值为，在（0，+∞）上没有极大值，
综上，当a≤0时，f′（x）没有极值；当a＞0时，f′（x）的极小值为，无极大值．
（2）由题意知，存在t∈[2，e]，使得f（t）＝t2﹣atlnt+1+a＜0，
即存在t∈[2，e]，使得，
构造函数，则，
当a+1≤2，即a≤1时，h'（t）≥0在[2，e]上恒成立，h（t）单调递增，
所以h（2）＜0，可得，与a≤1矛盾，不满足题意；
当2＜a+1＜e，即1＜a＜e﹣1时，若t∈[2，a+1]，则h′（t）≤0，h（t）单调递减，
若t∈[a+1，e]，则h'（t）≥0，h（t）单调递增，此时h（t）min＝h（a+1），
由h（t）min＝h（a+1）＜0，可得（a+1）﹣aln（a+1）+1＜0，所以a+2＜aln（a+1），
因为2＜a+1＜e，所以不等式a+2＜aln（a+1）不成立；
当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h′（t）≤0在t∈[2，e]上恒成立，h（t）单调递减，
所以h（e）＜0，可得，满足题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，恒成立问题的求解，化归转化思想，属难题．准考证号
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15.
16.
17.答：
18.答：
19.
答：
20.
答：
21.答：
22.答：