2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）（原卷版+解析）

这是一份2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）（原卷版+解析），共65页。
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
二、一元二次型不等式能成立问题
三、基本不等式中“1”的妙用
四、利用基本不等式求参数范围
五、作差法比较大小
5种数学思想
一、函数与方程思想
二、数形结合思想
三、分类与整合思想
四、转化与划归思想
五、特殊与一般思想
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、题型解题技巧
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
四、题型方法
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为________.
4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
四、双空题
6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则___；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为___．
五、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
二、一元二次型不等式能成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、双空题
5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
三、填空题
6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是__________．
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题
8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
三、基本不等式中“1”的妙用
一、单选题
1．已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
3．已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
二、多选题
5．已知，直线与曲线相切，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为25
C．的最小值为D．的最大值为2
6．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数B．的值可以为：
C．的最小值为3D．的最小值为
三、填空题
7．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________．
8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为________．
9．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
四、解答题
10．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设的最小值为m，若正数a，b满足，求的最小值.
四、利用基本不等式求参数范围
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
4．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______
四、双空题
6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在中，，若空间点满足，则的最小值为___________；直线与平面所成角的正切的最大值是___________.
五、解答题
7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求外接圆的周长；
(2)若，，求面积的最大值.
五、作差法比较大小
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，且，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数在区间上是增函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，试比较与的大小．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式有三个正根，且求证：
5种数学思想
一、函数与方程思想
一、解答题
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.（利润＝收入－成本）
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
2．（2022秋·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设（常数），且已知是方程的根.
(1)求的值；
(2)设常数，解关于的不等式：.
3．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知.
(1)若x､，求的最大值；
(2)若x､，求的取值范围.
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
二、数形结合思想
一、单选题
1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知集合，则满足的非空集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题
3．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．
5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为______.
三、解答题
6．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1)； (2)
三、分类与整合思想
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．{或}
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
4．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合，函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
四、转化与划归思想
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________.
5．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______．
三、解答题
6．（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式，并计算
8．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．
五、特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（ ）
A．256B．255C．127D．126
2．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）观察下列等式，，，，，根据上述规律，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，，猜想第n（n∈N+）个等式应为（ ）
A．9（n+1）+n=10n+9B．9（n－1）+n=10n－9
C．9n+（n－1）=10n－9D．9（n－1）+（n－1）=10n－10
二、填空题
4．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，猜想对x取一般值时的取值范围是____________．
5．（2022·全国·高三专题练习）观察等式：；；；；…由以上几个等式的规律可猜想___________.
三、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.
考题
考点
考向
2022新高考2，第12题
基本不等式
利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题
不等式的概念和性质
比较大小
重难点02不等式（5种解题模型5种数学思想）
【目录】
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
二、一元二次型不等式能成立问题
三、基本不等式中“1”的妙用
四、利用基本不等式求参数范围
五、作差法比较大小
5种数学思想
一、函数与方程思想
二、数形结合思想
三、分类与整合思想
四、转化与划归思想
五、特殊与一般思想
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握。
三、题型解题技巧
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
四、题型方法
5种解题模型
一、一元二次型不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先通过选项求出是什么条件，选出符合题目要求的充分不必要条件即可.
【详解】，，得，A是的必要不充分条件，B是的必要不充分条件，C：是的充要条件，D：是的充分不必要条件．
故选：D．
二、多选题
2．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（ ）
A．“”是的充分不必要条件B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数的取值范围，结合充分必要条件即可得答案.
【详解】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）设对一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】不妨设，将不等式等价转化为对一切实数恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立列出不等式组，解之即可求解.
【详解】不妨设，则，则，
即，
所以，原不等式可化为，它对一切实数恒成立，
所以，解得，所以，即，则，解得.
故答案为：.
4．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．
【详解】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.
【详解】令
因为在区间上是增函数，
所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．
故答案为：.
四、双空题
6．（2023·云南·高三校联考阶段练习）螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则___；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为___．
【答案】 / /
【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列的通项公式，从而就可以求出的表达式，再用参数分离求的最大值即可.
【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则
，
，……，
，
于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则.
由题意可得：，即……，
于是.
所以，
，是关于的增函数，所以，
由恒成立得，
令 ，
所以当时单调递增，所以，
所以的最大值为 ，
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列的通项公式，先写出数列的前几项，通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.
五、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】首先不等式变形为恒成立，讨论的取值，利用参变分离，结合基本不等式，转化为求函数最值问题.
【详解】∵对任意的，恒成立，恒成立，
即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，，，，当且仅当时，即，时取“=”．．
当时，．
∵，．令，则，∵函数在上单调递增，
∴当，即时，函数取到最大值，．
综上所述，的取值范围是．
二、一元二次型不等式能成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求出最值，解不等式即可.
【详解】
，
若存在，使不等式有解，
则问题转化为在上
因为，所以，
所以，
所以，
解得：或
即实数m的取值范围为：，
故选：B.
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题得，解出的范围，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】因为，，
所以，所以或，
所以或，
所以．
故选：D.
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得：，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【详解】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，
当时，,符合题意；
当时，有，即，解为，
∴：．又：，
设，则是的真子集，
所以p是q成立的充分非必要条件，
故选：A．
4．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
二、双空题
5．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；
当时，要使得对恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
因为，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
故答案为：；.
三、填空题
6．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果.
【详解】因为，所以由得，
因为关于的不等式在区间上有解，
所以只需小于等于的最大值，
当时，，
当时，，当且仅当时等号成立，即当且仅当时取等号，故的最大值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】采用换元法令，将问题转化为关于t的方程在上有解，再分离参数即可求出a的范围.
【详解】设，由题可知有解，
即有解，
即有解，
即有解，
令，则有解，
即在时有解.
易知在时单调递减，在时单调递增，
且，，
故，则.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题关键是将对数方程化为指数方程，并采用换元法将问题转化为关于t的二次方程在特定区间上有解的问题.
四、解答题
8．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
三、基本不等式中“1”的妙用
一、单选题
1．已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】宁夏中卫市2023届高三二模数学（理）试题
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
2．已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题
【答案】C
【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意得，且，
故，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：C.
3．已知正实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【来源】河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考理科数学试题
【答案】D
【分析】先根据基本不等式求出.然后即可根据不等式的性质得出，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，.
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，，
当且仅当，即时，两个等号同时成立.
所以，.
故选：D.
4．已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【来源】江西省南昌市稳派2023届高三二轮复习验收考试（4月联考）数学（理）试题
【答案】B
【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6.
故选：B.
二、多选题
5．已知，直线与曲线相切，则（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为25
C．的最小值为D．的最大值为2
【来源】安徽省省十联考2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
【答案】BC
【分析】根据导数几何意义，得到，再结合基本不等式可判断ABD的正误，利用换元法可解选项C.
【详解】设切点为，因为，所以，得，
所以，所数．
对于A，，所以，
当且仅当时，等号成立，故A不正确；
对于B，＋，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为，故D错误.
故选：BC
6．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数B．的值可以为：
C．的最小值为3D．的最小值为
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第四次高考模拟考试数学试卷
【答案】ACD
【分析】作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，由此判断A，B，结合基本不等式可判断CD.
【详解】如下图所示：
由，可得，
，
若，，，
则，，
，
、、三点共线，
，，
故A正确；
当，时， ，所以B错误；
，
当且仅当时，等号成立，C正确；
的面积，的面积，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以的最小值为，D正确；
故选：ACD.
三、填空题
7．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为___________．
【来源】天津市2023届高三一模数学试题
【答案】
【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，设，，结合已知得出，根据基本不等式求解即可．
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以，由得，
由得，
因为，
所以，即，
由及得，
设，，
因为，
所以，，
所以
将，代入得，，即，
所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：．
8．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为________．
【来源】新疆喀什地区普通高考2023届高三适应性检测数学（理）试题
【答案】9
【分析】先根据三角形面积关系列等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】因为AD平分∠BAC，所以，，
即，又，
整理得，故
所以，
当且仅当，，即，时等号成立，
则的最小值是9．
故答案为：.
9．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．
【来源】贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题
【答案】
【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.
【详解】解析：由题，
则，
∴，
解得:．
故答案为：.
四、解答题
10．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设的最小值为m，若正数a，b满足，求的最小值.
【来源】陕西省宝鸡中学2023届高三月考（七）文科数学试题
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分情况去掉绝对值的符号，分类讨论解不等式；
（2）先根据绝对值三角不等式算出，然后根据基本不等式求解.
【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得.
当时，原不等式等价于，恒成立.
当时，原不等式等价于，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即.
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
四、利用基本不等式求参数范围
一、单选题
1．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.
【详解】当，时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
所以，即．
故选：A.
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.
【详解】选项A：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C：因为,,，故C错误；
选项D：因为,,,故D错误．
故选:AB．
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，为奇函数，，若不等式恒成立，则实数的最大值为______．
【答案】6
【分析】根据奇偶性得到，再联立求解得，，从而原不等式等价于，设，分离参数结合基本不等式即可求解.
【详解】因为为偶函数，为奇函数， ①，
所以，即 ②，
由①②得，．
则不等式
等价于，
整理得．
令，则，当且仅当，即时取等号，
于是原不等式等价于，
而，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以实数的最大值为6．
故答案为：
【点睛】方法点睛：
求有关不等式恒成立问题，一般有三种方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数的图象求解．
4．（2023·天津和平·统考二模）设，，，若，，则的最大值为__________．
【答案】3
【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，.
又，，
所以，.
因为，，根据基本不等式有，
当且仅当，即，时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ______
【答案】
【分析】原不等式可转化为∀，t恒成立，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得答案．
【详解】因为∀，
∴sinx＞0，csx＞0，
∴不等式sin2x﹣tsin2xt恒成立⇔t恒成立，
∵＝
（当且仅当，即tanx＝时取等号），
∴t．
故答案为：．
四、双空题
6．（2023·辽宁锦州·统考二模）在中，，若空间点满足，则的最小值为___________；直线与平面所成角的正切的最大值是___________.
【答案】
【分析】以所在平面为，建立空间直角坐标，求平面的法向量，
利用线面角结合换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案.
【详解】
过点作与点，过点作与点，
设，则，
又，则，
则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，
当点与点三点共线时，最小；且最小值为；
如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，
，
设，
则，

当，且时，最小，
即当点与点三点共线时，最小，且最小值为；
记直线与平面所成角为,
则，
因为，
所以，
令，则，
则，，
又，在上单调递减。在上单调递增，
则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
又，
所以直线与平面所成角的最大值为，
此时，
故答案为：；
五、解答题
7．（2023春·山东·高一滨州一中校联考期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求外接圆的周长；
(2)若，，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理求得外接圆的半径；
（2）根据余弦定理结合基本不等式、面积公式求得结果.
【详解】（1）由，
得，
因为，所以，则外接圆的半径，
故外接圆的周长为.
（2）由（1）得，因为，所以.
由余弦定理，得，即，
当且仅当时，等号成立.
所以，
故面积的最大值为.
五、作差法比较大小
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.
【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；
B选项，因为，所以，由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；
C选项，，
因为，，故，故，C正确；
D选项，不妨设，则
故选：D
2．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差法结合基本不等式可得出、的大小关系，利用中间值结合指数函数、对数函数的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.
【详解】因为，所以，，则，
因为，
所以，，则，所以
因为
，即，因此，.
故选：C.
3．（2023·吉林·统考三模）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；B选项，利用基本不等式求出；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项，，故，所以，
两边同乘以得，，A成立；
B选项，因为，所以，且，
由基本不等式得，故B成立；
C选项，因为，所以，
故，所以，C成立；
D选项，不妨取，满足，此时，故D不一定成立.
故选：D
二、多选题
4．（2023·广东惠州·统考一模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】因为，所以，则，
选项A，，故正确；
选项B，因为，且，所以，故B正确；
选项C，因为，故C错误；
选项D，因为，故D正确，
故选：ABD．
5．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知∈R，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABD
【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小.
【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；
对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误；
对于D：,
因为，所以,所以，所以，故D正确.
故选：ABD
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，且，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】利用对数运算性质化简整理得，结合已知及对数函数的性质可得，再应用作差法、放缩、基本不等式判断各项正误即可.
【详解】由题设，
由，则，且，
所以，则，故，A错误；
由，故，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以等号取不到，则，而，但不一定有，
故不一定成立，C错误；
由，其中等号成立条件为，即时等号成立，
所以等号取不到，则，D正确.
故选：BD
三、解答题
7．（2020秋·河北·高三统考学业考试）已知函数在区间上是增函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合二次函数的单调性求解即可；
（2）作差法比较大小即可.
【详解】（1）解：当时，在上单调递减，不满足题意；
所以，，
因为函数在区间上是增函数，
所以，解得
所以实数的取值范围为.
（2）解：由题知，
，
所以
因为，，
所以，即
8．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式有三个正根，且求证：
【答案】证明见解析.
【分析】设实系数多项式的三个正根为、、，可得出，将所证不等式转化为证明，利用作差法结合不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】证明：设实系数多项式的三个正根为、、，
则，
所以，
由可得，
因为，所以
要证明，即要证明
即证明
即证明
即证明
因为
所以即证明
即证明（*）
因为所以
即
同理三个不等式相加得证（*）成立．
所以
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，证题的关键在于根据根与系数的关系，将所证不等式转化为与零点相关的不等式，结合作差法来进行证明.
5种数学思想
一、函数与方程思想
一、解答题
1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织在京举办研讨会．会议发布了中国2030年前碳达峰、2060年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案．为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完．
(1)请写出利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.（利润＝收入－成本）
(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为9800万元．
【分析】（1）分和，讨论求得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式．
（2）分和，根据二次函数的性质和基本不等式可求得最值，比较得最大利润.
【详解】（1）当时，；
当时，；
所以．
（2）当时，，开口向下，对称轴为
当时，；
当时， ；
当且仅当，即时，等号成立．
因，所以当时，即年生产50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为9800万元．
2．（2022秋·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考阶段练习）设（常数），且已知是方程的根.
(1)求的值；
(2)设常数，解关于的不等式：.
【答案】(1)；
(2)见解析.
【分析】（1）将代入方程即可答案.
（2）将代入整理得，对进行分类讨论即可.
（1）
由题意得,故,解得.
（2）
由可得,即
,其中,
当时,则有,解得;
当时,,解可得或；
当时,,解
可得1;
当时,,原不等式即为,该不等式无解;
当时,,解可得.
综上所述,当时,原不等式的解集为，
当时,原不等式的解集为或，
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
3．（2022秋·江西九江·高一瑞昌市第一中学校考阶段练习）已知.
(1)若x､，求的最大值；
(2)若x､，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知条件，利用基本不等式求得，即可确定最大值，注意取值条件.
（2）由且得到，并代入目标式，应用二次函数性质求范围.
（1）
由x､，则，故，
当且仅当时等号成立，即的最大值为.
（2）
由，则，又，
所以，
由，
所以.
4．（2022·全国·高三专题练习）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元.
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【答案】(1)
(2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元
【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式.
（2）平均费用为，利用基本不等式计算即可.
（1）
设成本费用为，仓储费用为元，则，，
当时，，，可得，，
故.
（2）
平均费用，
当且仅当，即时，等号成立.
故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元.
二、数形结合思想
一、单选题
1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知集合，则满足的非空集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】A
【分析】先化简集合，然后利用子集的定义进行求解即可
【详解】
所以满足的非空集合B有，，，故个数为3，
故选：A
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）无字证明是指利用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，观察此图象，同学们能无字证明的结论是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】判断中的不等式不成立，观察图形：大正方形的面积比个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等，因此（当且仅当时等号成立），整理即可判断D;结合D的分析可判断C.
【详解】对于A，取，则，说明不等式错误，故A错误；
对于B，取，则，即错误，故B错误；
对于D,从图形可以看出大正方形的面积比个直角三角形的面积和要大，
当中心小正方形缩为一个点时，即时，两个面积相等，
因此，所以，（当且仅当时等号成立），
对于C，由D的分析可知，即，
时，，故C错误；
故选：D．
二、填空题
3．（2023·高三课时练习）不等式的解集为______．
【答案】
【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.
【详解】不等式即，
的根为，
故的解集为，
即不等式的解集为，
故答案为：
4．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】解：原不等式等价于，化简得，
所以，又等价于，解得：
所以，
故答案为：．
5．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法即得.
【详解】因为关于的不等式的解集为空集，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题
6．（2021秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式整理得，，
即，解得或，
原不等式的解集为或
（2）原不等式整理得，，
，
原不等式的解集为.
三、分类与整合思想
一、单选题
1．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．{或}
【答案】A
【分析】解分式不等式求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】由等价于，解得或，
所以或，又，所以，
①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，
当时，可得，即，要使，则需要，
解得.
当时，可得，即，要使，则需要，
解得.
综上，实数的取值范围是.
故选：A
二、解答题
2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．
【答案】见解析
【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.
【详解】方程： 且
解得方程两根：；
当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
综上所述, 当时，原不等式的解集为：
当时，原不等式的解集为：
3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式
【答案】答案见解析
【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.
【详解】由，可得或，则：
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
4．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知集合，函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）将代入不等式可整理成，分，和进行分类讨论，即可求得答案；
（2）利用含量词的命题的否定得到命题“任意，使得”是真命题，则，令，则，利用基本不等式求解最值即可
【详解】（1）因为，且，
所以即，
因为的实数根为或，
当时，此时，所以不等式的解集为；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
当时，此时，所以不等式的解集为或；
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；
（2）因为，
所以命题“存在，使得”的否定为命题“任意，使得”是真命题，
所以可整理成，
令，则，
因为，
当且仅当即时，取等号，
则，故实数的取值范围
四、转化与划归思想
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则下列中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设法构造一个一元二次方程，使以其系数或常数项的形式出现，再由得到不等式.
【详解】由题意可得：
设， 则，
显然，则，
可得就是方程的两个实根，
所以，
则或，解得，
即.
故选：C.
2．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
【答案】A
【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.
【详解】由，，，
所以
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为：12，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由原命题和逆否命题同真假，把问题转化为判断“”是“且”的什么条件，利用充分条件和必要条件的定义验证即可.
【详解】问题可等价转化为判断“”是“且”的什么条件．
时，可以，不能推出且；
反之，当且时，一定有.
因此“”是“且”的必要不充分条件，
从而“或”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
二、填空题
4．（2023·全国·高三专题练习）设且，，则的范围为______________.
【答案】
【分析】根据题意整理可得，，分析可得，是方程的两个不等的实根，利用判别式分析运算.
【详解】由且，得，，且①，
又因为，可得②，
由①②可知：，是方程的两个不等的实根，
于是，解得：，
且，则，
则，
所以的范围为.
故答案为：.
5．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据不等式的解集，利用韦达定理可求出的关系，再代入新的不等式可求得答案.
【详解】因为不等式的解集是，
所以和2为方程的两个根，且，
所以，解得，
所以不等式转化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
三、解答题
6．（四川省资阳市2023届高考适应性考试数学（理科）试题）已知，，且．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式即可求出的最小值．
（2）化简已知得，即，利用基本不等式即可得证.
【详解】（1）（2）因为，所以，所以．
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即的最小值是2．
（2）证明：因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以．当且仅当时，等号成立
则，即，当且仅当时，等号成立．
【点睛】关键点睛：本题第二小问中用配凑法将的证明转化为的证明，其中是解题关键，本题考查不等式的证明，基本不等式的应用，属于较难题.
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，求数列的通项公式，并计算
【答案】(其中)，
【分析】根据两角和的正切公式猜想数列的通项公式为，再用数学归纳法证明即可得数列的通项公式；再利用数列的周期求解即可.
【详解】解：令则
于是猜想，
设当时，有，
则当时，有
所以数列的通项为：(其中)，且以4为周期，
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
，由，得，即总项数为500项，
8．（2023·全国·高三专题练习）设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有．
【答案】证明见解析
【分析】本不等式是对称不等式，显然当时取等号．从不等式局部入手，当
时，，用 元均值不等式即可求解．
【详解】因为，
所以 .
同理可得 .
三式相加可得：
【点睛】对于对称型不等式, 有时从整体考虑较难入手, 故比较管用的手法是从局部入手, 从局部导出一些性质为整体服务, 这里的局部可以是某一单项也可以是其中的若干项.
五、特殊与一般思想
一、单选题
1．（2022秋·河南焦作·高三统考期中）如图，面点师傅把一个面团搓成1.6米长的圆柱形面棍，对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到3根面条，如果连续对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到5根面条，以此类推，若连续对折8次后重新拉长到1.6米，从中间切一刀，弯折处的长度忽略不计，则可得到长度为1.6米的面条的根数为（ ）
A．256B．255C．127D．126
【答案】B
【分析】从对折中找到规律，发现对折次，面条的根数为，而且都会有两根面条的长度为0.8米，即可得到答案
【详解】对折1次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为1；
对折2次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为3；
对折3次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为7；
以此类推，
对折8次后重新拉长，从中间切一刀，则可以得到根面条，其中由两根面条的长度为0.8米，故长度为1.6米的面条的根数为255；
故选：B
2．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）观察下列等式，，，，，根据上述规律，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，，，观察其规律，可得.
【详解】，
，
，
，
根据上述规律，得
.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，，猜想第n（n∈N+）个等式应为（ ）
A．9（n+1）+n=10n+9B．9（n－1）+n=10n－9
C．9n+（n－1）=10n－9D．9（n－1）+（n－1）=10n－10
【答案】B
【分析】根据所给的四个式子依次归纳出规律，从而可得结论
【详解】解：第1个等式：化为，
第2个等式：化为，
第3个等式：化为，
第4个等式：化为，
……，
由此可得第n（n∈N+）个等式应为，
故选：B
二、填空题
4．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）设，利用三角变换，估计在时的取值情况，猜想对x取一般值时的取值范围是____________．
【答案】
【分析】分别计算 的取值范围，数学归纳，猜想对任意x时 的取值范围.
【详解】当 时， ；
当 时，
， ；
当 时，
，
；
由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ；
故答案为：.
5．（2022·全国·高三专题练习）观察等式：；；；；…由以上几个等式的规律可猜想___________.
【答案】
【分析】通过对题中几组等式进行分析，找出规律，即可求得答案.
【详解】因为；；；.
所以可得，此类等式结果为“分母为，分子与左边最后一项的自变量分子相等”的分数.
故.
故答案为:
三、解答题
6．（2022·全国·高三专题练习）已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）写出这个数列的通项公式并加以证明.
【答案】（1）1，4，，，；（2）
【分析】（1）由和，依次可求出的值，
（2）观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an＝然后利用数学归纳法证明即可
【详解】(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前5项分别为1，4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立.
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
∴ak＋1＝＝·＝＝.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立.
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是
an＝.
∴这个数列的通项公式为an＝
考题
考点
考向
2022新高考2，第12题
基本不等式
利用基本不等式求最值
2020新高考1，第11题
不等式的概念和性质
比较大小