广东省江门市新会区三江镇初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

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1. 下列方程中，一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，依据一元二次方程的定义及一般形式：，即可；
【详解】由题知：A、，对照一元二次方程一般形式，缺少的条件，故不正确；
B、，对照一元二次方程的一般形式，未知数个数为2个，故不正确；
C、，对照一元二次方程的一般形式，完全满足条件，故正确；
D、，对照一元二次方程的一般形式，未知数位于分母上，故不正确；
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程定义及一般形式，关键在熟练掌握一元二次方程的形式和性质；
2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各项进行分析判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
3. 若方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以为（ ）
A. 1B. 0C. ﹣1D. ﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＝4﹣4×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4. 二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A. 向上，直线x＝4，（4，5）B. 向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C. 向上，直线x＝4，（4，﹣5）D. 向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【详解】解：二次函数y＝（x+4）2+5，
∵
∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5. 方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（ ）
A. ﹣1B. 1C. ﹣3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出x1+x2的值．
【详解】解：∵方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．
6. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．
【详解】∵∠ABC=20°，
∴∠AOC=40°，
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=40°，
∴∠AOB=80°，
故选D．
【点睛】此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC=40°．
7. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（ ）
A. AD=2OBB. CE=EOC. ∠OCE=40°D. ∠BOC=2∠BAD
【答案】D
【解析】
【详解】∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴ ，
∵∠BAD是所对的圆周角，∠COB是 所对的圆心角，
∴，
故选D.
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟记定理的内容并结合图形进行解题是关键.
8. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD，再应用勾股定理求出AB 的长；又由旋转的性质可得∠BAD=90°，最后再用勾股定理求解即可．
【详解】解：由旋转的性质得到： ∠BAD=90°
∴AE=AC= , BC=DE=1, AB=AD ，
∵∠ACB=90°
∴ AB=AD=
在Rt△BAD中,根据勾股定理得：
BD=
故填B.
【点睛】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键．
9. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A. x1＝1，x2＝3B. x1＝1，x2＝﹣3
C x1＝﹣1，x2＝3D. x1＝﹣1，x2＝﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标即为所求方程的解，即可求解．
【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
则x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系是解题的关键．
10. 半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A. 1B. 7C. 1或7D. 3或4
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．
【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．
11. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：D．
12. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出∠COD度数，再利用旋转角减去∠COD度数即可．
【详解】解：根据旋转的性质可知：∠C=∠A=110°，
在△COD中，∠COD=180°-110°-40°=30°．
∵旋转角∠AOC=88°，
∴∠α=88°-30°=58°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和三角形内角和定理，解题的关键是找准旋转角．
二、填空题（每小题4分共24分）
13. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2p＝0的一个根，则p＝__．
【答案】2．
【解析】
【分析】直接把代入方程运算求解即可．
【详解】把代入方程x2﹣3x﹣2p＝0，得（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣2p＝0，
解得p＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，直接代入方程的解是解题的关键．
14. 一元二次方程的两根是直角三角形的两直角边长，则这个直角三角形的面积为_____________ ；
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．解一元二次方程求得直角三角形的两直角边长，即可得出结果．
【详解】解：∴，
，
解得，
∴直角三角形的两直角边长分别为3和2，
这个直角三角形的面积为：．
故答案为：3．
15. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
【答案】（，0）
【解析】
【详解】∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，
∴点P和点Q关于直线对称，
又∵点P的坐标为（4，0），
∴点Q的坐标为（-2，0）．
故答案为（-2，0）．
16. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点的坐标是______．
【答案】（-4，3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，是解题的关键．
17. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
【答案】3
【解析】
【详解】由旋转的性质可得：AD=AB，
，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC−BD=7−4=3.
故答案为：3.
18. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定值，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．
【详解】解：方法一：连接OD，即OD为定值，
又∵OC2+CD2=OD2,
∴当OC最小的时，CD最大，
当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，
CD=AB=.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三、解答题
19. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟知几种解一元二次方程的方法，是解本题的关键．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）先将向下平移4个单位，得到；
（2）再将绕点逆时针旋转，得到．画出和．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点、、即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
小问2详解】
如图，为所作．
四、解答题
21. 随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）6万座；（2）.
【解析】
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量=目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G基站的数量是（万座）.
答：到2020年底，全省5G基站的数量是6万座.
（2）设年平均增长率为，由题意可得：
，
解得：，（不符合，舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22. 在 中，，，，点P 从点A 出发，沿边向点B以1cm/s 的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2 cm/s 的速度移动．如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
（1）设运动开始后第时，四边形 的面积是，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;
（2）t为何值时，S 最小?最小值多少?
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，动点问题的理解，对于（1），根据列出关系式即可；
对于（2），将二次函数关系式配方，再讨论极值即可．
【小问1详解】
根据题意可知，，
∴，
∴；
【小问2详解】
，
当时，．
五、解答题（每题12分，共24分）
23. 如图，内接于， ，，为的直径，， 求的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，然后求出，利用同弧所对的圆周角相等求出，根据圆内接四边形对角互补求出再根据等弦所对的圆周角相等求出，从而求出，解直角三角形求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．
24. 一名男生推铅球，铅球的行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系为，铅球行进路线如图．
（1）求出手点离地面的高度．
（2）求铅球推出的水平距离．
（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4．

【答案】（1）米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米
【解析】
【分析】(1)x=0得；
(2)令y=0得： ，解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离;
(3)把y=4代入，得，化简得，方程无解，即可求解.
【详解】(1)把x=0代入得：
；
答：出手点离地面的高度米
（2），
解得
∴铅球推出的水平距离为10米．
（3）把y=4代入，得，化简得，方程无解，
∴铅球的行进高度不能达到4米．
【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的基础知识.