湖北省武汉市培英中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

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1. 冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、不是轴对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．
2. 一个三角形两边长分别为3cm和4cm，则该三角形第三边可能是（ ）
A. 1cmB. 4cmC. 7cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
分析】根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可．
【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得：
，
结合选项可得，只有B选项符合．
故选B
【点睛】本题考查的是三角形边的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解题的关键是掌握三角形三边关系．
3. 下列各组条件中，可以判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A. AB=DE、AC=DF、BC=EFB. ∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F
C. AB=DE、AC=DF、∠C=∠FD. BC=EF、∠A=∠D
【答案】A
【解析】
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL，根据以上定理判断即可
【详解】解： A、符合全等三角形的判定定理SSS，即能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、只有角相等，不能判定△ABC≌△DFE，故本选项不合题意；
C、只满足SSA，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合题意；
D、只有一角一边两个条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL．
4. 一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，得出，再利用四边形内角和定理求出，即可．
【详解】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，，
∴．
故选B．
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理，利用四边形内角和定理是解决问题的关键．
5. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的内角和( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可求解．
【详解】解：多边形的边数为：，
多边形的内角和是：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角与边数的关系，以及多边形内角和公式，利用外角和为求出多边形的边数是解题的关键．
6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角的大小是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【详解】解：当该三角形为锐角三角形时，如图，
由题意可得：，则
则底角为，
当该三角形为钝角三角形时，如图，
由题意可得：，
则底角为，
综上可知该三角形的底角为或，
故选D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7. 如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角性质求．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵ ，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．
8. 东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）

A. 的角平分线与边上中线的交点
B. 的角平分线与边上中线的交点
C. 的角平分线与边上中线的交点
D. 的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得的面积的面积，的面积的面积，然后利用等式的性质可得的面积的面积，即可解答．
【详解】解：如图：作的平分线交于D，作的中线交于H，
∵平分，点H在上，
∴点H到、的距离相等，
∵是边上的中线，
∴的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
9. 如图，在一个的正方形网格中，为格点三角形（三角形的三个顶点都在网格格点上的三角形），在所给的网格中，与全等的格点三角形（除外）共有（ ）个
A. 35B. 31C. 27D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定知：在的网格中，与全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有的网格4个，即可得出答案．
【详解】解：如图，在的网格中，与全等的格点三角形一共有7个，
而网格中共有的网格4个，
∴共有个，
故选：B．
【点睛】本题是网格作图题，主要考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A. 2B. 2.5C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC，即有BC=BG，CD=DG，进而有AG=BC-AB=2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD=DG，可得，则△ACD的最大面积可求．
【详解】延长CD、BA，两者交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，如图，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
∵BD=BD，
∴△BDG≌△BDC，
∴BC=BG，CD=DG，
∵BC-AB=2，
∴AG=BC-AB=2，
∵在△AGC中，GH⊥AC，
∴△AGC的面积，
∵AC=5，
∴，
∵在△AGH中，GH⊥AH，
∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜边为AG，
∴GH＜AG，
∵AG=2，
∴GH＜2，
当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG，
此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，
∴△AGC的最大面积为：，
∵CD=DG，
∴D点为CG中点，
∴，
∴△ACD的最大面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大，是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________．
【答案】．
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标．
详解】解：∵点关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是__________．
【答案】17m
【解析】
【分析】由题意根据腰为7m或3m，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】解：当等腰三角形的腰为3m时，三边为3m，3m，7m，3+3=6<7，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为7m时，三边为3m，7m，7m，三边关系成立，周长为3+7+7=17m．
故答案为：17m．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系．注意已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.
13. 如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】延长至，使得，连接，先证明，由此可得，，再根据三角形存在性，求得，即得到边的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，
∵在中，为中线，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
又∵，，
∴，，
在中，
∵，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．
14. 在中，，作的平分线交于点．若，，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】过点D作DG⊥AB于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DG=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥AB于G，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DG=CD，
∴S△ABD=AB⋅DG=×10⋅DG=20，解得DG=4，
∴CD=DG=4．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解答本题的关键．
15. 如图，点，，共线，，，，，，则的值为___________．
【答案】7
【解析】
【分析】先证明，进而即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握证明三角形全等是关键．
16. 如图，三点在一条直线上，和均为正三角形，与交于点与交于点，与交于点，连接，以下结论正确的序号是__________．
①；②；③；④．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①是等边三角形，由可知，根据可证明，得到，又，可知是等边三角形，得到，由，得到，所以；②根据面积关系判断，③过点作于，于，由面积法可证，由面积关系可得，④可证，可得，由直角三角形的性质可得，由线段的和差关系可证，即可求解．
【详解】与都是等边三角形，
，，，
，
，，
即．
在和中，
，
．
．
在和中
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，故①正确；
过点作于，于，如图，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
∵
∴
∵
∴
∴
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
，
不是的角平分线，
到的距离不相等，
，
，故②不正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 如图，在中，，是边上的高，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和求得即可．
【详解】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴．
18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．
19. 如图，在△ABC中，△ABC的周长为26 cm，∠BAC＝140°，AB＋AC＝12 cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，与AB、AC分别交于点D、G求：
（1）∠EAF的度数；
（2）求△AEF的周长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，进而得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，然后计算即可；
（2）根据三角形的周长公式结合EA＝EB，FA＝FC计算即可．
【小问1详解】
解：∵∠BAC＝140°，
∴∠B＋∠C＝180°−140°＝40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵FG是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠BAC−（∠EAB＋∠FAC）＝∠BAC−（∠B＋∠C）＝140°−40°＝100°；
【小问2详解】
∵△ABC的周长为26cm，AB＋AC＝12cm，
∴BC＝26−12＝14cm，
∵EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝14cm．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20. 如图，在等边中，P为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，．求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等边三角形性质可得，设，从而可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得的度数，最后根据三角形的内角和定理、以及即可得；
（2）先同（1）的方法可得，过点作于点，根据含度角的直角三角形的性质求得，根据，然后根据等腰三角形的性质即可得．
【小问1详解】
解：是等边三角形，
，
设，则，
由轴对称的性质得：，
，
又，
，
，
当，即时，
则，
，
；
【小问2详解】
设，
由（1）已得：，
，
如图，过点作于点，
在中，，
，
,
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
21. 如图，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）直接写出的面积是__________；
（2）请在图中作出关于直线对称的；
（3）用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．
①过点作直线，使直线平分的面积；
②在边上确定一点，使．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据网格利用割补法即可求出△ABC面积；
（2）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的；
（3）①利用网格找到的中点，连接即可作直线,使直线平分的面积；
②利用网格作，连接交于点，即可使．
【小问1详解】
的面积
【小问2详解】
如图，即为所求；
【小问3详解】
①如图，直线即为所求；
②如图，作等腰，交于点，点即为所求．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，网格中画等腰三角形，三角形中线，掌握以上知识是解题的关键．
22. 在等腰中，，O为的中点．
（1）如图1，过O点作于D，于E，求证：；
（2）如图2，若M，N分别为，上的点，且，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接，由等腰三角形三线合一得到平分，再由角平分线的性质即可得到结论；
（2）连接，证明,即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，O为中点，
∴平分，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：连接，
∵，O为中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
即
在△AOM和△CON中
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
23. 定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________；
（2）如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得；
（2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得；
（3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可．
【小问1详解】
解：是中的遥望角，
平分，平分，
，，
，
，
又，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，

平分，，，
，
同理，
，
，，
平分，即，
，
；
【小问3详解】
证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，

，，，
，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，
平分，
是中的遥望角．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第三象限，点D在x轴上运动．
（1）如图1所示，当点的坐标为时，求点的坐标；
（2）如图2所示，点在线段上运动时，连接、，连接并延长与轴交于点，求点的坐标；
（3）如图3，设的边与轴交于点，与轴交于点，当点在线段上运动，且满足时，在线段上取点，且，连接交轴于点．下列结论：①；②为等腰三角形，其中只有一个结论是正确，请判断出正确的结论，并写出证明过程．
【答案】（1）
（2）
（3）结论②为等腰三角形是正确的；理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点E作轴于点F，证明，得出，，即可得出答案；
（2）过点E作轴于点F，根据解析（1）得出，得出，，证明，得出，证明
，得出，即可得出答案；
（3）在x轴上截取，连接，证明，，，再证明，从而证明，
得出，证明，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：过点E作轴于点F，如图所示：
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点在第三象限，
∴点E的坐标为：．
【小问2详解】
解：过点E作轴于点F，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴，，
∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为：．
【小问3详解】
解：结论②为等腰三角形是正确的；理由如下：
在x轴上截取，连接，如图所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，熟记全等三角形的判定方法，是解题的关键．