安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(原卷+解析)
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一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1. 计算:( )
A. 1B. C. 2D.
2. 抛物线先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( )
A. B. C. D.
3. 若双曲线的图象的一支位于第三象限,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 两个相似三角形的相似比是,则其面积之比是( )
A. B. C. D.
5. 已知C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列结论错误的是( )
A. AC2=BC·ABB. BC2=AC·ABC. D.
6. 如图,,是以为直径的半圆周的三等分点,,则阴影部分的面积是( )
A B. C. D.
7. 在中,点D,E分别在边,上,则在下列条件中,不能使得以A,D,E为顶点的三角形与相似的是( )
A B.
C. D.
8. 已知y关于x的函数表达式是y=ax2﹣2x﹣a,下列结论不正确的是( )
A. 若a=1,函数的最小值是﹣2
B. 若a=﹣1,当x≤﹣1时,y随x的增大而增大
C. 不论a为何值时,函数图象与x轴都有两个交点
D. 不论a为何值时,函数图象一定经过点(1,﹣2)和(﹣1,2)
9. 已知对于任意正整数n,都有a1+a2+a3+…+an=n3,则=( )
A. B. C. D.
10. 如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11. 已知,且,则的值为__________.
12. 抛物线与坐标轴的交点个数为______个.
13. 如图,以等腰顶点为圆心的与相切于点,并与、交于、两点,连接.若,且的长为,则的长为______.
14. 如图,矩形中,,点E在上,且,点F在边上运动,以线段为斜边在点B异侧作等腰直角三角形,连接,当最小时,的值为__.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15. 计算:
16. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的两点,与轴交于点,与轴交于点,点的坐标是,连接.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出当时,的取值范围.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17. 如图,在平面直角坐标系中,已知三个顶点的坐标分别是, , .
(1)以点为位似中心,将缩小为原来的得到,请在轴右侧画出;
(2) 的正弦值为 .
18. 观察点阵图中点与等式之间的关系,寻找规律.
①;
②;
③;
④;
…
按照你发现的规律解答下列问题:
(1)第⑥个等式是______;
(2)用含(为正整数)的等式表示第n个等式,并证明其正确性.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19. 某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片,如图所示的为无人机某次空中飞行轨迹,为延长线上一点,点,,,在同一平面内,,.若米,求的长.(结果保留整数,参考数据:,,,)
20. 如图,是的直径,C是圆上一点,,垂足为E,交于点D,点P在延长线上,连接、,且.
(1)求证:直线是的切线;
(2)若,,求点B到的距离.
六、(本题满分12分)
21. 如图,在中,,,,动点从点出发,在边上以每秒速度向点匀速运动,同时动点从点出发,在边上以每秒的速度向点匀速运动,设运动时间为秒,连接.
(1)若,求的值;
(2)若以为顶点的三角形与相似,求的值.
七、(本题满分12分)
22. 如图,抛物线经过点、.是线段上一动点(点不与、重合),过点作轴的垂线交抛物线于点,交线段于点.过点作,垂足为点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)试求线段的长关于点的横坐标的函数解析式,并求出的最大值.
八、(本题满分14分)
23. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,点P是AC边上的一个动点,延长DP到点E,使∠CAE=∠CDE,作∠DCG=∠ACE,其中G点在DE上.
(1)如图1,若∠B=45°,则= ;
(2)如图2,若∠DCG=30°,,求:= ;
(3)如图3,若∠ABC=60°,延长CG至点M,使得MG=GC,连接AM,BM.在点P运动的过程中,探究:当的值为多少时,线段AM与DM的长度之和取得最小值?
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