浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）精品同步练习题

这是一份浙教版八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）精品同步练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，且x1+x2=5，x1·x2=6，则该一元二次方程是
( )
A. x2+5x+6=0B. x2−5x+6=0C. x2−6x+5=0D. x2−6x−5=0
2.已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为( )
A. −3B. −1C. −3或1D. −1或3
3.x=l是关于x2+mx−5=0的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. 5B. −5C. 4D. −4
4.若α，β(α≠β)是一元二次方程x2−5x−24=0的根，则α+β的值为( )
A. −5B. 5C. 24D. −24
5.已知方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12−2021x2的值为( )
A. 1B. −1C. 2021D. −2021
6.若关于x一元二次方程ax2−2ax+3=0(a≠0)的根为x1，x2，则下面成立的是( )
A. x1+x2= 2B. x1+x2=−2C. x1·x2=3D. x1·x2=−3
7.若m，n是一元二次方程x2+4x−9=0的两个根，则m2+5m+n的值是
( )
A. 4B. 5C. 6D. 12
8.关于x的方程(x−1)(x−2)−m2=0的根的情况是
( )
A. 有一正一负两个不相等的实数根B. 有两个正的不相等实数根
C. 至多有一个正的实数根D. 至少有一个正的实数根
9.若m、n是方程2x2−3x−1=0的两个根，则4m3−6m2+2n+2023的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
10.若方程x2=4x的两根为x1，x2，则x1+x2的值是
( )
A. 4B. 8C. 16D. 32
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知关于x的方程x2−(2m−1)x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为 ．
12.设a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，则a2+3a+b的值为 ．
13.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0的两根分别记为x1，x2，若x1=−1，则a−x12−x22= ．
14.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2x+k=0的两个实数根，且x12+x22−x1x2=5，则k的值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知关于x的方程2x2−8x+k=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值．
16.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若x1，x2满足x1+x2=−x1x2，求k的值．
17.(本小题8分)
已知a，b满足a2−15a=5，12b2=7.5b+2.5，求ab+ba的值．
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2m−2)x+(m2−2m)=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
20.(本小题8分)
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.这个结论课本上称为一元二次方程根与系数的关系，因为是法国数学家韦达发现的，人们又称它为“韦达定理”.请你证明这个定理；
(2)若一元二次方程3x2−9x−8=0的两个实数根分别为x1，x2，求3x12+9x2+5的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q.根据方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据(x1+1)(x2+1)=3和方程的根的判别式，即可求出m的值．
【解答】
解：∵方程x2−(2m−1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=2m−1，x1x2=m2，
∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=3，
∴m2+2m−1+1=3，
解得：m1=1，m2=−3，
∵方程有两实数根，
∴Δ=−(2m−1)2−4×1×m2⩾0，
即m≤14，
∴m1=1(不合题意，舍去)，
∴m=−3．
3.【答案】B
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得1×t=−5，
解得t=−5，
所以方程的另一个根为−5．
故选：B．
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得1×t=−5，然后解关于t的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
4.【答案】B
【解析】解：∵α，β是一元二次方程x2−5x−24=0的根，
∴α+β=5，
故选：B．
直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若x1，x2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2021，x12−2021x1+1=0，x22−2021x2+1=0，
∵x2≠0，
∴x2−2021+1x2=0，
∴−1x2=x2−2021，
∴−2021x2=2021x2−20212，
∴x12−2021x2=2021x1−1+2021x2−20212
=2021(x1+x2)−1−20212
=20212−1−20212
=−1．
故选：B．
由题意得出x1+x2=2021，x12−2021x1+1=0，x22−2021x2+1=0，将代数式变形后再代入求解即可．
本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【解答】
解：∵关于x一元二次方程ax2−2ax+3=0(a≠0)的根为x1，x2，
∴x1+x2=−−2aa=2，x1⋅x2=3a，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】D
【解析】解：方程整理得：x2−3x+2−m2=0，
∵Δ=9−4(2−m2)=4m2+1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵方程的两个根和为3>0，
∴至少有一个正的实数根，
故选：D.
方程整理后，表示出根的判别式，然后根据根与系数的关系判断即可．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵m是方程2x2−3x−1=0的根，
∴2m2−3m=1，
∴4m3−6m2=2m，
∵m、n是方程2x2−3x−1=0的两个根，
∴m+n=32，
∴4m3−6m2+2n+2023=2(m+n)+2023=3+2023=2026．
故选：D．
利用一元二次方程解的定义以及根与系数的关系求解即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
先变形为一般形式，再根据根与系数的关系即可得到．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
【解答】
解：原方程变为：x2−4x=0
∴x1+x2=4．
11.【答案】−3
【解析】略
12.【答案】18
【解析】∵a是方程x2+2x−20=0的实数根，
∴a2+2a−20=0，
∴a2+2a=20，
∵a，b是方程x2+2x−20=0的两个实数根，
∴a+b=−2，
∴a2+3a+b=a2+2a+a+b=20−2=18．
13.【答案】−7
【解析】略
14.【答案】−13
【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2x+k=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1x2=k，
∵x12+x22−x1x2=5，
∴x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=4−3k=5
解得 k=−13 ，
经检验， k=−13 符合题意，
故答案为： −13 ．
15.【答案】方程的另一根是2，k的值是8
【解析】略
16.【答案】【小题1】
k>34
【小题2】
2

【解析】1. 略
2. 略
17.【答案】解：∵a，b满足a2−15a=5，12b2=7.5b+ 2.5，
即a，b满足a2−15a−5=0，b2−15b−5=0，
∴当a=b时，ab+ba=2；
当a≠b时，可将a、b看作方程x2−15x−5=0的两个根．
由根与系数的关系，得a+b=15，ab=−5，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=235，
∴ab+ba=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=235−5=−47，
∴ab+ba的值为2或−47．
【解析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q.由a，b满足a2−15a−5=0，b2−15b−5=0，可分别从a=b与a≠b去分析求解，注意当a≠b，则a，b是关于x得方程x2−15x−5=0的两根，再利用根与系数的关系，即可求得答案．
18.【答案】【小题1】
由题意可知：
△=(2m−2)2−4(m2−2m)
=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【小题2】
∵x1+x2=2m−2，x1x2=m2−2m，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=10，
∴(2m−2)2−2(m2−2m)=10，
∴m2−2m−3=0，
∴m=-1或m=3

【解析】1.
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
2.
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
19.【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴△=(2m)2−4(m2+m)≥0，解得m≤0，即m的取值范围是m≤0.(2)由题意得x1+x2=−2m，x1⋅x2=m2+m，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2m)2−2(m2+m)=12，整理得m2−m−6=0，解得m1=3，m2=−2，由(1)知，m≤0，∴m=−2，即m的值为−2．
【解析】见答案
20.【答案】【小题1】
证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1=−b+ b2−4ac2a， x2=−b− b2−4ac2a，
∴x1+x2=−b+ b2−4ac2a+−b− b2−4ac2a=−ba，x1⋅x2=−b+ b2−4ac2a⋅−b− b2−4ac2a=(−b)2− b2−4ac24a2=ca．
【小题2】
40

【解析】1. 略
2. 略