备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点10 对数与对数函数10种常见考法归类（原卷版+解析）

这是一份备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点10 对数与对数函数10种常见考法归类（原卷版+解析），共69页。试卷主要包含了对数的运算，换底公式的应用，对数型函数的定义域和值域，对数函数的图象及应用，对数函数的单调性，对数函数的最值，对数函数的奇偶性，反函数等内容，欢迎下载使用。
考点一 对数的运算
考点二 换底公式的应用
考点三 对数型函数的定义域和值域
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
（三）对数型函数恒过定点问题
（四）对数函数图象应用
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
（二）比较对数式的大小
（三）解不等式
（四）由函数的单调性求参数
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
（二）根据最值求参数
（三）函数的最值与不等式的综合问题
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
（二）已知函数奇偶性求值
（三）由函数的奇偶性求解析式
（四）已知函数的奇偶性求参数
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
考点八 反函数
考点九 对数函数的综合问题
考点十 对数函数的实际应用
1、指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2、对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3、对数的性质和运算法则：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)对数换底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg ”后再求解．
5、对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
7、利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
8、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
(2)对数函数的图象
注：对数函数常用技巧
(1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(2)对数函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝lgax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(3)作对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ）
9、反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
10、判断一个函数是对数函数的方法
11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
12、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
14、比较对数式大小的常见类型及解题方法
15、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
16、形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
71．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
（二）已知函数奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
73．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______.
74．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
75．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
76．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（ ）
A．B．0C．2D．4
（三）由函数的奇偶性求解析式
77．（2023·全国·高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
78．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
（四）已知函数的奇偶性求参数
79．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____．
80．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________.
82．（2023·内蒙古包头·二模）若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
83．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
84．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）若函数是偶函数，则_______，____.
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
85．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
86．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______．
87．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________.
88．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
考点八 反函数
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则___________.
90．（2023·全国·高三对口高考）若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________．
91．（2023·全国·高三专题练习）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.
考点九 对数函数的综合问题
92．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是B．有最大值
C．不等式的解集是D．在上单调递增
93．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）函数，则（ ）
A．f(x)的定义域为R B．值域为
C．为偶函数D．在区间上是增函数
94．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.
95．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．2023
考点十 对数函数的实际应用
96．（2023·北京·高三专题练习）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
97．（2023·河南·校联考模拟预测）我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（ ）
A．100B．115C．230D．345
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（ ）
A．1.53hB．1.60hC．1.75hD．2.33h
99．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司penAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72B．74C．76D．78
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
考点10 对数与对数函数10种常见考法归类
考点一 对数的运算
考点二 换底公式的应用
考点三 对数型函数的定义域和值域
考点四 对数函数的图象及应用
（一）判断对数函数图象的形状
（二）根据对数型函数图象判断参数的范围
（三）对数型函数恒过定点问题
（四）对数函数图象应用
考点五 对数函数的单调性
（一）判断函数的单调性
（二）比较对数式的大小
（三）解不等式
（四）由函数的单调性求参数
考点六 对数函数的最值
（一）求函数的最值
（二）根据最值求参数
（三）函数的最值与不等式的综合问题
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
（二）已知函数奇偶性求值
（三）由函数的奇偶性求解析式
（四）已知函数的奇偶性求参数
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
考点八 反函数
考点九 对数函数的综合问题
考点十 对数函数的实际应用
1、指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2、对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
3、对数的性质和运算法则：
(1)；；其中且；
(2)(其中且，)；
(3)对数换底公式：；
(4)；
(5)；
(6)，；
(7)和；
(8)；
4、利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg ”后再求解．
5、对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
6、利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
7、利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
8、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
(2)对数函数的图象
注：对数函数常用技巧
(1)底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(2)对数函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝lgax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(3)作对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，(1，0)，(a，1).
(4)在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)（对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ）
9、反函数
一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
10、判断一个函数是对数函数的方法
11、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
12、对数函数图象的变换方法
(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x0)的图象关于y轴对称．
(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．
(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．
13、利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解．
14、比较对数式大小的常见类型及解题方法
15、对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．
16、形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法
与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．
(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．
(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．
(3)当底数00，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出实数a的取值范围．
【详解】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，
即a＜（）min=，
∴1＜a＜；
当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，
即a＞（）max=4（舍去），
综上，a的取值范围是（1，）．
故答案为（1，）．
【点睛】不等式恒成立问题往往通过“参变分离”转化为函数的最值问题，属于中档题.
考点七 对数函数的奇偶性
（一）判断函数的奇偶性
71．（2023·高三课时练习）已知函数（）.
(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；
(2)用定义证明函数在上是严格增函数；
(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.
【答案】(1) ，是奇函数
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可；
（2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案.
【详解】（1）解：令，解得，所以.
对任意，，
所以函数是奇函数.
（2）解：设，且，则.
因为，，，
所以，得.
又，于是，即，
所以函数在上是严格增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.
因为时，的值域是，
所以且在上的值域是，
因为在上单调递减，
所以，且，
所以，由，得，解得或（舍去），
所以，.
（二）已知函数奇偶性求值
72．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．
【答案】
【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案
【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，
所以，
又，且当时，，
所以，
故答案为：.
73．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数的图象关于y轴对称，当时，，则的值为______.
【答案】
【分析】根据题意推得，结合题意和，即可求解.
【详解】因为函数的图象关于y轴对称，可得，所以，所以.
故答案为：
74．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
75．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，
设，则的定义域为，
，
则，所以是奇函数，
则，
又因为正实数满足，
所以，
，
当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
76．（2023春·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和.
【详解】已知，
，
则，函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则
则在定义域内为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
则的最大值为，最小值为
所以，
故选：C.
（三）由函数的奇偶性求解析式
77．（2023·全国·高三专题练习）已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________．
【答案】1
【分析】利用奇函数的性质求出在的解析式，通过求导求出的单调性即可求出答案.
【详解】，，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以当，，，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，所以.
所以当时，的最小值为1.
故答案为：1.
78．（2023·全国·高三专题练习）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.
【答案】
【分析】由已知求得时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，利用直线方程的斜截式得答案.
【详解】解：设，则，
又为奇函数，∴，
则，∴，
又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即切线方程是.
故答案为：.
（四）已知函数的奇偶性求参数
79．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）若函数是R上的奇函数，则a的值为_____．
【答案】．
【解析】由奇函数的定义求解．
【详解】∵是奇函数，∴，
恒成立，∴，
时，的定义域均为，满足题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．
80．（2023·广东潮州·统考二模）已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.
【答案】
【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.
【详解】对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，即，
即，解得.
故答案为：.
81．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是自然数，)是奇函数，则实数的值为___________.
【答案】
【分析】根据对数运算法则化简解析式，确定函数定义域，求解，根据奇函数得，即可求得的值.
【详解】解：函数的定义域满足，解得或，即定义域为，
所以，
因为是奇函数，所以，则，
则；
故答案为：.
82．（2023·内蒙古包头·二模）若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解.
【详解】若是奇函数，可得，
则
，
可得，解得，所以.
故选：A.
83．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
【答案】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.
【详解】因为函数（a，且）是偶函数，
则函数对定义域内任意实数恒有成立，
即，整理得，
，显然不恒为0，因此恒成立，
而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，
此时，其定义域为且，
，即函数是偶函数，所以，.
故答案为：；
84．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）若函数是偶函数，则_______，____.
【答案】
【分析】由可得.根据偶函数定义域的对称性，即可得出.求出并化简可得，根据偶函数的性质，即可得出恒等式，即可得出.
【详解】由可得.
当，即时，该不等式解集为.
因为函数是偶函数，
则由偶函数的性质，可得定义域关于原点对称，所以，所以，
定义域为；
当，即时，该不等式解集为，不满足题意，舍去；
当，即时，该不等式解集为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，舍去.
综上所述，.
所以.
又，
由可知，，
所以有.
因为，所以，所以.
故答案为：；.
（五）函数的奇偶性与单调性的综合
85．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可转化为自变量的大小关系进行求解.
【详解】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,
故选：C
86．（2023·高三课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，利用偶函数的性质以及可得出，利用对数函数的单调性可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，对任意的，，
所以，函数为偶函数，
当时，，故函数在上为增函数，
由可得，
所以，，则，所以，，解得.
故答案为：.
87．（2023·全国·高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由题意，求出的值，根据函数单调性的性质判断的单调性，利用单调性即可求解.
【详解】解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数，
所以，易知为R上的增函数，
所以不等式等价于，
所以，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
88．（2023·全国·高三专题练习）设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】因为是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，即 且 ，
解得取值范围为.
故答案为：
考点八 反函数
89．（2023·全国·高三专题练习）函数的反函数为，则___________.
【答案】
【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解.
【详解】设，则点在函数的图象上，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
90．（2023·全国·高三对口高考）若函数的反函数的图像过点，则实数m的值为_______________．
【答案】1
【分析】由题意可知函数图像过的点，把点代入函数解析式，可求实数m的值.
【详解】函数的反函数的图像过点，所以函数图像过点，则，解得．
故答案为：1
91．（2023·全国·高三专题练习）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是________.
【答案】
【分析】由指对数的关系易知定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间.
【详解】因为与互为反函数，
所以在定义域上为增函数，
又，在上递减，上递增，
综上，在上为减函数.
故答案为：.
考点九 对数函数的综合问题
92．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．的定义域是B．有最大值
C．不等式的解集是D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。
【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；
，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；
因为在上单调递减，所以D错误．
故选：AB.
93．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）函数，则（ ）
A．f(x)的定义域为R B．值域为
C．为偶函数D．在区间上是增函数
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于函数，
由于恒成立，所以的定义域为，A选项正确.
，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，B选项错误.
由于，所以为偶函数，C选项正确.
对于函数，
任取，
，
由于，所以，
所以在区间上递增.
当时，令，则在区间上递增，
根据复合函数单调性同增异减可知在区间上是增函数，D选项正确.
故选：ACD
94．（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则的值为______.
【答案】2
【分析】设数列公比为q，由题有，后由对数运算性质及等比数列通项公式可得答案.
【详解】设数列公比为q，则，则
.
故答案为：2
95．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．2023
【答案】A
【分析】根据与的关系，可推得数列是等比数列，进而得出的表达式，即可求出，代入对数式，根据对数的运算，即可得出答案.
【详解】因为，即.
当时，，即；
当时，，
所以，
所以.
又，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
考点十 对数函数的实际应用
96．（2023·北京·高三专题练习）在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为dB），是基准声压为，P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240对应的听觉下限阈值为20，1000对应的听觉下限阈值为0，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20的声音，30~100的低频比1000~10000的高频更容易被人们听到.
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.
C．240的听觉下限阈值的实际声压为0.002.
D．240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍.
【答案】D
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A， 30~100的低频对应图像的听觉下限阈值高于20，1000~10000的高频对应的听觉下限阈值低于20，所以对比高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240对应的听觉下限阈值为20，，
令，此时，故C错误；
对于D，1000的听觉下限阈值为0，
令，此时，所以240的听觉下限阈值的实际声压为1000的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确.
故选：D.
97．（2023·河南·校联考模拟预测）我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（ ）
A．100B．115C．230D．345
【答案】B
【分析】根据指数与对数的联系计算即可.
【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．
故选：B
98．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（ ）
A．1.53hB．1.60hC．1.75hD．2.33h
【答案】D
【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.
【详解】依题意，，则，
设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，
所以.
故选：D
99．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司penAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72B．74C．76D．78
【答案】B
【分析】由题意得出该指数衰减的学习率模型，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，
当时，，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），得
，
，
，
，
因为，
所以，故G取74，
故选：B．
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较