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《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.4等差数列(B)（原卷版+解析）
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这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.4等差数列(B)（原卷版+解析），共21页。试卷主要包含了4等差数列，5尺B．2等内容，欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则 （ ）
A．B．C．D．2
4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（ ）
A．11B．1C．约等于1D．2
5．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．450C．4700D．5700
8．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（ ）
A．数列是单调递减数列
B．
C．数列的公差的取值范围是
D．当时，
12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．存在等差数列，使得其前n项和
C．存在等差数列，使得其前n项和
D．对任意的
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.
14．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.
15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.
20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前10项和．
21．（2022·贵州遵义·高三期中（文））在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
22．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列中，
(1)求数列的前n项和的最大值
(2)求数列的前n项和为.
专题4.4等差数列(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【答案】A
【分析】利用等差数列的定义即可求解.
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，
则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，
则，解得，
故选:A．
2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
所以，
又，
所以公差，
由得：，
故
故选：B
3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则 （ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据等差中项结合前n项和运算求解.
【详解】∵数列与均为等差数列，则，
∴，即.
故选：B.
4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（ ）
A．11B．1C．约等于1D．2
【答案】B
【分析】首先求数列的通项公式，再根据的意义，求的值.
【详解】，解得：，
所以，，
所以.
故选：B
5．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列为等差数列，利用求和公式求得首项与公差，进而可得.
【详解】由数列为等差数列，则，
解得，
则，
解得或，
又，所以，
故选：B.
6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.
【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，
则.
故选：B.
7．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．450C．4700D．5700
【答案】C
【分析】设等差数列{}的公差为，根据已知条件求得，即可求得答案
【详解】设等差数列{}的公差为，
所以，解得，
所以，，
所以，
故选；C
8．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可
【详解】因为，，
所以，
数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，
所以故A错误，BC正确；
设数列中的第项是数列中的第项，
则，
所以当时，，故，所以D正确，
故选：BCD
11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（ ）
A．数列是单调递减数列
B．
C．数列的公差的取值范围是
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由，可知，得A正确；由可知B错误；利用，，结合等差数列通项公式可构造不等式组求得的范围，知C正确；由可确定D正确.
【详解】对于A，，，，，
公差，数列为递减数列，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，，
又，为递减数列，当时，，D正确.
故选：ACD.
12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．存在等差数列，使得其前n项和
C．存在等差数列，使得其前n项和
D．对任意的
【答案】CD
【分析】首先根据题意得到的通项公式，再利用累加法得到的通项公式，然后逐项计算判断即可.
【详解】由，的首项为，公差为1，所以，即，所以，
解得.故A不对.
等差数列的前项和，因此B不正确；
，为等差数列的前项和，因此，故C正确.
因为，所以，所以即.故D正确.
故选：CD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.
【答案】8
【分析】用基本量表示题干条件，求得通项公式，由与的等差中项为代入计算即可.
【详解】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，
又，，
故，解得，
故，
故与的等差中项为.
故答案为：8
14．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.
【答案】
【分析】根据已知条件求得等差数列的公差，由求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
，
由，解得，由于，
所以取的最大值时，的值为.
故答案为：
15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
【答案】153
【分析】根据已知数，求出其规律即可求解结论．
【详解】解：因为：1，
，
，
，
；
即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；
所以：；
第9个六边形数为：．
故答案为：153．
16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
【答案】100
【分析】先判定正项数列为等差数列，利用等差数列的性质得到，再利用均值定理即可求得的最大值
【详解】正项数列为“调和数列”，则可令（为常数），
则正项数列为等差数列，公差为
则
则，则
则（当且仅当时等号成立）
则的最大值是100
故答案为：100
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的前项和以及通项公式列方程即可求解；
（2）由，结合二次函数的性质即可求得最值.
（1）
根据等差数列的性质，，故，
设等差数列的公差为，则由,
可得，
整理得，解得或（舍），
∴.
（2）
∵，，
∴.
，∴在或处取得最小值，
且最小值为.
18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设条件结合等差数列定义和前项和即可得出；
（2）利用裂项相消法即可求得，根据的表达式可较易证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∵，即，解得，
所以.
（2）证明：由（1）知：，
，
，越大，越大，故是递增数列，∴，
而，故.
19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）解：数列中，为的前项和，，①，
当时，，解得；
当时，②，
①②得③，
所以④，
由③④得，
所以数列为等差数列，
所以公差，
所以．
（2）解：由（1）可得，所以，
所以，
所以.
20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前10项和．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）由已知递推关系求出数列前几项，易得，利用已知递推关系得出与的关系即得与的关系，从而证明是等差数列；
（2）用分组求和法求．
（1）
由定义，，，，，，，，，，，
所以，，，
，
所以，所以是等差数列，公差为；
（2）
由（1），，
，
．
21．（2022·贵州遵义·高三期中（文））在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质，设出相应的基本量，列出相应的方程即可求出；
（2）利用裂项相消求和法进行求解即可.
【详解】（1）方法1：选①和③
，整理得，设等差数列的公差为，则有
，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，设等差数列的公差为，则有
，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
22．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列中，
(1)求数列的前n项和的最大值
(2)求数列的前n项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得通项公式，然后利用求和公式及二次函数的性质即得；
（2）根据通项公式可得各项的正负，然后结合等差数列求和公式即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
∴，
所以，
对称轴为，又，
所以时，最大，最大值为；
（2）因为，
令，得，
∴当，时，，当，时，，
当，时，
；
当，时，
，
∴.
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则 （ ）
A．B．C．D．2
4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（ ）
A．11B．1C．约等于1D．2
5．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．450C．4700D．5700
8．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（ ）
A．数列是单调递减数列
B．
C．数列的公差的取值范围是
D．当时，
12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．存在等差数列，使得其前n项和
C．存在等差数列，使得其前n项和
D．对任意的
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.
14．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.
15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.
20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前10项和．
21．（2022·贵州遵义·高三期中（文））在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
22．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列中，
(1)求数列的前n项和的最大值
(2)求数列的前n项和为.
专题4.4等差数列(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【答案】A
【分析】利用等差数列的定义即可求解.
【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，
则夏至到处暑增加4d，立夏到夏至减少3d，夏至的晷长为x，
则，解得，
故选:A．
2．（2022·山西省长治市第二中学校高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
所以，
又，
所以公差，
由得：，
故
故选：B
3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列与的前n项和分别为，且，则 （ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据等差中项结合前n项和运算求解.
【详解】∵数列与均为等差数列，则，
∴，即.
故选：B.
4．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））设为等差数列的前项和，且,．记，其中表示不超过的最大整数，如，则的值为（ ）
A．11B．1C．约等于1D．2
【答案】B
【分析】首先求数列的通项公式，再根据的意义，求的值.
【详解】，解得：，
所以，，
所以.
故选：B
5．（重庆市2023届高三上学期11月调研数学试题）设等差数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数列为等差数列，利用求和公式求得首项与公差，进而可得.
【详解】由数列为等差数列，则，
解得，
则，
解得或，
又，所以，
故选：B.
6．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.
【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，
则.
故选：B.
7．（2020·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列{}的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．450C．4700D．5700
【答案】C
【分析】设等差数列{}的公差为，根据已知条件求得，即可求得答案
【详解】设等差数列{}的公差为，
所以，解得，
所以，，
所以，
故选；C
8．（2022·四川·成都市新津区成实外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】设等差数列的公差为，
A选项，若，，，，则，
，则，
，无法判断符号，A选项错误.
B选项，，则，
所以，所以.
，则，
所以，，B选项正确.
C选项，若，，，
，则，
，则，
则，，C选项错误.
D选项，若，，则，
当时，所以，
但，所以D选项错误.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断.
【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为．
由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立；
若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立．
故选：ABC．
10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可
【详解】因为，，
所以，
数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，
所以故A错误，BC正确；
设数列中的第项是数列中的第项，
则，
所以当时，，故，所以D正确，
故选：BCD
11．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知无穷等差数列的首项为，它的前项和为，且，，则（ ）
A．数列是单调递减数列
B．
C．数列的公差的取值范围是
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由，可知，得A正确；由可知B错误；利用，，结合等差数列通项公式可构造不等式组求得的范围，知C正确；由可确定D正确.
【详解】对于A，，，，，
公差，数列为递减数列，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，，，
又，为递减数列，当时，，D正确.
故选：ACD.
12．（2022·广东·广州六中高三阶段练习）己知数列是公差为1的等差数列，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．存在等差数列，使得其前n项和
C．存在等差数列，使得其前n项和
D．对任意的
【答案】CD
【分析】首先根据题意得到的通项公式，再利用累加法得到的通项公式，然后逐项计算判断即可.
【详解】由，的首项为，公差为1，所以，即，所以，
解得.故A不对.
等差数列的前项和，因此B不正确；
，为等差数列的前项和，因此，故C正确.
因为，所以，所以即.故D正确.
故选：CD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.
【答案】8
【分析】用基本量表示题干条件，求得通项公式，由与的等差中项为代入计算即可.
【详解】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，
又，，
故，解得，
故，
故与的等差中项为.
故答案为：8
14．（2022·北京市第十一中学实验学校高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，则取最大值时，n的值为______.
【答案】
【分析】根据已知条件求得等差数列的公差，由求得正确答案.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
，
由，解得，由于，
所以取的最大值时，的值为.
故答案为：
15．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．
【答案】153
【分析】根据已知数，求出其规律即可求解结论．
【详解】解：因为：1，
，
，
，
；
即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；
所以：；
第9个六边形数为：．
故答案为：153．
16．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是________.
【答案】100
【分析】先判定正项数列为等差数列，利用等差数列的性质得到，再利用均值定理即可求得的最大值
【详解】正项数列为“调和数列”，则可令（为常数），
则正项数列为等差数列，公差为
则
则，则
则（当且仅当时等号成立）
则的最大值是100
故答案为：100
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的前项和以及通项公式列方程即可求解；
（2）由，结合二次函数的性质即可求得最值.
（1）
根据等差数列的性质，，故，
设等差数列的公差为，则由,
可得，
整理得，解得或（舍），
∴.
（2）
∵，，
∴.
，∴在或处取得最小值，
且最小值为.
18．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）设是等差数列的前项和，已知：
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设条件结合等差数列定义和前项和即可得出；
（2）利用裂项相消法即可求得，根据的表达式可较易证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
∵，即，解得，
所以.
（2）证明：由（1）知：，
，
，越大，越大，故是递增数列，∴，
而，故.
19．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中数学理科试题）数列中，为的前项和，，.
(1)求证: 数列是等差数列，并求出其通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）解：数列中，为的前项和，，①，
当时，，解得；
当时，②，
①②得③，
所以④，
由③④得，
所以数列为等差数列，
所以公差，
所以．
（2）解：由（1）可得，所以，
所以，
所以.
20．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知数列满足，
(1)若数列为数列的奇数项组成的数列，为数列的偶数项组成的数列，求出，并证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前10项和．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）由已知递推关系求出数列前几项，易得，利用已知递推关系得出与的关系即得与的关系，从而证明是等差数列；
（2）用分组求和法求．
（1）
由定义，，，，，，，，，，，
所以，，，
，
所以，所以是等差数列，公差为；
（2）
由（1），，
，
．
21．（2022·贵州遵义·高三期中（文））在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．
(1)求；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的性质，设出相应的基本量，列出相应的方程即可求出；
（2）利用裂项相消求和法进行求解即可.
【详解】（1）方法1：选①和③
，整理得，设等差数列的公差为，则有
，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，
方法2：选①和②
，，所以，，设等差数列的公差为，则有，
化简得，解得，，则，
方法3：选②和③，
，可得，，设等差数列的公差为，则有
，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.
（2），
22．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列中，
(1)求数列的前n项和的最大值
(2)求数列的前n项和为.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得通项公式，然后利用求和公式及二次函数的性质即得；
（2）根据通项公式可得各项的正负，然后结合等差数列求和公式即得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
∴，
所以，
对称轴为，又，
所以时，最大，最大值为；
（2）因为，
令，得，
∴当，时，，当，时，，
当，时，
；
当，时，
，
∴.
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