《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.5等比数列(A）（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.5等比数列(A）（原卷版+解析），共15页。试卷主要包含了5等比数列(A）等内容，欢迎下载使用。

第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2019·陕西·安康市教学研究室二模（文））若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（ ）
A．18B．36C．54D．162
2．（2022·吉林·长春外国语学校高三期中）等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（北京市通州区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）某商品自上市后前两年价格每年递增，第三年价格下降了，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是（ ）
A．下降了B．增加了
C．下降了D．增加了
4．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知2，，成等比数列，则a的值为（ ）
A．2B．4C．2或4D．无法确定
6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知等比数列的公比，前n项和为，，，则=（ ）
A．29B．30C．31D．32
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
10．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
11．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.
A．数列 是等比数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列
D．数列 是递增数列
12．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项比公差多B．数列的首项比公差少
C．数列的首项为D．数列的公比为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
14．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列满足.则通项公式________．
15．（2020·广东·高三学业考试）设等比数列的前n项各为，已知，，则___________.
16．（2021·河南·安阳37中高一期末）设等比数列满足，，则_____．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知，．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前5项和．
18．（2022·上海·华师大二附中高二期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.
(1)求公差的值；
(2)求.
19．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
20．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
21．（2022·四川·遂宁中学高三阶段练习（理））已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
22．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））在等比数列{}中，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn．
专题4.5等比数列(A）
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2019·陕西·安康市教学研究室二模（文））若一个等比数列的公比为3，且首项为2，则该数列的第4项为（ ）
A．18B．36C．54D．162
【答案】C
【分析】由已知利用等比数列的通项公式即可求解
【详解】若等比数列的首项为，公比为，则它的通项，
由已知可得：，，
则该数列的第4项．
故选：C．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高三期中）等比数列4，x，9，…，则实数x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义列方程求即可.
【详解】因为数列4，x，9，…为等比数列，所以数列4，x，9为等比数列，所以，所以，C正确，故选：C.
3．（北京市通州区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题）某商品自上市后前两年价格每年递增，第三年价格下降了，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是（ ）
A．下降了B．增加了
C．下降了D．增加了
【答案】C
【分析】前两年的价格按照等比数列计算，第三年的价格按照百分数单位一计算.
【详解】设上市时的价格为x，则由题意：第二年的价格为 ，第三年的价格为 ，
，所以是下降了 ；
故选：C.
4．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的条件，利用等比数列通项公式求解作答.
【详解】数列中，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列，
所以.
故选：D
5．（2022·甘肃省临洮中学高二阶段练习）已知2，，成等比数列，则a的值为（ ）
A．2B．4C．2或4D．无法确定
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质进行求解即可.
【详解】依题意，，故，解得a＝2．
故选：A
6．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（理））数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解
【详解】，则
又因为，所以
所以为等比数列
当时，；当时，
故选：C
7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知等比数列的公比，前n项和为，，，则=（ ）
A．29B．30C．31D．32
【答案】C
【分析】根据给定条件，列式求出公比即可计算作答.
【详解】等比数列的公比，由，，得，解得，
所以.
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】先根据与的关系得到，设出公比，列出方程组，求出公比.
【详解】因为，
所以
设公比为q，可得：，
两式相除得：
故选：A
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）下列数列是等比数列的是（ ）．
A．1，1，1，1，1B．0，0，0，0，…
C．，，，…D．，，1，，…
【答案】AC
【详解】解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确；
B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误；
C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确；
D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误.
故选：AC.
10．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高二期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若p，q为实数，则是等比数列
B．若数列的前项和为，则，，成等差数列
C．若数列的公比，则数列是递增数列
D．若数列的公差，则数列是递减数列
【答案】BD
【分析】由等差、等比数列及其前n项和性质直接判断可得.
【详解】取，，显然A不正确；由等差数列片段和性质知B正确；取，易知，但为递减数列，故C不正确；若，则由等差数列定义知，故数列是递减数列，D正确.
故选：BD.
11．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知等比数列 ，=1， ，则（ ）.
A．数列 是等比数列
B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列
D．数列 是递增数列
【答案】ACD
【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小.
【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确；
，数列 是递增的等差数列，故C，D正确.
故选：ACD.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项比公差多B．数列的首项比公差少
C．数列的首项为D．数列的公比为
【答案】AD
【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式求各基本量，进而判断各选项.
【详解】设的公差为，由，
得，化简得，
所以A正确，B错误．
设的公比为，由，得，化简得，
所以C错误，D正确，
故选：AD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
【答案】
【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.
【详解】设与的等比中项为，
因为，所以，所以.
故答案为：
14．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列满足.则通项公式________．
【答案】
【分析】把数列的项，分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.
【详解】设的公比为，则.
由已知得，解得，，所以的通项公式为.
故答案为:
15．（2020·广东·高三学业考试）设等比数列的前n项各为，已知，，则___________.
【答案】7
【分析】根据条件求出等比数列的公比，再求出 ，根据前n项和的定义计算即可.
【详解】由题意， ，公比 ， ；
故答案为：7.
16．（2021·河南·安阳37中高一期末）设等比数列满足，，则_____．
【答案】32
【分析】由等比数列的通项公式列方程组即可求解.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
∵a1+a2＝3，a2+a3＝6，
∴，解得，q＝2．
则＝25＝32．
故答案为：32．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，已知，．求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前5项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求解出，则的通项公式可求；
（2）根据等比数列前项和公式求解出即可.
【详解】（1）设数列的公比为q，
因为，，所以，所以，
所以；
（2）因为为等比数列且，
所以为等比数列，首项为且公比为，
所以.
18．（2022·上海·华师大二附中高二期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，成等比数列.
(1)求公差的值；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列定义可得，利用表示出已知的等量关系，解方程组即可求得结果；
（2）利用等差数列求和公式可直接得到结果.
(1)
成等比数列，，
由得：，解得：，
公差.
(2)
由（1）得：.
19．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）设等比数列的前n项和为．
(1)若公比，，，求n；
(2)若，求公比q．
【答案】(1)6
(2)1或
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得.
（2）根据已知条件列方程，化简求得.
（1）
依题意，
由于，所以两式相除得，
.
（2）
依题意，即，
，解得或.
20．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据定义法证明是等比数列，然后求出数列的通项公式即可得到 的通项公式
（2）根据数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可
【详解】（1）明：因为＝，
数列 {an+n} 是首项为 a1+1＝2，公比为2的等比数列，
那么，即 ．
（2）由（1）知，
＝＝
21．（2022·四川·遂宁中学高三阶段练习（理））已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.
【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
22．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））在等比数列{}中，．
(1)求{}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和Sn．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，，再求出公比，进而写出通项公式；
（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求Sn．
【详解】（1）由题设，，则的公比，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.