《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.10数学归纳法(B)（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题4.10数学归纳法(B)（原卷版+解析），共23页。试卷主要包含了10数学归纳法等内容，欢迎下载使用。

第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（理））对某些，，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是（ ）．
A．时，B．时，
C．时，D．时，
2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高二课时练习）欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有”，则验证不等式成立所取的第一个，最小应当是（ ）．
A．1B．大于1且小于6的某个正整数
C．10D．大于5且小于10的某个正整数
6．（2022·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高二课时练习）函数，，…，，…，则函数是（ ）．
A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
8．（2019·浙江·温州中学高二开学考试）已知数列满足：，，记的前项和为，且，其中，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（ ）
A．过程全部正确B．时证明正确
C．过程全部不正确D．从到的推理不正确
10．（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
11．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．是递增数列
C．是递增数列D．
12．（2020·山东·青岛二中高三期中）已知数列满足，，，是数列的前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在常数，使得
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高二单元测试）（，），则______．
14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用归纳假设，应将变形为______，从而可以用归纳假设去证明．
15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．
16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：．
18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知数列，满足，．
(1)求，，，的值；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
(3)设，求数列的前n项和．
20．（2022·全国·高一课时练习）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？猜测并用数学归纳法证明你的结论．
21．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）数列对任意且，均存在正整数，满足，，．
(1)求可能值；
(2)若，成立，求数列的通项公式．
22．（2020·河南信阳·高二期中（理））已知，（其中）.
(1)当时，计算及；
(2)记，试比较与的大小，并说明理由．
专题4.10数学归纳法(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（理））对某些，，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是（ ）．
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】D
【分析】根据确定第一步对应的即可
【详解】由题，，时对应，分母每次增加1，
故时，为第一步.
故选：D
2．（2022·甘肃庆阳·高二期末（理））用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】当时，写出左端，并当时，写出左端，两者比较， 可得答案.
【详解】当时，左端，
那么当时 左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
3．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由数学归纳法的概念求解
【详解】当时，这三个平面将空间分成了8部分，
若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时，与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分，
每一部分将所在的空间一分为二，故．
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差中项求出，的关系，然后求出，，的值，化简表达式的分子与分母，然后猜想结果．
【详解】由题意可知．当时，，
时，，．
，，分别为：、、．
猜想当时，．
故选：B
5．（2022·全国·高二课时练习）欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有”，则验证不等式成立所取的第一个，最小应当是（ ）．
A．1B．大于1且小于6的某个正整数
C．10D．大于5且小于10的某个正整数
【答案】C
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证，，…，时，命题是否成立，即可得答案．
【详解】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证时，左，右，成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，不成立，
时，左，右，成立，
当时，恒成立，
所以．
故选：C
6．（2022·福建师大附中高二期末）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出时，不等式的左边，再求出当时，不等式的左边，得到当时，即可推出不等式的左边比时增加的项 .
【详解】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
7．（2022·全国·高二课时练习）函数，，…，，…，则函数是（ ）．
A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【分析】因为是奇函数，可得也是奇函数，再根据数学归纳法证明对任意的 ，有 是奇函数.
【详解】易知是奇函数，，
，，满足，
所以也是奇函数，
假设 是奇函数，则 ，
即也是奇函数，因此对任意的 ，有 是奇函数，
故：也是奇函数.
故选：A
8．（2019·浙江·温州中学高二开学考试）已知数列满足：，，记的前项和为，且，其中，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】由已知递推关系归纳出数列的通项公式，然后计算，由归纳法归纳出并用数学归纳法进行证明，从而得出后可得值．
【详解】，则，所以，
，所以，，，，依此类推得，即，
时，，
时，，，由，得，是递增数列，因此时，，
时，
时，，
假设时，，
则时，，
综上，时，，
所以，显然，即，所以．
故选：B．
【点睛】方法点睛：本题考查求数列的通项公式与前项和，解题方法是归纳法，一是用归纳法求出通项公式，二是对数列的前项和，利用归纳法得出一般结论并用数学归纳法证明．对学生的运算求解能力、逻辑思维能力要求较高，属于难题．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高二课时练习）对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（ ）
A．过程全部正确B．时证明正确
C．过程全部不正确D．从到的推理不正确
【答案】BD
【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可.
【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.
故选：BD.
10．（2022·全国·高二专题练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
【答案】AD
【分析】由逆否命题与原命题为等价命题可判断AC，再根据题意可得若成立，则当时，均有成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD
11．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）已知数列满足，，则（ ）
A．B．是递增数列
C．是递增数列D．
【答案】ABD
【分析】根据所给的递推公式，利用基本不等式判断A，利用函数的单调性判断B，利用特例判断C，利用数学归纳法判断D
【详解】对于A，由可得，
故即，当且仅当即时取等号，故A正确；
对于B，由A可得为正数数列，且，则，故为递增数列，故B正确；
对于C，由，
由题意，，即，
所以，，
可知不是递增数列，故C错误；
对于D，由C可得，，满足，
当时，因为是递增数列，所以，即，
所以由可得，所以即，
假设时，不等式成立，即，
所以，
所以当时，命题也成立，故D正确，
故选：ABD
12．（2020·山东·青岛二中高三期中）已知数列满足，，，是数列的前项和，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在常数，使得
【答案】BC
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再逐项分析判断作答.
【详解】，数列满足，，即有，而，
因此数列是常数列，有，则数列的通项公式是，
对于A，令时，，而，即当时，不成立，A错误；
对于B，，令，
，即，数列是递增的，有，即，B正确；
对于C，用数学归纳法证明：当时，，
当时，，即当时，不等式成立，
假设当时，不等式成立，即，
则，即当时，不等式成立，因此，成立，
当时，，而，不等式成立，
当时，，，
所以，，C正确；
对于D，，取，则
，显然当时，数列是递增的，无最大项，所以不存在常数，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列最大最小项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高二单元测试）（，），则______．
【答案】
【分析】由题意先求出，两式相减即可得出答案.
【详解】因为，所以
，
，
所以：.
故答案为：.
14．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用归纳假设，应将变形为______，从而可以用归纳假设去证明．
【答案】或(写出其中一个即可)
【分析】使用数学归纳法时，需要用到时的结论，即，故应将变形为含有的等式.
【详解】假设时命题成立，即：能被3整除；
当时，；
或.
故答案为：或.(写出其中一个即可)
15．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用数学归纳法的定义及证明命题的方法步骤直接写出结论作答.
【详解】依题意，当时，应证明的等式为：
.
故答案为：
16．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______．
【答案】
【分析】根据数学归纳法证明即可.
【详解】，
，
假设，即成立，
则，对于也成立.
所以一定有：
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：．
【答案】证明见解析
【分析】先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，然后证明当时，不等式也成立，则由数学归纳法可知，不等式成立.
【详解】（1）当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立．
（2）假设当时不等式成立，即．
则当时，．
因为，所以，
从而，所以．
即当时，不等式也成立．
根据（1）和（2）可以断定，对任何都成立．
18．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
【答案】(1)；；；；
(2)当，时，有，证明见解析.
【分析】（1）求出的值即得；
（2）利用数学归纳法证明即得.
(1)
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
(2)
猜想：当，时，有．
证明：①当时，猜想成立．
②假设当（，）时猜想成立，．
当，．
∵，
∴，则，
即，
∴当时，猜想成立.
由①②知，当，时，有．
19．（2022·全国·高二单元测试）已知数列，满足，．
(1)求，，，的值；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
(3)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，，，，
(2)，证明见解析，
(3).
【分析】（1）分别令，2，3，4，结合已知递推式可求出，，，的值；
（2）根据（1）可得，然后利用数学归纳法证明即可，
（3）由（1）得，然后利用错位相减可求出结果.
（1）
因为，所以．
因为，
所以当时，，得，
当时，，得，
当时，，，
当时，，得
（2）
猜想数列的通项公式．
用数学归纳法证明如下：证明：
①当时，由（1）知结论成立；
当时，，结论成立．
②假设时，结论成立，即．
当时，
．
所以，
即当时，结论也成立．
根据①和②可以断定，结论对一切正整数n都成立．
（3）
由（2）知，．
所以，
所以，
所以，
所以．
20．（2022·全国·高一课时练习）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？猜测并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】或，证明见解析
【分析】由、分别代入可得的值，进而猜想结论成立，最后用数学归纳法证明即可.
【详解】解：将、分别代入，
得即
所以或
猜测对一切正整数都成立．
证明：①当时，显然成立；
②假设时，成立；
则当时，
左边
右边，
所以时，等式也成立．
综合①②，等式对一切正整数n都成立．
21．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）数列对任意且，均存在正整数，满足，，．
(1)求可能值；
(2)若，成立，求数列的通项公式．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用递推关系式可得，然后计算的值即可；
（2）由题意可得，，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．
（1）
解：由，
可得，
所以或；
（2）
因为，
，，
，
，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：
当，明显成立，
假设时命题成立，即，
则，则，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
①若，则矛盾，
②若，则，，，
此时，
，
③若，则，
，，
，
，
事实上：矛盾．
综上可得．
【点睛】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．
22．（2020·河南信阳·高二期中（理））已知，（其中）.
(1)当时，计算及；
(2)记，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用赋值法令求出，再令、两式相减，即可求出；
（2）令，可得，令，可得，即可得到，则只要比较与，取、、、，比较其大小，再利用数学归纳法证明当时，，即可得解.
（1）
解：当时，令，得，
令时，得，①
令时，得，②
将①②得：，
所以．
（2）
解：因为，
令，可得，
令，可得，
所以，
要比较与的大小，只要比较与，
只要比较与，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
猜想当时，左边右边，即，
下面用数学归纳法证明：①当时已证；
②假设当时成立，
则当时，左边，
因为，
所以，
即当时不等式也成立．所以，
对的一切正整数都成立．
综上所述：当或时，，当或时．