《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.8 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(B)（原卷版+解析）

这是一份《高二数学人教A版2019选择性必修第二册同步单元测试AB卷（新高考）》 专题5.8 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(B)（原卷版+解析），共23页。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，．若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·陕西·西安市铁一中学高二期末（理））曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·河南·安阳一中高二期末（文））已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（ ）
A．2B．1C．0D．﹣2
4．（2022·山东聊城一中高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·福建省福州第一中学高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知实数分别满足，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．直线是曲线的切线
C．有一个零点D．过点与曲线相切的直线有且只有1条
10．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．过仅能做曲线的一条切线
11．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．恒成立B．是上的减函数
C．在得到极大值D．在区间内只有一个零点
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续.当时，，则关于的不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）函数的单调减区间为________.
14．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
15．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（文））设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
16．（2022·山东德州·高二期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是______；若不等式有解，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
18．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
19．（2022·山东青岛·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.
21．（2022·河北省文安县第一中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)证明：当时，.
22．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数在处的切线为．
(1)求实数a的值及函数的极值；
(2)用表示不超过实数t的最大整数，如：，若时，恒成立，求的最大值．
专题5.8 《一元函数的导数及其应用》综合测试卷(B)
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导后代入可求得，由可得结果.
【详解】，，即，
又，.
故选：D.
2．（2020·陕西·西安市铁一中学高二期末（理））曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．
【详解】的导数为，在点处的切线斜率为，
即有在点处的切线方程为，即.
故选：C
3．（2021·河南·安阳一中高二期末（文））已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（ ）
A．2B．1C．0D．﹣2
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线的方程求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到所求结论.
【详解】解：函数的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
因为在点处的切线方程是，
所以，，
解得，，
所以
故选：C.
4．（2022·山东聊城一中高二期中）已知在区间上为单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围．
【详解】在区间上为单调递增函数
则在区间上恒成立
即在区间上恒成立
设，
函数在上是减函数，则
所以．
故选：D．
5．（2022·福建省福州第一中学高二阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据其单调性和奇偶性，结合三角函数值的大小关系，即可判断和选择.
【详解】令，其定义域为，且，故为偶函数；
又，令可得，故在上单调递增；
则，
，
又，故.
故选：B.
6．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知实数分别满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将变形为，观察可发现这与形式相同，且易知，.构造，求导可得在上单调递增.从而可推出，代入即可得到结果.
【详解】由可得，，则，
即，又，
所以，且，.
令，则，当时，恒成立，
所以，在上单调递增.
又，，，所以.
所以，.
故选：C.
7．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决．
【详解】令，则，
因为，
所以，即，
设，
所以，
因为，
所以，所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以等价于，
则，即，解得．
所以不等式的解集是．
故选：C
8．（2022·山东聊城一中高二期中）定义在上的函数是的导函数，且成立，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件可得，考虑构造函数，结合导数运算公式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数在上的单调递减，再根据函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】因为时，，
所以可化为，即，设，
则，
所以当时，，
所以函数在上的单调递减，因为，所以
所以，即，
所以，
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．直线是曲线的切线
C．有一个零点D．过点与曲线相切的直线有且只有1条
【答案】AC
【分析】对函数求导, 判断其单调性和极值情况, 即可判断选项AC；假设是曲线的切线, 设切点为, 求出的值, 验证点 是否在曲线 上即可；过点与曲线相切的直线，而点不一定为切点，可设切点，并求出有两个值，从而可判断D选项.
【详解】, 令 , 解得 或 , 令 , 解得 ；
在 上单调递增, 在 上单调递减, 且 ,.
有两个极值点, 有且仅有一个零点, 故选项A，C正确，
假设 是曲线 的切线, 设切点为 ,
则 ，解得 或 ，
显然 和 均不在曲线 ，
上, 故选项B错误.
对于选项D，设切点为 , 可得切线的斜率为,
切线方程为,
代入点 , 可得,
化为 , 即,
解得 或 ,
可得切线的斜率为 2 或 ,
则切线方程为 或 .故过点与曲线相切的直线有2条.故选项D错误；
故选：AC.
10．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数的极值点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．过仅能做曲线的一条切线
【答案】ACD
【分析】首先根据已知条件得到，，再结合导数的性质依次判断选项即可.
【详解】，，
因为函数的极值点分别为，
所以有两个不相等的实数根，
所以，故A正确.
对选项B，因为，所以，
令，则，，
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以，为函数的极值点.
所以，故B错误.
对选项C，，
化简得：，解得，故C正确.
对选项D，设切点为，
，切线过，
所以，即，解得，
所以过仅能做曲线的一条切线，故D正确.
故选：ACD
11．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．恒成立B．是上的减函数
C．在得到极大值D．在区间内只有一个零点
【答案】CD
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，由此可判断BC，取可判断A选项的正误，根据函数的单调性及可判断D.
【详解】，该函数的定义域为，
所以，
由，可得，由，可得，
所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
，故B选项错误，C选项正确；
当时，，此时，A选项错误；
由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确.
故选：CD.
12．（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续.当时，，则关于的不等式的解集可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】通过条件，将导数还原为和，其导数分别为，，分别分析两个函数的单调性和零点情况，从而判断出函数当时，和当时，，从而推断出时，的解集可能为，其中，通过奇函数以及选项是否符合得到答案.
【详解】因为当时，，且，
而可以令，则
可以令，则
所以，
因为，所以令，则，令，则
所以在上递减，在上递增，且当时，
所以当时，
因为，，
故令，则
又因为，所以，故在上递增
设，所以在上递减，在上递增
且当时，（舍）或
所以当时，，
所以当时，的解集可能为，其中，
又因为是奇函数，所以的解集可能为.
而，所以，故A错误；，故B正确；
，故C正确；，故D错误.
故选：BC
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）函数的单调减区间为________.
【答案】
【分析】求导，利用导函数小于等于0，即可求解.
【详解】由题意得，令，解得，所以单调递减区间为，
故答案为：
14．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．
【答案】##5.5
【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.
【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，
又由直线是曲线在点处的切线，则，
所以．
故答案为：
15．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（文））设是函数的导函数，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据构造函数，求导后根据导数正负确定函数单调性，利用函数单调性解不等式.
【详解】令，则，
，，
在上单调递减，
由可得，
即，，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：
16．（2022·山东德州·高二期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是______；若不等式有解，则实数t的取值范围是______．
【答案】
【分析】由有两个不等正根可得的范围，同时由韦达定理把用表示，不等式有解，即有解，计算表示为的函数，引入新函数，由导数求出其取值范围后可得的范围．
【详解】，由题意有两个不等正根，
所以，解得．
不等式有解，即有解，
，
令，，
，易知时，，是减函数，
，，
，即，所以，
所以时，不等式有解．
故答案为：，．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西渭南·高二期末（文））已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和，之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值，
∴，
即（经检验符合题意），
∴.
（2）由（1）知，
则，
令，解得或；
令，解得；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
则极大值，而，.
故函数在上的最大值和最小值分别为，
，.
18．（2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中（理））已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，，；
(2).
【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；
（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.
【详解】（1）由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
19．（2022·山东青岛·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．
【答案】(1)当时，每瓶饮料的利润最大
(2)当时，每瓶饮料的利润最小
(3)
【分析】（1）由题意得到每瓶饮料的利润为，利用导数法求解；
（2）由（1）根据唯一的极小值点为最小值点求解；
（3）由求解.
（1）
解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
（2）
由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
（3）
由，
解得，
故所求瓶子的半径取值范围是.
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值集合.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；
（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；
（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.
【详解】（1）当时，，则.
根据导数的几何意义，可得函数的图象在点处的切线斜率，
又.
所以，切线方程为，整理可得.
（2）定义域为R，.
当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；
当时，解，即，解得，
解，得，则在上单调递增，
解，得，则在上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.
则由（2）知，在时，取得最小值.
要使恒成立，则只需满足即可，即.
令，即.
.令，则.
当时，，当时，，
所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.
又，所以，所以有.
即当时，，有成立.
所以，实数的取值集合为.
21．（2022·河北省文安县第一中学高二期末）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析
【分析】(1)求函数的导函数，再求函数的解，结合极值点的定义，求极值点和极值；
(2)利用导数分析函数的单调性，求其最小值，再利用导数证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，其中，
由题可知，令，得.
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
故在处取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）因为，其中，
.
令，则，即在上单调递增.
因为，，，
则存在，使得，即，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
从而，
则.
令，
则，
即在上单调递增，所以，
所以当时，.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．（2022·山东聊城一中高二期中）已知函数在处的切线为．
(1)求实数a的值及函数的极值；
(2)用表示不超过实数t的最大整数，如：，若时，恒成立，求的最大值．
【答案】(1)；极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义得到，从而求得，进而利用导数与函数的极值的关系求得的极值；
（2）将问题转化为恒成立问题，结合（1）中结论得到在上有唯一零点，且，从而求得，由此求得的最大值．
【详解】（1）根据题意，易得函数的定义域为，
因为，由已知得，即，则，
所以，，
令，得；令，得；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值．
（2）因为当时，，故不等式等价于，
令，则，，
由（1）得在上单调递增，
又因为，所以在有唯一零点，且，
所以在上有唯一零点，且，
又当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
由得，所以，
因为，所以，
因为，所以的最大值为2．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．