高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系一课一练，共24页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31558" 【题型1 子集、真子集的概念】 PAGEREF _Tc31558 \h 2
\l "_Tc5462" 【题型2 有限集合子集、真子集的确定】 PAGEREF _Tc5462 \h 2
\l "_Tc11563" 【题型3 判断两个集合是否相等】 PAGEREF _Tc11563 \h 3
\l "_Tc3923" 【题型4 根据两个集合相等求参数】 PAGEREF _Tc3923 \h 4
\l "_Tc6360" 【题型5 空集的判断及应用】 PAGEREF _Tc6360 \h 4
\l "_Tc9603" 【题型6 Venn图表示集合的关系】 PAGEREF _Tc9603 \h 4
\l "_Tc6209" 【题型7 集合间关系的判断】 PAGEREF _Tc6209 \h 6
\l "_Tc30835" 【题型8 利用集合间的关系求参数】 PAGEREF _Tc30835 \h 6
\l "_Tc26246" 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc26246 \h 7
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
2．真子集的概念
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆AB．A⊂≠AC．∅⊆AD．∅⊂≠A
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合A={x∣0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．16B．15C．8D．7
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2B．4
C．6D．8
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合A=x∈N−2A．6B．7C．14D．15
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2】（2023·高一课时练习）满足1,2⊆A⊆1,2,3,4的集合A的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式2-3】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【知识点2 集合相等与空集】
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【题型3 判断两个集合是否相等】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（ ）
A．(x,y)x−y=−1x+y=1B．{(x,y)∣y=x−1+1−x}
C．xx=(−1)n−12,n∈ND．x−1【变式3-1】（2023秋·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A．{x|x+y=1}={y|x+y=1}B．{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2}
C．{x|x>2}={y|y>2}D．{1,2}={2,1}
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=(x,y)|x+y<0,xy>0和P=(x,y)|x<0,y<0，那么（ ）
A．P⊆MB．M⊆PC．M=PD．M≠P
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合A=x|x=192k+1,k∈Z，B=x|x=49k±19,k∈Z，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．A=BD．A与B互不包含
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合A=1,a,b,B=a2,a,ab,若A=B，则a+b=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则a2023+b2022=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为∅的是（ ）
A．0B．∅
C．{x|x2+4=0}D．{x|x+1≤2x}
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．x|x+3=3B．(x,y)|y2=−x2,x,y∈R
C．x|x2≤0D．x|x2−x+1=0,x∈R
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．2,4,5B．1,2,5C．1,6D．1,3
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合A={(x,y)|y=x}，集合B={(x,y)|y>0,x∈R}，则下列说法正确的是（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B=A
D．集合A,B间没有包含关系
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．−1B．−1,1C．−1,0,1D．−2,−1,0,1
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合M={x|x=kπ+π2−π4，k∈Z}，N={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，则（ ）
A．M=NB．M⊊NC．M⊆ND．M⊋N
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}，B={x|x=k3+12,k∈Z}，C={x|x=2k3+12,k∈Z}，则这三个集合间的关系是（ ）
A．A⊆B⊆CB．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆AD．C⊆A⊆B
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）
A．2B．1C．23D．−1
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合A=x∈N|x<2,B=x∣ax−1=0，若BA，则实数a=（ ）
A．12或1B．0或1C．1D．12
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=（ ）
A．−1B．−2C．2D．0
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合A={x|x≥11}，B=x2x−m>0，若A⊆B，则实数m的取值范围是（ ）．
A．−∞,4B．−∞,4C．−∞,22D．−∞,22
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B={x∣x=ab,a∈A,b∈B}，设A={2,3},B={1,2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，若M=1,2,3,4,5，N=0,2,3,6,7，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义A∗B={Z|Z=xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数m,n ，定义某种运算，法则如下：当m,n都是正奇数时，m n=m+n ；当m,n不全为正奇数时，m n=mn，则在此定义下，集合M={(a,b)|ab=16,a∈N∗,b∈N∗}的真子集的个数是（ ）
A．27−1B．211−1C．213−1D．214−1
专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】
【人教A版（2019）】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31558" 【题型1 子集、真子集的概念】 PAGEREF _Tc31558 \h 2
\l "_Tc5462" 【题型2 有限集合子集、真子集的确定】 PAGEREF _Tc5462 \h 3
\l "_Tc11563" 【题型3 判断两个集合是否相等】 PAGEREF _Tc11563 \h 5
\l "_Tc3923" 【题型4 根据两个集合相等求参数】 PAGEREF _Tc3923 \h 6
\l "_Tc6360" 【题型5 空集的判断及应用】 PAGEREF _Tc6360 \h 7
\l "_Tc9603" 【题型6 Venn图表示集合的关系】 PAGEREF _Tc9603 \h 9
\l "_Tc6209" 【题型7 集合间关系的判断】 PAGEREF _Tc6209 \h 11
\l "_Tc30835" 【题型8 利用集合间的关系求参数】 PAGEREF _Tc30835 \h 12
\l "_Tc26246" 【题型9 集合间关系中的新定义问题】 PAGEREF _Tc26246 \h 14
【知识点1 子集与真子集】
1．子集的概念
2．真子集的概念
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若AB，且A≠B，则AB.
【题型1 子集、真子集的概念】
【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆AB．A⊂≠AC．∅⊆AD．∅⊂≠A
【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.
【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，∅⊂≠A，但是A不是A的真子集，故ACD正确，B错误，
故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合A={x∣0≤x<4,且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．16B．15C．8D．7
【解题思路】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有n个元素的集合的真子集的个数是2n−1个．
【解答过程】A=0,1,2,3，集合A含有4个元素，真子集的个数是24−1=15，
故选：B．
【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2B．4
C．6D．8
【解题思路】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【解答过程】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合A=x∈N−2A．6B．7C．14D．15
【解题思路】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.
【解答过程】因为A=x∈N−2所以集合A的元素个数为3，
因此集合A的所有非空真子集的个数是23−2=6，
故选：A.
【题型2 有限集合子集、真子集的确定】
【例2】（2023·高一课时练习）满足1,2⊆A⊆1,2,3,4的集合A的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】利用列举法求得集合A的个数.
【解答过程】由于1,2⊆A⊆1,2,3,4，
所以A=1,2,A=1,2,3,A=1,2,4,A=1,2,3,4，共4种可能.
故选：C.
【变式2-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（ ）
A．1B．3C．4D．6
【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b，
所以a+b+a+b=12，
解得a+b=6.
故选：D.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.
【解答过程】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：
一个元素时，为{3}；
两个元素时，为{1，5}，{2，4}；
三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；
四个元素时，为{1，5，2，4}；
五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.
故选：C.
【变式2-3】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊C⊆B，满足这样的集合C的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】由集合间的基本关系A⊊C⊆B，对集合C中元素个数进行分类讨论，列举出所有可能即可得出结果.
【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；
若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，1,2,7，1,2,8；
若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，1,2,7,8，1,2,6,8；
若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.
故选：B.
【知识点2 集合相等与空集】
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
(2)规定：空集是任何集合的子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
【题型3 判断两个集合是否相等】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（ ）
A．(x,y)x−y=−1x+y=1B．{(x,y)∣y=x−1+1−x}
C．xx=(−1)n−12,n∈ND．x−1【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.
【解答过程】对A，(x,y)x−y=−1x+y=1=0,1≠M，故A错误；
对B，{(x,y)∣y=x−1+1−x}=1,0≠M，故B错误；
对C，xx=(−1)n−12,n∈N=−1,0≠M，故C错误；
对D，x−1故选：D.
【变式3-1】（2023秋·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A．{x|x+y=1}={y|x+y=1}B．{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2}
C．{x|x>2}={y|y>2}D．{1,2}={2,1}
【解题思路】根据给定条件，利用集合的意义及表示法逐项分析判断作答.
【解答过程】对于A，因{x|x+y=1}=R，{y|x+y=1}=R，即{x|x+y=1}={y|x+y=1}，A正确；
对于B，因集合{(x,y)|x+y=2}的元素为有序数对，而{x|x+y=2}的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；
对于C，因集合{x|x>2}与{y|y>2}都表示大于2的数形成的集合，即{x|x>2}={y|y>2}，C正确；
对于D，由列举法表示集合知{1,2}={2,1}正确，D正确.
故选：B.
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=(x,y)|x+y<0,xy>0和P=(x,y)|x<0,y<0，那么（ ）
A．P⊆MB．M⊆PC．M=PD．M≠P
【解题思路】先利用不等式的性质化简集合M，再利用集合与集合间的关系可知，M=N，从而得解.
【解答过程】由x+y<0xy>0，得到x<0y<0，
所以M=(x,y)|x+y<0,xy>0=(x,y)|x<0,y<0，
又P=(x,y)|x<0,y<0，所以M=N，
故选：C.
【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合A=x|x=192k+1,k∈Z，B=x|x=49k±19,k∈Z，则集合A，B之间的关系表示最准确的为（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．A=BD．A与B互不包含
【解题思路】对k分奇偶进行讨论，即可判断集合A，B之间的关系.
【解答过程】对于集合A，当k=2nn∈Z时，A=x|x=49n+19,n∈Z，当k=2n−1n∈Z时，A=x|x=49n−19,n∈Z，所以A=B.
故选：C.
【题型4 根据两个集合相等求参数】
【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合A=1,a,b,B=a2,a,ab,若A=B，则a+b=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和a2=bab=1,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，
得到a2=1ab=b或a2=bab=1又根据集合互异性，可知a≠1，
解得a=−1b=0或a=1b=1（舍），所以a=−1,b=0,a+b=−1,
故选:A.
【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5}B．{1}C．{0，5}D．{0，1}
【解题思路】利用集合相等求解.
【解答过程】解：因为M=N，
所以x2=5x，
解得x=0或5，
∴x的取值集合为0,5，
故选：C.
【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，则a2023+b2022=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和a2=bab=1，再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b或a2=bab=1，又根据集合互异性，可知a≠1，解得a=1(舍)，a=−1b=0和a=1b=1(舍)，所以a=−1，b=0，则a2023+b2022=(−1)2023+02022=−1，
故选：A.
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
【解题思路】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即x2+p−1x+q=0有且只有一个实数解x=2,由此求得p,q的值，进而求得集合B.
【解答过程】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即x2+p−1x+q=0有且只有一个实数解x=2,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：D.
【题型5 空集的判断及应用】
【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为∅的是（ ）
A．0B．∅
C．{x|x2+4=0}D．{x|x+1≤2x}
【解题思路】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，由集合0中有一个元素0，不符合题意；
对于B中，由集合∅中有一个元素∅，不符合题意；
对于C中，由方程x2+4=0，即x2=−4，此时方程无解，可得{x|x2+4=0}=∅，符合题意；
对于D中，不等式x+1≤2x，解得x≥1，{x|x+1≤2x}=x|x≥1，不符合题意.
故选：C.
【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．x|x+3=3B．(x,y)|y2=−x2,x,y∈R
C．x|x2≤0D．x|x2−x+1=0,x∈R
【解题思路】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.
【解答过程】选项A，x|x+3=3=0；
选项B，(x,y)|y2=−x2,x,y∈R=(0,0)；
选项C，x|x2≤0=0；
选项D，x2−x+1=0,Δ=1−4=−3<0，方程无解，∴ x|x2−x+1=0,x∈R=∅.
故选:D.
【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤∅={0}；⑥∅≠{∅}，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：
∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；
∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}、{0}⊃≠∅，②③正确；
∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C.
【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；
③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}，正确；
④空集没有任何元素，故∅≠{0}，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
【题型6 Venn图表示集合的关系】
【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先求得集合N，判断出M,N的关系，由此确定正确选项.
【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.
故选：B.
【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】先求集合N,再判断集合间的关系
【解答过程】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N⊆M.
故选：B.
【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（ ）
A．2,4,5B．1,2,5C．1,6D．1,3
【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.
【解答过程】解：由图可知：B⊆A，
∵A=1,2,3，
由选项可知：1,3⊆A，
故选：D.
【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，
①S∈U，故错误；
②F⊆T，故错误，
③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，
⑤S∈F，故错误，
⑥F⊆U，故正确；
故选D．
【知识点3 集合间关系的性质】
集合间关系的性质：
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
【题型7 集合间关系的判断】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合A={(x,y)|y=x}，集合B={(x,y)|y>0,x∈R}，则下列说法正确的是（ ）
A．A⊆B
B．B⊆A
C．B=A
D．集合A,B间没有包含关系
【解题思路】根据结合A,B所表示点的几何意义，以及原点(0,0)与集合A,B的关系，即可求解.
【解答过程】由集合A={(x,y)|y=x}表示函数y=x图象上所有的点的集合，
又由结合B={(x,y)|y>0,x∈R}表示x轴上方所有点的集合，
因为(0,0)∈A，但(0,0)∉B，所以集合A与B之间没有包含关系.
故选：D.
【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合A=−2,−1,0，若A⊆B，则集合B可以是（ ）
A．−1B．−1,1C．−1,0,1D．−2,−1,0,1
【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.
【解答过程】由题可得A是B的子集，
则B=−2,−1,0,1满足题意.
故选：D.
【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合M={x|x=kπ+π2−π4，k∈Z}，N={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，则（ ）
A．M=NB．M⊊NC．M⊆ND．M⊋N
【解题思路】对于集合N，令k=2m(m∈Z)和k=2m−1(m∈Z)，即得解.
【解答过程】M={x|x=kπ2+π4，k∈Z}，N={x|x=kπ4+π2，k∈Z}，
对于集合N，当k=2m(m∈Z)时，x=mπ2+π2，m∈Z；
当k=2m−1(m∈Z)时，x=mπ2+π4，m∈Z．
∴M⊊N，
故选：B．
【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}，B={x|x=k3+12,k∈Z}，C={x|x=2k3+12,k∈Z}，则这三个集合间的关系是（ ）
A．A⊆B⊆CB．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆AD．C⊆A⊆B
【解题思路】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.
【解答过程】依题意，A={x|x=k+66,k∈Z}={x|x=(k+3)+36,k∈Z}，B={x|x=2k+36,k∈Z}，
C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=2×2k+36,k∈Z}，而{x|x=k+3,k∈Z}=Z，{偶数}={x|x=2k,k∈Z}，
因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，
所以C⊆B⊆A.
故选：C.
【题型8 利用集合间的关系求参数】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合A=0,−a，B=1,a−2,2a−2，若A⊆B，则a=（ ）
A．2B．1C．23D．−1
【解题思路】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【解答过程】因为A⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A=0,−2，B=1,0,2，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A=0,−1，B=1,−1,0，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合A=x∈N|x<2,B=x∣ax−1=0，若BA，则实数a=（ ）
A．12或1B．0或1C．1D．12
【解题思路】先求得合A=0,1，再分a=0和a≠0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【解答过程】解：由集合A=x∈N∗|x<2=0,1，
对于方程ax−1=0，
当a=0时，此时方程无解，可得集合B=∅，满足BA；
当a≠0时，解得x=1a，要使得BA，则满足1a=1，可得a=1，
所以实数a的值为0或1.
故选：B.
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=（ ）
A．−1B．−2C．2D．0
【解题思路】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求a−b.
【解答过程】由A⊆B知：A=B，即{a=−1−b=1，得{a=−1b=−1，
∴a−b=0.
故选：D.
【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合A={x|x≥11}，B=x2x−m>0，若A⊆B，则实数m的取值范围是（ ）．
A．−∞,4B．−∞,4C．−∞,22D．−∞,22
【解题思路】由集合的包含关系列不等式，即可得结果.
【解答过程】由题设，B={x|x>m2}，又A={x|x≥11}且A⊆B，
所以m2<11，即m<22.
故选：C.
【题型9 集合间关系中的新定义问题】
【例9】（2022·全国·高三专题练习）定义集合A★B={x∣x=ab,a∈A,b∈B}，设A={2,3},B={1,2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【解题思路】结合非空真子集个数(2n−2)的算法即可.
【解答过程】A⋆B={2,3,4,6}，所以集合A⋆B的非空真子集的个数为24−2=14，
故选：B.
【变式9-1】（2022·江苏·高一专题练习）对于两个非空集合A，B，定义集合A−B=xx∈A且x∉B，若M=1,2,3,4,5，N=0,2,3,6,7，则集合N－M的真子集个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】先根据题意求出N−M=0,6,7，从而可求出其真子集个数
【解答过程】由题意，知集合N−M=0,6,7，所以集合N－M的真子集个数为23−1=7．
故选：C.
【变式9-2】（2022·高一单元测试）定义A∗B={Z|Z=xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【解题思路】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式2n−1求出集合A*B的真子集的个数
【解答过程】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B.
【变式9-3】（2022秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）对于任意两个正整数m,n ，定义某种运算，法则如下：当m,n都是正奇数时，m n=m+n ；当m,n不全为正奇数时，m n=mn，则在此定义下，集合M={(a,b)|ab=16,a∈N∗,b∈N∗}的真子集的个数是（ ）
A．27−1B．211−1C．213−1D．214−1
【解题思路】根据新定义，进行求解即可.
【解答过程】由题意，当m，n 都是正奇数时，m※n=m+n ；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn ；
若a，b 都是正奇数，则由a※b=16 ，可得a+b=16 ，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1） 满足条件的共8个；
若a，b不全为正奇数时，m※n=mn ，由a※b=16 ，可得ab=16 ，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1） 共5个；
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N∗，b∈N∗} 中的元素个数是13，
所以集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N∗，b∈N∗}的真子集的个数是213−1．
故选C．定义
一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法
记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
或
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
定义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作(或)
图示
结论
(1)且，则；
(2)，且，则
定义
一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法
记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
或
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
定义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法
记作(或)
图示
结论
(1)且，则；
(2)，且，则