高一数学（人教A版2019必修第一册）高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）（原卷版+解析）

这是一份高一数学（人教A版2019必修第一册）高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）（原卷版+解析），共22页。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高三专题练习）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C．∃m∈N,m2+1∈N
D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°
2．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则xy∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1∉A；②20202021∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题p:a∈D，命题q:∃x0∈R，x02−ax0−a≤−3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（ ）
A．(−∞,−6]∪[2,+∞)B．(−∞,−4)∪(0,+∞)
C．−6,2D．−4,0
4．（5分）（2023春·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=1+xyx,c=1+yzy，则必有（ ）
A．a>c>bB．b>c且a>c
C．b>c>aD．a>b且a>c
5．（5分）（2022秋·湖南张家界·高一校考阶段练习）已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁RB中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是
A．36．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．2−12B．2−1C．2+1D．2+12
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．−5,3∪4,5B．−5,3∪4,5C．−5,3∪4,5D．−5,3∪4,5
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式ax−2x2+bx−5≥0恒成立，则b+4a的最小值为（ ）
A．2B．25C．43D．32
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R,x2<−1”
B．命题“∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(−3,+∞)，x2>9”
C．“x>y”是“x>y”的必要条件.
D．“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
10．（5分）（2023春·浙江宁波·高一校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：A∩B=∅，A∪B=N∗，则称A,B为N∗的二划分，例如A={x|x=2k,k∈N∗}，B={x|x=2k−1,k∈N∗}则A,B就是N∗的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A．设A={x|x=3k,k∈N∗}，B={x|x=3k±1,k∈N∗}，则A,B为N∗的二划分
B．设A={x|x=2n,n∈N}，B={x|x=k⋅2n,k=2m+3,m,n∈N}，则A,B为N∗的二划分
C．存在一个N∗的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，x+y∈B，对于∀p，q∈B，p+q∈B
D．存在一个N∗的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，x11．（5分）（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的取值范围是(0,1]B．x+y的取值范围是[2,3]
C．x+2y的最小值是42−3D．x+5y的最小值为45−6
12．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c为常数）的对称轴为x=1，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．abc+abc=0
B．当a≤x≤1−a时，函数的最大值为c−a2
C．关于x的不等式ax4+bx2>ax2−22+bx2−2的解为x>2或x<−2
D．若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值，则b−1≥5
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·四川绵阳·高二校考期中）若命题“∃x∈R,x2+mx+2m−3<0”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
14．（5分）（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）正实数x,y满足1x+4y=2，且不等式x+y4≥m2−m恒成立，则实数m的取值范围为 .
15．（5分）（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知实数a，b满足016．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知全集为R,M=−2,2,N=x∣0≤x≤2.
(1)求M∩∁RN；
(2)若C=x∣1−2a≤x≤a，且C∪M=C，求a的取值范围.
18．（12分）（2023秋·广东江门·高一校考期中）已知命题P:∃x∈R，使x2−4x+m=0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设A=x3a19．（12分）（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=x1(1)若m=−1，求A∩B；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
20．（12分）（2023·高一课时练习）（1）比较x3与x2−x+1的大小；
（2）已知a>b>c，且a+b+c=0，
①求证：ca−c>cb−c．
②求ca的取值范围．
21．（12分）（2022·高一课时练习）已知x、y、z都是正数．
(1)求证：x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0；
(2)若xy2+yx2≥m2−2m−21x+1y恒成立，求实数m的取值范围．
22．（12分）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高三专题练习）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根
B．每个正方形都是平行四边形
C．∃m∈N,m2+1∈N
D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°
【解题思路】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由m=0，计算即可判断真假；对D，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假．
【解答过程】解：对A，∀a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0有实根，
其否定为：∃a∈R，一元二次方程x2−ax−1=0无实根，
由△=a2+4>0，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题；
对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题；
对C，∃m∈N，m2+1∈N，其否定为：∀m∈N，m2+1∉N，
由m=0时，0+1=1∈N，则原命题为真命题，其否定为假命题；
对D，存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°，其否定为任意四边形ABCD，其内角和等于360°，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为360°，
可得原命题为假命题，其否定为真命题．
故选：D.
2．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则xy∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（ ）
①﹣1∉A；②20202021∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【解题思路】对于①：假设−1∈A，令x=y=−1，由已知推出矛盾，可判断①；
对于②：由题意知，1∈A，再得1+1=2∈A,2+1=3∈ A,⋯,2020∈A，20202021∈A，从而判断②；
对于③：由1∈A,x∈A，得1x∈A，y∈A，结合性质可判断③；
对于④：1∈A,2∈A，由x=2,y=1，x−y=1∈A，可判断④.
【解答过程】解：对于①：假设−1∈A，则令x=y=−1，则xy=1 ∈A，x+y=−2∈A，
令x=−1,y=1，则xy=−1∈A,x+y=0∈A，令x=1,y=0，不存在xy，即y≠0，矛盾，所以−1∉A，故①对；
对于②：由题意知，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈ A,⋯,2020∈A，20202021∈A，故②正确；
对于③：1∈A,x∈A,∴1x∈A，y∈A,∴y1x=xy∈A，故③正确；
对于④：1∈A,2∈A，若x=2,y=1，则x−y=1∈A，故④错误，
所以一定成立的是①②③，
故选：C.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知命题p:a∈D，命题q:∃x0∈R，x02−ax0−a≤−3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（ ）
A．(−∞,−6]∪[2,+∞)B．(−∞,−4)∪(0,+∞)
C．−6,2D．−4,0
【解题思路】先由命题q中的a的范围，再由p是q成立的必要不充分条件，得选项.
【解答过程】命题q:∃x0∈R，x02−ax0−a≤−3，则x02−ax0−a+3≤0，
所以Δ=a2−4(−a+3)≥0，解得a≤−6或a≥2，
又p是q成立的必要不充分条件，所以(−∞,−6]∪[2,+∞)D，
所以区间D可以为(−∞,−4)∪(0,+∞)，
故选：B.
4．（5分）（2023春·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=1+xyx,c=1+yzy，则必有（ ）
A．a>c>bB．b>c且a>c
C．b>c>aD．a>b且a>c
【解题思路】由x>y>1>z>0，得1x<1y<1z，x−y>0,x−z>0,y−z>0，再根据作差法变形两两判断即可.
【解答过程】因为x>y>1>z>0，所以1x<1y<1z，x−y>0,x−z>0,y−z>0
所以a=x+1z>b=y+1x,a=x+1z>c=z+1y
a−b=x+1z−y−1x=x−y+x−zxz>0，所以a>b，
a−c=x+1z−z−1y=x−z+y−zyz>0，所以a>c，
c−b=z+1y−y−1x=z−y+x−yyx符号不能确定，所以b,c的大小不能确定
所以a>b且a>c.
故选：D.
5．（5分）（2022秋·湖南张家界·高一校考阶段练习）已知集合A=xx<−3或x>1，B=xx≤−4或x>a，若A∩∁RB中恰好含有2个整数，则实数a的取值范围是
A．3【解题思路】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围．
【解答过程】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，
又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，
∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，
∴3≤a＜4．
故选：B．
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．2−12B．2−1C．2+1D．2+12
【解题思路】分离变量将问题转化为a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，进而求出x+xyx+y的最大值，设yx=t(t>0)及1+t=m(m>1)，然后通过基本不等式求得答案.
【解答过程】由题意可得，a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，设yx=t(t>0)，则1+yx1+yx=1+t1+t2，再设1+t=m(m>1)，则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m−1)2= mm2−2m+2=1m+2m−2 ≤12m⋅2m−2=122−2=2+12，当且仅当m=2m⇒yx=2−1时取得“=”.
所以a≥2+12，即实数a的最小值为2+12.
故选：D.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．−5,3∪4,5B．−5,3∪4,5C．−5,3∪4,5D．−5,3∪4,5
【解题思路】解不等式x2−2x−8>0，得x>4或x<−2，再分类讨论不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集，结合集合关系求得参数k的取值范围.
【解答过程】解不等式x2−2x−8>0，得x>4或x<−2
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0，得x1=−72，x2=−k
（1）当k>72，即−k<−72时，不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解为：−k此时不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0的解集为−k,−72，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则−5≤−k<−4，即4（2）当k<72，即−k>−72时，不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解为：−72此时不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0的解集为−72,−k，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则−3<−k≤5，即−5≤k<3；
综上，可知k的取值范围为−5,3∪4,5
故选：B.
8．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式ax−2x2+bx−5≥0恒成立，则b+4a的最小值为（ ）
A．2B．25C．43D．32
【解题思路】根据题意设y=ax−2，y=x2+bx−5，由一次函数以及不等式(ax−2)x2+bx−5≥0分析得x=2a时，y=x2+bx−5=0，变形后代入b+4a，然后利用基本不等式求解.
【解答过程】设y=ax−2（x>0），y=x2+bx−5（x>0），
因为a>0，所以当0当x=2a时，y=ax−2=0；
当x>2a时，y=ax−2>0；
由不等式(ax−2)x2+bx−5≥0恒成立，得：ax−2≤0x2+bx−5≤0或ax−2≥0x2+bx−5≥0，
即当0当x≥2a时，x2+bx−5≥0恒成立，
所以当x=2a时，y=x2+bx−5=0，则4a2+2ba−5=0，即b=5a2−2a，
则当a>0时，b+4a=5a2−2a+4a=5a2+2a≥25a2×2a=25，
当且仅当5a2=2a，即a=255时等号成立，
所以b+4a的最小值为25.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R,x2<−1”
B．命题“∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(−3,+∞)，x2>9”
C．“x>y”是“x>y”的必要条件.
D．“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件
【解题思路】根据全称、特称命题的否定判断选项AB；
根据不等式与必要条件的判定判断选项C；
根据充要条件的判定结合一元二次方程根与系数的关系判断选项D.
【解答过程】对于A选项，命题“∀x∈R,x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2≤−1”，故A选项错误；
对于B选项，命题“∃x∈(−3,+∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(−3,+∞)，x2>9”，故B选项正确；
对于C选项，|x|>|y|不能推出x>y，x>y也不能推出|x|>|y|，所以“x>y”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根，则Δ=4−4m>0x1x2=m<0，解得m<0，则“m<0”是“关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根”的充要条件，故D选项正确.
故选：BD.
10．（5分）（2023春·浙江宁波·高一校考开学考试）19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：A∩B=∅，A∪B=N∗，则称A,B为N∗的二划分，例如A={x|x=2k,k∈N∗}，B={x|x=2k−1,k∈N∗}则A,B就是N∗的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A．设A={x|x=3k,k∈N∗}，B={x|x=3k±1,k∈N∗}，则A,B为N∗的二划分
B．设A={x|x=2n,n∈N}，B={x|x=k⋅2n,k=2m+3,m,n∈N}，则A,B为N∗的二划分
C．存在一个N∗的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，x+y∈B，对于∀p，q∈B，p+q∈B
D．存在一个N∗的二划分A,B，使得对于∀x，y∈A，x【解题思路】根据若集合A、B满足：A∩B=∅，A∪B=N∗，则称A,B为N∗的二划分，按照该定义逐项判断即可.
【解答过程】解：对于A选项，因为A={x|x=3k,k∈N∗}，B={x|x=3k±1,k∈N∗}，所以A∩B=∅，A∪B={2,3,4,5,6,7,⋯}≠N∗则A,B不为N∗的二划分，故A错误；
对于B选项，因为A={x|x=2n,n∈N}=20,21,22,23,⋯,2n,⋯，B={x|x=k⋅2n,k=2m+3,m,n∈N}={x|x=2m+3⋅2n,m,n∈N}
由于2m+3⋅2n≠2k,k,m,n∈N，所以A∩B=∅，A∪B=N∗，则A,B为N∗的二划分，故B正确；
对于C选项，存在A={x|x=2k−1,k∈N∗}，B={x|x=2k,k∈N∗}，使得对于∀x，y∈A，x+y∈B，对于∀p，q∈B，p+q∈B，故C正确；
对于D选项，存在A={x|x=3k+1,k∈N}，B={x|x=3k或x=3k−1,k∈N∗}，使得对于∀x，y∈A，x故选：BCD.
11．（5分）（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的取值范围是(0,1]B．x+y的取值范围是[2,3]
C．x+2y的最小值是42−3D．x+5y的最小值为45−6
【解题思路】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A,B；利用多变量变单变量即可判断CD.
【解答过程】对于A，因为x>0,y>0，
所以x+y≥2xy，当且仅当x=y时取等号
由x+y+xy−3=0⇒3−xy=x+y，
即3−xy≥2xy，解得0即0对于B，由x>0,y>0,3−(x+y)=xy≤x+y22，当且仅当x=y时取等号，
得(x+y)2+4(x+y)−12≥0，
所以x+y≥2，
又3−(x+y)=xy>0
所以x+y<3，即2≤x+y<3，故B错误；
对C选项，因为x>0,y>0,x+y+xy−3=0，则xy+1=−y+3，
得x=−y+3y+1=−y+1+4y+1=−1+4y+1>0，结合y>0，则0所以x+2y=−1+4y+1+2y=4y+1+2(y+1)−3≥42−3，
当且仅当4y+1=2(y+1)，即y=2−1时等号成立，C正确；
对于D选项知:x+5y=−1+4y+1+5y=4y+1+5(y+1)−6≥45−6，
当且仅当4y+1=5(y+1)时，即(y+1)2=45，
但由于y+1>1，因此等号不成立，故D不正确.
故选：AC.
12．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0,a,b,c为常数）的对称轴为x=1，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ）
A．abc+abc=0
B．当a≤x≤1−a时，函数的最大值为c−a2
C．关于x的不等式ax4+bx2>ax2−22+bx2−2的解为x>2或x<−2
D．若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值，则b−1≥5
【解题思路】A选项，由开口方向，与y轴交点，及对称轴，求出a,b,c的正负，得到A正确；B选项，当a≤x≤1−a时，数形结合得到函数随着x的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合b=−2a，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到−b2≥1−b24，求出b−1≥5.
【解答过程】A选项，二次函数图象开口向上，故a>0，
对称轴为x=−b2a=1，故b=−2a<0，
图象与y轴交点在y轴正半轴，故c>0，
所以abc<0，故abc+abc=−abc+abc=0，A正确；
B选项，因为b=−2a，故y=ax2−2ax+c，
因为a>0，所以1−a<1，
当a≤x≤1−a<1时，y=ax2−2ax+c随着x的增大而减小，
所以x=a时，y取得最大值，最大值为y=a3−2a2+c，B错误；
C选项，因为b=−2a，所以ax4+bx2=ax4−2ax2，
ax2−22+bx2−2=ax4−4ax2+4a−2ax2−2=ax4−6ax2+8a，
故不等式ax4+bx2>ax2−22+bx2−2变形为4ax2−8a>0，
因为a>0，x2>2，解得：x>2或x<−2，故C正确；
D选项，t=x2+bx+1=x+b22+1−b24，当x=−b2时，t取得最小值，最小值为1−b24，
y=t2+bt+1=t+b22+1−b24，当t=−b2时，y取得最小值，最小值为1−b24，
所以−b2≥1−b24，即b2−2b−4≥0，所以b−12≥5，
即b−1≥5，故D正确.
故选：ACD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·四川绵阳·高二校考期中）若命题“∃x∈R,x2+mx+2m−3<0”为假命题，则实数m的取值范围是 [2，6] ．
【解题思路】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.
【解答过程】由命题“∃x∈R,x2+mx+2m−3<0”的否定为“∀x∈R,x2+mx+2m−3≥0”，
因为命题“∃x∈R,x2+mx+2m−3<0”为假命题，则“∀x∈R,x2+mx+2m−3≥0”为真命题，
所以Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6，
则实数m的取值范围是2,6.
故答案为：2,6.
14．（5分）（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）正实数x,y满足1x+4y=2，且不等式x+y4≥m2−m恒成立，则实数m的取值范围为 −1,2 .
【解题思路】将问题转化为(x+y4)min≥m2−m，利用基本不等式求出x+y4的最小值，再解一元二次不等式即可.
【解答过程】因为不等式x+y4≥m2−m恒成立，
所以(x+y4)min≥m2−3m，
因为x>0,y>0，且1x+4y=2，
所以x+y4=12(x+y4)(1x+4y)=2xy+y8x+1≥22xy⋅y8x+1=2，
当且仅当2xy=y8x，即x=1,y=4时，等号是成立的，
所以(x+y4)min=2，所以m2−m≤2，即(m+1)(m−2)≤0，
解得−1≤m≤2.
故答案为：−1,2.
15．（5分）（2023秋·湖南长沙·高一校考期末）已知实数a，b满足0【解题思路】先对不等式左边进行因式分解，再结合a>−1对a进行分类讨论，分a∈(−1,1)，a=1和a>1三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围.
【解答过程】(a2−1)x2+2bx−b2<0可变形为[(a+1)x−b]⋅[(a−1)x+b]<0，
因为0其中a>−1，
当a∈(−1,1)时，y=(a2−1)x2+2bx−b2开口朝下，不合题意；
当a=1时，2bx−b2<0，解得：x当a>1时，y=(a2−1)x2+2bx−b2开口朝上，
因为b1−a<0，所以不等式解集为{x|b1−a此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，
则必有−3≤b1−a<−2，所以2(a−1)所以2(a−1)<1+a，所以1综上：a∈(1,3)，
故答案为：(1,3).
16．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设集合S,T,S⊆N·,T⊆N·,S,T中，至少有两个元素，且S,T满足：①对于任意x,y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x,y∈T，若x【解题思路】由题可知S有4个元素，根据集合的新定义，设集合S=p1,p2,p3,p4，且p1【解答过程】解：由题可知，S⊆N·,T⊆N·，S有4个元素，
若取S=2,4,8,16，则T=8,16,32,64,128，此时S∪T=2,4,8,16,32,64,128，包含7个元素，
具体如下：
设集合S=p1,p2,p3,p4，且p1则p1p2同理p4p2∈S,p4p3∈S,p3p2∈S,p3p1∈S,p2p1∈S，
若p1=1，则p2≥2，则p3p2又p4>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p22=p2，所以p4=p23，
故S=1,p2,p22,p23，此时p25∈T,p2∈T，故p24∈S，矛盾，舍去；
若p1≥2，则p2p1又p4>p4p1>p4p2>p4p3>1，故p4p3=p4p13=p1，所以p4=p14，
故S=p1,p12,p13,p14，此时p13,p14,p15,p16,p17⊆T，
若q∈T，则qp13∈S，故qp13=p1i,i=1,2,3,4，故q=p1i+3,i=1,2,3,4，
即q∈p13,p14,p15,p16,p17，故p13,p14,p15,p16,p17=T，
此时S∪T=p1,p12,p13,p14,p15,p16,p17，即S∪T中有7个元素.
故答案为：7.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·山东青岛·高一统考期末）已知全集为R,M=−2,2,N=x∣0≤x≤2.
(1)求M∩∁RN；
(2)若C=x∣1−2a≤x≤a，且C∪M=C，求a的取值范围.
【解题思路】（1）利用补集和交集的定义即可求解；
（2）由C∪M=C可得M⊆C，然后列出不等式即可.
【解答过程】（1）因为M=[−2,2]，N={x∣0≤x≤2}，
所以∁RN={x∣x<0或x>2}，
所以M∩∁RN={x∣−2≤x<0}.
（2）因为C∪M=C，所以M⊆C，
所以a≥1−2aa≥21−2a≤−2，解得a≥2，
故a的取值范围为2,+∞.
18．（12分）（2023秋·广东江门·高一校考期中）已知命题P:∃x∈R，使x2−4x+m=0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设A=x3a【解题思路】（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据A为非空集合求出a<2，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
【解答过程】（1）解：由题意，得关于x的方程x2−4x+m=0无实数根，
所以Δ=16−4m<0，解得m>4，
即B=(4,+∞)；
（2）解：因为A={x|3a所以3a因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
则3a≥4，即a≥43，
所以43≤a<2.
19．（12分）（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=x1(1)若m=−1，求A∩B；
(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）可将m=−1带入集合B中，得到集合B的解集，即可求解出答案；
（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A与集合B之间的关系，即可完成求解.
【解答过程】（1）当m=−1时，集合B={x|−2（2）i.当选择条件①时，集合B={x|2m当B=∅时，A∩∁UB=A≠∅，舍；
当集合B≠∅时，即集合2m＜1−m，m＜13时，∁UB={x|x≤2m或x≥1−m}，
此时要满足A∩∁UB=∅，则{2m≤13＜1−m，解得m＜−2，
结合m＜13，所以实数m的取值范围为（−∞,−2）或{m|m＜−2}；
ii.当选择条件②时，要满足x∈A是x∈B的充分条件，则需满足在集合B≠∅时，
集合A是集合B的子集，即{2m≤13＜1−m，解得m＜−2，
所以实数m的取值范围为（−∞,−2）或{m|m＜−2}；
iii.当选择条件③时，要使得∀x1∈A,∃x2∈B，使得x1=x2，那么需满足在集合B≠∅时，集合A是集合B的子集，即{2m≤13＜1−m，解得m＜−2，
所以实数m的取值范围为（−∞,−2）或{m|m＜−2}；
故，实数m的取值范围为（−∞,−2）或{m|m＜−2}.
20．（12分）（2023·高一课时练习）（1）比较x3与x2−x+1的大小；
（2）已知a>b>c，且a+b+c=0，
①求证：ca−c>cb−c．
②求ca的取值范围．
【解题思路】（1）对两式作差，然后因式分解并分x=1，x>1，x<1三种情况讨论，即可求解；
（2）①由a>b>c且a+b+c=0，可得c<0，再结合不等式的基本性质，即可求解；
②由题意，有a>0,c<0，又ba=−ca−1<1即可求解.
【解答过程】解：（1）x3−(x2−x+1)=(x3−x2)+(x−1)=(x2+1)(x−1)，
当x=1时，(x2+1)(x−1)=0，故x3=x2−x+1，
当x>1时，(x2+1)(x−1)>0，故x3>x2−x+1，
当x<1时，(x2+1)(x−1)<0，故x3（2）①证明：∵a>b>c且a+b+c=0，
∴c<0，
∵a>b>c，
∴a−c>b−c>0，两边取倒数得1a−c<1b−c，
又∵c<0，
∴ ca−c>cb−c，从而得证．
②∵a>b>c且a+b+c=0，
∴a>0,c<0，
所以ca<0，ba<1，
因为a+b+c=0，所以1+ba+ca=0，即ba=−ca−1，
所以−ca−1<1，即ca>−2，
综上，−221．（12分）（2022·高一课时练习）已知x、y、z都是正数．
(1)求证：x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0；
(2)若xy2+yx2≥m2−2m−21x+1y恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）将所证不等式等价转化为证明x2+y2+z2≥xy+yz+xz，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；
（2）化简得出m2−2m−2≤x2−xy+y2xy，利用基本不等式可得出关于m的二次不等式，解之即可.
【解答过程】（1）证明：要证x−yyz+y−zzx+z−xxy≥0，
左右两边同乘以xyz可知即证x2−xy+y2−yz+z2−xz≥0，
即证x2+y2+z2≥xy+yz+xz．
因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，x2+z2≥2xz，
当且仅当x=y=z时，以上三式等号成立，
将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得x2+y2+z2≥xy+yz+xz．
所以，原不等式得证．
（2）解：xy2+yx2≥m2−2m−21x+1y⇔m2−2m−2≤x3+y3xyx+y=x2−xy+y2xy，
因为x2−xy+y2xy=xy+yx−1≥2xy⋅yx−1=1，当且仅当x=y时等号成立，
所以，m2−2m−2≤1，即m2−2m−3≤0，解得−1≤m≤3，
故实数m的取值范围为−1≤m≤3．
22．（12分）（2023秋·广东深圳·高一统考期末）设函数f(x)=ax2+(1−a)x+a−2.
（1）若关于x的不等式fx≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成ax2+(1−a)x+a≥0，按a=0与a≠0并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成(x2−x+1)a+x≥0，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为ax2+(1−a)x−1<0，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答过程】(1)依题意，fx≥−2有实数解，即不等式ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，
当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，
当a>0时，取x=0，则ax2+(1−a)x+a=a>0成立，即ax2+(1−a)x+a≥0有实数解，于是得a>0，
当a<0时，二次函数y=ax2+(1−a)x+a的图象开口向下，要y≥0有解，当且仅当Δ=(1−a)2−4a2≥0⇔−1≤a≤13，从而得−1≤a<0，
综上，a≥−1，
所以实数a的取值范围是a≥−1；
(2)不等式fx≥−2对于实数a∈−1,1时恒成立，即∀a∈[−1,1],(x2−x+1)a+x≥0，
显然x2−x+1>0，函数g(a)=(x2−x+1)a+x在a∈−1,1上递增，从而得g(−1)≥0，即−x2+2x−1≥0，解得x=1，
所以实数x的取值范围是{1}；
(3) 不等式f(x)当a=0时，x<1，
当a>0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)<0，而−1a<0，解得−1a当a<0时，不等式可化为(x+1a)(x−1)>0，
当−1a=1，即a=−1时，x∈R,x≠1，
当−1a<1，即a<−1时，x<−1a或x>1，
当−1a>1，即−1−1a，
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)，
当a>0时，原不等式的解集为(−1a,1)，
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(−1a,+∞)，
当a<−1时，原不等式的解集为(−∞,−1a)∪(1,+∞).