高一数学（人教A版2019必修第一册）专题3.6 函数的概念与性质全章八类必考压轴题（举一反三）（原卷版+解析）

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专题3.6 函数的概念与性质全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1函数的定义域问题1．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数fx=11−x2+x0的定义域是（    ）A．−1,1 B．−1,1C．−1,0∪0,1 D．−1,0∪0,12．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx+1的定义域为1,2，则函数y=f2x−1的定义域为（    ）A．12,1 B．32,2 C．−1,1 D．3,53．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数fx的定义域为1,3，则函数gx=fx+1x−1的定义域为 ．4．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数fx=1−a2x2+31−ax+6.(1)若fx的定义域为[－2,1]，求实数a的值；(2)若fx的定义域为R，求实数a的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域：(1)已知函数fx的定义域为−2,2，求函数y=fx2−1的定义域.(2)已知函数y=f2x+4的定义域为0,1，求函数fx的定义域.(3)已知函数fx的定义域为−1,2，求函数y=f(x+1)−f(x2−1)的定义域.考点2函数的值域问题1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是(0,+∞)的是（　　）A．y=2x+1(x>0) B．y=x2C．y=1x2−3 D．y=2x2．（2023·全国·高三专题练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=2xx2+1，则函数y=fx的值域为（    ）A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,13．（2023·高一单元测试）将函数fx=x中的自变量x用x=gt替换，替换后所得的函数Fx=gt与原函数fx的值域相同，则函数gt可以是下列函数中的 (只填序号).① gt=t；② gt=2t；③ gt=3t−5；④ gt=2−t−1.4．（2023·高一课时练习）已知f(x)=ax2+(a−4)⋅x−21+x2．(1)若a=4时，求fx的值域；(2)函数g(x)=x2+1f(x)+52，若函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，求a的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数fx=ax2+bx+a+1的定义域为x|ax2+bx+a+1≥0且x≥0.（Ⅰ）若a=−2，b=3，求fx的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若fx为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a<0且a≠−1，使得fx为“同域函数”，求实数b的取值范围.考点3由函数的单调性求参数1．（2023·高一课时练习）已知函数fx=x2−2x+3在区间t,t+1上是单调函数，则t的取值范围是（    ）A．1,+∞ B．0,1 C．−∞,0 D．−∞,0∪1,+∞2．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数f(x)=x2−ax+5,(x≤1)ax,(x>1)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，则a的取值范围是（    ）A．00 D．2≤a≤33．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=x−a+1在[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．4．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=x2+2ax+2．(1)若函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，求实数a的取值范围．5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b∈R），满足f(−1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0.(1)求fx的解析式；(2)当x∈−12,12时，若g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围.考点4由函数的性质求最值1．（2023春·湖南长沙·高二校考期中）关于“函数fx=x−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞的最大、最小值与函数gx=x−13x−14，x∈Z的最大、最小值”，下列说法中正确的是（    ）．A．fx有最大、最小值，gx有最大、最小值B．fx有最大、最小值，gx无最大、最小值C．fx无最大、最小值，gx有最大、最小值D．fx无最大、最小值，gx无最大、最小值2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016，记f(x)在[−2017，2017]上的最大值和最小值为M，N，则M+N的值为（    ）A．2016 B．2017 C．4032 D．40343．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−ax+2+a，a∈R，若f(x)在区间[−1,1]上的最大值是3，则a的取值范围是 .4．（2023秋·高一单元测试）已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性；(2)求函数f(x)在[−3,2]上的最大值和最小值．5．（2023·全国·高一假期作业）已知函数fx=x2−2ax+2,x∈−1,1.(1)求fx的最小值ga;(2)求ga的最大值.考点5由函数的性质比较大小1．（2023·安徽亳州·蒙城校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在0,+∞上单调递减，则（    ）A．ff2>ff3 B．fg2gg3 D．gf20．（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）若存在x∈1,3，使f(x−c)+fx−c2>0成立，求实数c的取值范围．5．（2023秋·四川自贡·高一统考期末）已知定义在0,+∞上的函数fx，满足fmn=fm+fnm>0,n>0，而且当x>1时，有fx>0．（1）求证：fx在0,+∞上是增函数；（2）判断fm+n2与12fm+fn的大小，并说明理由．考点6由函数的单调性、奇偶性解不等式1．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知定义域为R的函数fx在1,+∞单调递减，且f2−x+fx=0，则使得不等式fx2−x+f2x<0成立的实数x的取值范围是（    ）A．−1,2 B．−∞,−1∪2,+∞C．−2,1 D．−∞,−2∪1,+∞2．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，若∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)x1−f(x2)x2]<0，则不等式f(x+3)>2x+6的解集为（    ）A．(−∞,−4) B．(2,3)C．(−∞,−4)∪(−3,−2) D．(−∞,−4)∪(2,3)3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx在0,+∞上单调递增，且函数fx−1为奇函数，则f3x+4+f1−x<2的解集为 .4．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=−25.(1)求函数fx的解析式；(2)判断fx的单调性，并证明你的结论；(3)解不等式ft−1+ft<0.5．（2023·高一课时练习）定义在−1,1上的函数fx满足对任意的x,y∈−1,1，都有fx+fy=fx+y1+xy，且当x∈(0,1)时，fx<0．(1)求证：函数fx是奇函数；(2)判断fx在−1,1上的单调性，不需证明；(3)解不等式fx−1+fx<0．考点7利用函数的性质研究恒成立问题1．（2023·高一课时练习）设fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx=x2，若对任意的x∈t,t+2，不等式fx+t≥2fx恒成立，则实数t的取值范围是（    ）A．2,+∞ B．2,+∞ C．0,2 D．−2,−1∪2,32．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx+x2是奇函数，fx−x是偶函数，设函数gx=fx,x∈0,12gx−1,x∈1,+∞．若对任意x∈0,m,gx≤3恒成立，则实数m的最大值为（    ）A．133 B．174 C．92 D．1343．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知函数y=fx是定义在[−1,1]上的奇函数，且f1=1，若 m,n∈[−1,1],m+n≠0时，f(m)+f(n)m+n>0, 不等式fx≤t2−2at−2对所有的x∈[−1,1],a∈[−1,1]恒成立，则实数t的取值范围是 .4．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）已知函数fx=x+ax，a∈R.(1)a>0时，求fa，ffa的值；(2)若a=1，用定义证明函数fx在区间1,+∞上单调递增；(3)若不等式fx≥a在2,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.5．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+x2是定义在−2,2上的函数，若满足fx+f−x=0且f1=15.(1)求fx的解析式；(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+ft2−1<0成立的实数t的取值范围；(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x1,x2∈[1,2]，都有g(x2)0时满足f(x)=(x−1)3+6x2+2，且fx+m≤8fx在x∈1,3有解，则实数m的最大值为（    ）A．23 B．2 C．53 D．42．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）定义域是R的函数fx满足fx=−f−x，当x∈0,2时，fx=x2−x,x∈0,1,−x+1,x∈1,2,若x∈−2,0时，fx≥t4−12t有解，则实数t的取值范围是（    ）A．−∞,−2−6∪−2+6,+∞ B．−∞,2−6∪0,2+6C．−∞,−2−6∪0,−2+6 D．−∞,−2∪0,23．（2023春·云南保山·高一统考期末）已知函数fx=a2−ax，gx=21−x2，若关于x的不等式fx>gx在x∈0,1上有解，则实数a的取值范围是 .4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=a+1−|x−a|,g(x)=ax2−x+1，其中实数a>0.(1)当x∈[2,4]时，f(x)的最小值为2，求实数a的值.(2)记max{a,b}=a,a≥bb,a0，总有fx>0．(1)求f0，并分析判断f(x)在R上的单调性；(2)若∀x∈(1,+∞)，不等式fa−3x+f4x−13x−1−x≥0总有解，求实数a的取值范围．专题3.6 函数的概念与性质全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1函数的定义域问题1．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数fx=11−x2+x0的定义域是（    ）A．−1,1 B．−1,1C．−1,0∪0,1 D．−1,0∪0,1【解题思路】根据函数定义域相关知识直接求解.【解答过程】函数fx=11−x2+x0，则1−x2＞0x≠0，即−1＜x＜1x≠0，即fx定义域是−1,0∪0,1.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx+1的定义域为1,2，则函数y=f2x−1的定义域为（    ）A．12,1 B．32,2 C．−1,1 D．3,5【解题思路】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【解答过程】∵函数y=fx+1的定义域为1,2，即1≤x≤2，可得2≤x+1≤3，∴函数y=fx的定义域为2,3，令2≤2x−1≤3，解得32≤x≤2，故函数y=f2x−1的定义域为32,2.故选：B.3．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数fx的定义域为1,3，则函数gx=fx+1x−1的定义域为 1,2 ．【解题思路】根据给定条件，利用函数g(x)有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】依题意，10，解得10△=91−a2−241−a2≤0⇒−10) B．y=x2C．y=1x2−3 D．y=2x【解题思路】根据给定条件逐一求出各选项中函数的值域，从而得结论.【解答过程】对于A，函数y=2x+1在(0,+∞)上的值域为(1,+∞)，A不是；对于B，二次函数y=x2的值域为[0,+∞)，B不是；对于C，函数y=1x2−3的值域为(0,+∞)，C是；对于D，函数y=2x的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，D不是.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=2xx2+1，则函数y=fx的值域为（    ）A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,1【解题思路】利用基本不等式可求得函数fx的值域，由此可求得函数y=fx的值域.【解答过程】当x>0时，0−61+x2≥−6，4>4−61+x2≥−2，故fx∈−2,4，即fx的值域为−2,4.（2）由题意，gx=x2+1ax2+a−4x−21+x2+52=ax2+a−4x+12，由函数ℎ(x)=g(x)的值域为[0,+∞)，则gx≤0有解且gx无最大值，当a=0时，符合题意；当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a>0Δ=a−42−2a≥0，其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2a≥0，a2−10a+16≥0，a−2a−8≥0，解得a≤2或a≥8，综上，故a∈0,2∪8,+∞.5．（2023·全国·高三专题练习）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数fx=ax2+bx+a+1的定义域为x|ax2+bx+a+1≥0且x≥0.（Ⅰ）若a=−2，b=3，求fx的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若fx为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a<0且a≠−1，使得fx为“同域函数”，求实数b的取值范围.【解题思路】（Ⅰ）当a=−2，b=3时，解出不等式组−2x2+3x−1≥0x≥0即可；（Ⅱ）当a=1时，f(x)=x2+bx+2(x≥0)，分b≥0、b<0两种情况讨论即可；（Ⅲ）分−10三种情况讨论即可.【解答过程】（Ⅰ）当a=−2，b=3时，由题意知：−2x2+3x−1≥0x≥0，解得：12≤x≤1.∴fx的定义域为12,1；（Ⅱ）当a=1时，f(x)=x2+bx+2(x≥0)，（1）当−b2≤0，即b≥0时，fx的定义域为0,+∞，值域为2,+∞，∴b≥0时，fx不是“同域函数”.（2）当−b2>0，即b<0时，当且仅当Δ=b2−8=0时，fx为“同域函数”.∴b=−22.综上所述，b的值为−22.（Ⅲ）设fx的定义域为A，值域为B.（1）当a<−1时，a+1<0，此时，0∉A，0∈B，从而A≠B，∴fx不是“同域函数”.（2）当−10，设x0=−b−b2−4a(a+1)2a，则fx的定义域A=0,x0.①当−b2a≤0，即b≤0时，fx的值域B=0,a+1.若fx为“同域函数”，则x0=a+1，从而，b=−a+13，又∵−10，即b>0时，fx的值域B=0,4a(a+1)−b24a.若fx为“同域函数”，则x0=4a(a+1)−b24a，从而，b=b2−4a(a+1)(−a−1)    ∗此时，由−a−1<0，b>0可知∗不成立.综上所述，b的取值范围为−1,0.考点3由函数的单调性求参数1．（2023·高一课时练习）已知函数fx=x2−2x+3在区间t,t+1上是单调函数，则t的取值范围是（    ）A．1,+∞ B．0,1 C．−∞,0 D．−∞,0∪1,+∞【解题思路】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于t，或大于等于t+1，从而可求出t的取值范围.【解答过程】fx=x2−2x+3的图像的对称轴为x=1，因为函数fx=x2−2x+3在区间t,t+1上时单调函数，所以1≤t或1≥t+1，得t≥1或t≤0，即t的取值范围是−∞,0∪1,+∞，故选：D.2．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数f(x)=x2−ax+5,(x≤1)ax,(x>1)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，则a的取值范围是（    ）A．00 D．2≤a≤3【解题思路】易知函数f(x)在R上递减，由a2≥1a>0−a+6≥a求解.【解答过程】因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0 成立，所以函数f(x)在R上递减，所以a2≥1a>0−a+6≥a，解得：2≤a≤3故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=x−a+1在[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 (−∞,2] ．【解题思路】先求得fx的单调递增区间为[a,+∞)，根据题意得到[2,+∞)⊆[a,+∞)，即可求解.【解答过程】由函数fx=x−a+1，可得函数fx的单调递增区间为[a,+∞)，因为fx在[2,+∞)上单调递增，可得[2,+∞)⊆[a,+∞)，解得a≤2，所以实数a的取值范围为(−∞,2].故答案为：(−∞,2].4．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=x2+2ax+2．(1)若函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解；（2）根据函数的单调性及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）依题意，f(x)=x2+2ax+2=x+a2+2−a2，由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞,−a]，因为函数f(x)的单减区间是(−∞,4]，所以a=−4.（2）依题意，f(x)=x2+2ax+2=x+a2+2−a2，由二次函数的性质知，f(x)的对称轴方程为x=−a，开口向上，所以f(x)的单减区间是(−∞,−a]，因为函数f(x)在区间(−∞,4]上是单减函数，所以−a≥4，解得a≤−4，所以实数a的取值范围为−∞,−4.5．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=ax2+bx+1（a,b∈R），满足f(−1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0.(1)求fx的解析式；(2)当x∈−12,12时，若g(x)=f(x)−kx是单调函数，求实数k的取值范围.【解题思路】（1）根据Δ≤0，结合f(−1)=0可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.【解答过程】（1）∵f(−1)=0，∴b=a+1.即f(x)=ax2+(a+1)x+1，因为任意实数x，f(x)≥0恒成立，则a>0且Δ=b2−4a=(a+1)2−4a=(a−1)2≤0，∴a=1，b=2，所以f(x)=x2+2x+1.（2）因为g(x)=f(x)−kx=x2+(2−k)x+1，设ℎ(x)=x2+(2−k)x+1，要使g(x)在−12,12上单调，只需要k−22≥12ℎ(12)≥0或k−22≥12ℎ(−12)≤0或k−22≤−12ℎ(−12)≥0或k−22≤−12ℎ(12)≤0，解得3≤k≤92或−12≤k≤1，所以实数k的取值范围3,92∪−12,1.考点4由函数的性质求最值1．（2023春·湖南长沙·高二校考期中）关于“函数fx=x−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞的最大、最小值与函数gx=x−13x−14，x∈Z的最大、最小值”，下列说法中正确的是（    ）．A．fx有最大、最小值，gx有最大、最小值B．fx有最大、最小值，gx无最大、最小值C．fx无最大、最小值，gx有最大、最小值D．fx无最大、最小值，gx无最大、最小值【解题思路】画出fx=x−13x−14=1+14−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞的图象，数形结合得到其最值情况，在fx=x−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞的基础上，得到gx=x−13x−14，x∈Z的最值情况.【解答过程】fx=x−13x−14=x−14+14−13x−14=1+14−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞，画出函数图象如下：函数fx=x−13x−14，x∈−∞,14∪14,+∞无最大值，也无最小值；当x∈Z时，此时函数的图象为fx=x−13x−14上一些点，当x≤3且x∈Z时，gx=x−13x−14∈0,1，当x≥4且x∈N时，fx=x−13x−14>1，且函数在x≤3且x∈Z上单调递减，在当x≥4且x∈N上时单调递减，故x=3时，gx=x−13x−14取得最小值，当x=4时，gx=x−13x−14取得最大值.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016，记f(x)在[−2017，2017]上的最大值和最小值为M，N，则M+N的值为（    ）A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【解题思路】先计算得到f(0)=2016，再构造函数g(x)=f(x)−2016，判断g(x)的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x1=x2=0得f(0)=2f(0)−2016，∴f(0)=2016，令x1=−x2得f(0)=f(−x2)+f(x2)−2016=2016，∴f(−x2)+f(x2)=4032，令g(x)=f(x)−2016，则gmax(x)=M−2016，gmin(x)=N−2016，∵g(−x)+g(x)=f(−x)+f(x)−4032=0，∴g(x)是奇函数，∴gmax(x)+gmin(x)=0，即M−2016+N−2016=0，∴M+N=4032．故选：C．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x2−ax+2+a，a∈R，若f(x)在区间[−1,1]上的最大值是3，则a的取值范围是 (−∞,0] .【解题思路】先通过取x的特殊值0，1，-1得到a≤0，然后，利用分类讨论思想，分x∈(0,1]和x∈(−1,0]两个范围分别证明a≤0时符合题意.【解答过程】由题易知f(0)=2+a≤3，即a≤1，所以f(1)=|3−a|+a=3−a+a=3，又f(−1)=|3+a|+a≤3，所以a≤0.下证a≤0时，f(x)在[−1,1]上最大值为3.当x∈(0,1]时，f(x)=x2−ax+2+a=x2−ax+2+a，f(x)max=f(1)=3;当x∈[−1,0]，若a2≤−1，即a≤−2，则f(x)max=Max{f(−1),f(0)}，满足;若−1ff3 B．fg2gg3 D．gf2f3，但无法判断f2,f3的正负，故A不正确；对于B，g2>g3，但无法判断g2,g3的正负，故B不正确；对于C，g2>g3，gx在R上单调递减，所以gg2f3，gx在R上单调递减，gf2f(2)>f2.7，即f−5.30．（1）若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；（2）若存在x∈1,3，使f(x−c)+fx−c2>0成立，求实数c的取值范围．【解题思路】（1）先判断f(x)单调性，即可求得答案.（2）由（1）可知：fx在R上单调递增，由f(x−c)+fx−c2>0，可得f(x−c)>f−x+c2，即x−c>−x+c2，故c2+c<(2x)max，结合已知，即可求得答案.【解答过程】（1）设x1,x2∈R且x10∵ x1−x2<0，∴ fx1b，∴ fa>fb；（2）由（1）可知：fx在R上单调递增； ∵ f(x−c)+fx−c2>0，f(x−c)>−fx−c2，即f(x−c)>f−x+c2，可得x−c>−x+c2，故c2+c<(2x)max，∵ x∈1,3，∴ (2x)max=6，可得c2+c<6，即c2+c−6<0，c−2c+3<0，∴ −30,n>0，而且当x>1时，有fx>0．（1）求证：fx在0,+∞上是增函数；（2）判断fm+n2与12fm+fn的大小，并说明理由．【解题思路】（1）运用已给条件构造出x2=x1⋅x2x1,代入题中的函数法则中进行化简,结合增函数的定义进行判定.（2）结合条件中的函数法则,对fm+n2与12fm+fn进行化简,结合函数的单调性进行证明其大小关系.【解答过程】（1）任取x1,x2∈0,+∞且x11,有fx2x1>0,由已知得fx2=fx1⋅x2x1=fx1+fx2x1,所以fx2−fx1=fx2x1>0即fx12−2x，即x2+x−2>0，解得x<−2或x>1，所以x的取值范围为−∞,−2∪1,+∞，故选：D.2．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，若∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)x1−f(x2)x2]<0，则不等式f(x+3)>2x+6的解集为（    ）A．(−∞,−4) B．(2,3)C．(−∞,−4)∪(−3,−2) D．(−∞,−4)∪(2,3)【解题思路】根据题意可判断函数gx=fxx的奇偶性和单调性，进而分两种情况即可求解.【解答过程】由∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有(x1−x2)[f(x1)x1−f(x2)x2]<0可知函数fxx在0,+∞上单调递减，记gx=fxx，则g−x=f−x−x=−fx−x=fxx=gx,所以gx为偶函数，因此gx在−∞,0单调递增，且g−1=g1=f11=2，不等式f(x+3)>2x+6等价于x+3>0fx+3x+3=gx+3>2=g1和x+3<0fx+3x+3=gx+3<2=g−1，故1>x+3>0或x+3<−1，解得−30，−10，x22+1>0所以fx2−fx1<0，即fx2−t，解得012，故120，x2−x1>0，所以1−x1x2−x2+x1=1−x21+x1>0，即1−x1x2>x2−x1，所以0−x，解得：120, 不等式fx≤t2−2at−2对所有的x∈[−1,1],a∈[−1,1]恒成立，则实数t的取值范围是 −∞,−3∪3,+∞ .【解题思路】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得f(x)在[−1,1]上单调递增，所以f(x)在[-1，1]上最大值是f(1)=1，问题可转化为t2−2at−2≥1对于所有的a∈−1,1恒成立，令g(a)=−2ta+t2−3，只需g−1≥0g1≥0，解不等式即可.【解答过程】因为f(x)为奇函数且m，n∈[−1,1]，m+n≠0，所以f(m)+f(n)m+n=f(m)−f(−n)m−(−n)>0，所以f(x)在[−1,1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=1，又因为f(x)≤t2−2at−2对于所有的x∈−1,1,a∈−1,1恒成立，所以f(x)max≤t2−2at−2对于所有的a∈−1,1恒成立，即t2−2at−2≥1 对于所有的a∈−1,1恒成立，即t2−2at−3≥0 对于所有的a∈−1,1恒成立，令g(a)=−2ta+t2−3，所以只需满足g(−1)≥0g(1)≥0⇒2t+t2−3≥0−2t+t2−3≥0，解得t≤−3或t≥3．故答案为：(−∞,−3]∪[3,+∞).4．（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）已知函数fx=x+ax，a∈R.(1)a>0时，求fa，ffa的值；(2)若a=1，用定义证明函数fx在区间1,+∞上单调递增；(3)若不等式fx≥a在2,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）代入计算可得答案；（2）用定义直接证明即可；（3）a≤0时，利用fx在2,+∞上单调性可得a≤0；当a>0时结合fx在x>0的图象可得答案.【解答过程】（1）a>0时， fa=a+aa=2a；ffa=2a+a2a=5a2；（2）若a=1，fx=x+1x，设x1>x2>1，所以fx1−fx2=x1+1x1−x2−1x2=x1−x2x1x2−1x1x2，因为x1>x2>1，所以x1−x2>0，x1x2>1，fx1−fx2=x1−x2x1x2−1x1x2>0，所以fx1>fx2，可得函数fx在区间1,+∞上单调递增；（3）当a≤0时，fx=x+ax在2,+∞上单调递增，若不等式fx≥a在2,+∞上恒成立，可得f2min=2+a2≥a，可得a≤0；当a>0时，由x>0可得fx=x+ax≥2a，当且仅当x=ax即x=a时等号成立，所以fx在x∈0,a单调递减，在x∈a,+∞单调递增，fx在x>0时的图象如下，当2∈0,a即a>4时，若不等式fx≥a在2,+∞上恒成立，则2a≥a，解得04矛盾，故不成立；当a≤2即0x+195xmax，根据单调性计算最值得到答案.【解答过程】（1）x∈−2,2，且fx+f−x=0，所以fx为奇函数，将x=0代入fx+f−x=0可得f0=0，即c4=0，所以c=0，即fx=ax2+bx4+x2，因为f1=15，所以f−1=−15，代入可得a+b5=15a−b5=−15，解得a=0b=1，故fx=x4+x2；fx=x4+x2，fx=−x4+x2=−fx，函数为奇函数，满足，故fx=x4+x2.（2）设−2≤x10,4−x1x2>0，∴fx2−fx1>0，即fx2>fx1，故函数fx=x4+x2在−2,2上单调递增，因为fx=x4+x2为奇函数，所以f2t+1+ft2−1<0，即f2t+1<−ft2−1=f1−t2，根据单调性及定义域可得：−2≤2t+1≤2−2≤t2−1≤22t+1<1−t2，解得−32≤t≤12−3≤t≤3−2x+195xmax，y=x+195x在1,955上单调递减，在955,2上单调递增，当x=1时，x+195x=245，当x=2时，x+195x=3910<245，故当x=1时，x+195xmax=245，所以m>125.法二：g(x)=x2−2mx+4=(x−m)2+4−m2，x∈1,2，当m≤32时，g(x)max=g(2)<15，4−4m+4<15，解得m>3920，舍去；当m>32时，g(x)max=g(1)<15，1−2m+4<15，解得m>125，因此m>125，综上所述：m>125.考点8利用函数的性质研究有解问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数fx在x>0时满足f(x)=(x−1)3+6x2+2，且fx+m≤8fx在x∈1,3有解，则实数m的最大值为（    ）A．23 B．2 C．53 D．4【解题思路】化简f(x)=(x+1)3，得到fx在R上单调递增，再化简得到8f(x)=f(2x+1)，把不等式转化为x+m≤2x+1，得到m≤x+1在x∈1,3有解，结合x+1max=4，即可求解.【解答过程】当x>0时，函数f(x)=(x−1)3+6x2+2=x3+3x2+3x+1=(x+1)3，可得函数fx在R上单调递增，因为x∈1,3，所以8f(x)=8(x+1)3=[(2x+1)+1]3=f(2x+1)，所以fx+m≤f2x+1，所以x+m≤2x+1，即m≤x+1在x∈1,3有解，又由当x∈1,3时，x+1max=4，所以m≤4，所以实数m最大值为4.故选：D.2．（2023春·湖南长沙·高二校考阶段练习）定义域是R的函数fx满足fx=−f−x，当x∈0,2时，fx=x2−x,x∈0,1,−x+1,x∈1,2,若x∈−2,0时，fx≥t4−12t有解，则实数t的取值范围是（    ）A．−∞,−2−6∪−2+6,+∞ B．−∞,2−6∪0,2+6C．−∞,−2−6∪0,−2+6 D．−∞,−2∪0,2【解题思路】先由x∈0,2时的解析式，求出对应的最小值，根据函数奇偶性，得到fx在x∈−2,0时的最大值，由fxmax≥t4−12t求解，即可得出结果.【解答过程】因为x∈0,2时，fx=x2−x,x∈0,1−x+1,x∈1,2，当x∈0,1时，由二次函数的性质，易得fx=x2−x=x−122−14∈−14,0；当x∈1,2时，fx=−x+1∈−1,0，所以x∈0,2时，fx∈−1,0；又定义域是R的函数fx满足fx=−f−x，即函数fx是奇函数，关于原点对称，所以x∈−2,0时，fx∈0,1，因为x∈−2,0时，fx≥t4−12t有解，所以只需fxmax≥t4−12t，即1≥t4−12t，整理得t2−4t−24t≤0，所以t2−4t−2≤0t>0或t2−4t−2≥0t<0，解得0gx在x∈0,1上有解，则实数a的取值范围是 (−∞,−2)∪(2,+∞) .【解题思路】根据函数单调性得f(x)2，则得到不等式a2>2，解出即可.【解答过程】∵f(x)=a2−|a|x在x∈(0,1)上单调递减，∴f(x)g(0)=2，由题意可知：a2>2⇒a∈(−∞,−2)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=a+1−|x−a|,g(x)=ax2−x+1，其中实数a>0.(1)当x∈[2,4]时，f(x)的最小值为2，求实数a的值.(2)记max{a,b}=a,a≥bb,aax+1,x3时，f(x)min=f(2)=a+1−|2−a|=2，此时无解，综上a=52；（2）F(x)≤12在x∈R上恒有解，只需要F(x)min≤12；当a≥12a，即a≥22时，F(x)min=F(0)=1>12不成立，当a<12a，即00，总有fx>0．(1)求f0，并分析判断f(x)在R上的单调性；(2)若∀x∈(1,+∞)，不等式fa−3x+f4x−13x−1−x≥0总有解，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据题意令m=n=0求f0，令m=x1−x2,n=x2结合单调性的定义证明函数单调性；（2）令m=x,n=−x结合奇偶性的定义可证f(x)在R上为奇函数，根据奇函数和单调性整理可得a≥4x−4x−13x−1当x∈(1,+∞)成立，根据能成立问题结合基本不等式运算求解.【解答过程】（1）∵fm+n=fm+fn，令m=n=0，则f0=f0+f0，可得f0=0，函数在R上递增，证明如下：令m=x1−x2,n=x2，且x1>x2，则fx1=fx1−x2+fx2，即fx1−fx2=fx1−x2，∵x1>x2，即x1−x2>0，则fx1−x2>0，∴fx1−fx2>0，即fx1>fx2，故f(x)在R上单调递增.（2）∵fm+n=fm+fn，令m=x,n=−x，则f0=fx+f−x=0，即fx=−f−x，∴故f(x)在R上为奇函数，∵fa−3x+f4x−13x−1−x≥0，则fa−3x≥−f4x−13x−1−x=fx−4x−13x−1，又∵f(x)在R上单调递增，则a−3x≥x−4x−13x−1，即a≥4x−4x−13x−1当x∈(1,+∞)成立，4x−4x−13x−1=4x−1−4x−1−9x−1+4=4x−1+9x−1≥24x−1×9x−1=12，当且仅当4x−1=9x−1，即x=52时等号成立，∴a≥12，故实数a的取值范围为12,+∞.