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2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题 （十大题型）（原卷版+解析）
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这是一份2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题 （十大题型）（原卷版+解析），共77页。
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：三角不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
例3．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________.
变式1．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
变式2．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________．
题型二：定义法
例4．已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______.
例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______．
变式4．已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
变式5．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
变式6．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
题型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．
例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
例9．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________．
变式7．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．
变式8．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．
变式11．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________．
变式12．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
变式13．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.
题型四：几何意义法
例10．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______．
变式16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____.
变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______.
变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
题型五：坐标法
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______.
例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________.
变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．
变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．
变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______.
变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______.
变式29．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
题型六：极化恒等式
例16．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________．
例17．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．
例18．（2023·陕西榆林·三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________．
变式30．（2023·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
变式31．（2023·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：矩形大法
例19．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
例20．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
变式32．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
题型八：等和线
例22．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
例23．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
变式34．（2023·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______.
变式36．（2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是________.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
变式38．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
变式40．在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
变式41．（2023·全国·高三专题练习）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式42．在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型九：平行四边形大法
例25．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
例26．如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
例27．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
变式44．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
变式45．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十：向量对角线定理
例28．已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
例29．如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B．C．D．
例30．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B．C．D．
重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题
目录
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：三角不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解析：因为，
则， 因为，
由，
由，即，由，则恒成立.
由,即
则
，
解得，又
所以.
故答案为：
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意设， ，
由， ，
化简得恒成立，所以， ，
，
，
当且仅当且时取到等号；
故答案为： .
例3．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不妨令，
由，可得；
，
故可得，
整理得，
要使得该方程有解，则，
整理得，又因为，
故可得，解得.
又因为，故可得，
故可得.
故答案为：.
变式1．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值.
故答案为：
变式2．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设，则，则由条件知，
所以，所以，
又
所以．
故答案为：.
变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________．
【答案】.
【解析】如图，
设，则，
取的中点，
则，
，
又，
，
，
，
，即．
故答案为：．
题型二：定义法
例4．已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
设，则，
由，知，即，
所以，
因为，所以点在线段上，
设，则，
所以
故原问题转化为求的最大值，
在中，由余弦定理知，
，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
因为，所以，即，
所以，
即，即，
所以.
故答案为：
例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】依题意可知，所以，不妨设，，，则，
由与的夹角为可知，所以四点共圆，即点在的外接圆上.
，则，由正弦定理得的外接圆直径，所以的最大值为.
故答案为：.
例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______．
【答案】6
【解析】如图，设，，，，
连接，，
则由可知四边形为矩形，
则．
由，
可得，
连接，
则，
所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，
所以的最大值为．
故答案为：6.
变式4．已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
设
所以, 所以,
所以，
因为，
所以
所以四点共圆.设外接圆半径为,
要使最大，所以必须过圆心，
此时，在中，由余弦定理得.
由正弦定理得.
故答案为：
变式5．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
【答案】
【解析】由题可知，
不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动，
又 为实数），都有，
所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小.
此时，在中，由余弦定理可得，
,
故答案为：.
变式6．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】/
【解析】设，则，设向量、的夹角为，
若，则，可得，
由题意可得，解得，
所以，，，
所以，，
当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值，
且.
故答案为：.
题型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，
，，且，
，
．
由题意可得，，，
，
，则，
（当且仅当时等号成立），
的最小值为．
故答案为：．
例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
【答案】
【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.
例9．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________．
【答案】/
【解析】由题意，设，
，
所以时，取得最大值．
故答案为：．
变式7．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．
【答案】/
【解析】设，
则
，
所以当，时，取得最大值．
故答案为：．
变式8．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
【答案】36
【解析】，，其中，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：36
变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______.
【答案】/
【解析】如图所示，
根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，
所以此时最大，
因为，，
所以
，
所以的最大值为.
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值．
令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且．
故答案为：
变式11．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________．
【答案】
【解析】∵，，，
∴cs＜，＞＝﹣，即与的夹角为，
如图，作，，，连接AC，BC，则＝，＝，
∴∠ACB＝，
又∠AOB＝，∴O，A，C，B四点共圆，
故当OC为圆的直径时，||最大，
此时A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC，
在中，OC＝，
在中，OC＝，
∴＝，即＝，
∴cs∠AOC＝（﹣cs∠AOC+sin∠AOC），
整理得，2cs∠AOC＝sin∠AOC，
∴tan∠AOC＝2，cs∠AOC＝，
∴OC＝＝，即||的最大值为．
故答案为：．
变式12．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
【答案】
【解析】设与所成夹角为
则
因为，，所以的夹角为
设，则
所以，设到的距离为
则，所以
因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上
所以到的距离最大值为
所以的最大值为
所以的最大值为
故答案为：
变式13．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.
【答案】/
【解析】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
题型四：几何意义法
例10．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
【答案】
【解析】由，则，
即，即，即，
又由，所以，，
不妨设，，，
则，即，
即，则
故向量在向量上的投影的数量为，
又，所以，
所以向量在向量上的投影的数量的最小值是.
故答案为：.
例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】如图：
以点为起点作向量，，，
则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，
设，则，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
则的取值范围是
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】设，，，则，，
依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.
其半径，为点到直线的距离，
显然，当运动到点处时，有最大值.
故答案为：.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】∵，,∴，
如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，
则平面向量+的终点N到O的距离为2，
设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上.
由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上，
当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值,
此时,, |CN|=,
故答案为：.
变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图：
以点为起点作向量，，，
则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，
设，则，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
则的取值范围是
故答案为：
变式16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.
【答案】/
【解析】根据题意，作图如下：
令，
根据题意可得：，且，
取中点为，故，点在以为直径的圆上运动；
显然当三点共线时，取得最大值，即；
不妨设三角形的外接圆圆心为，显然，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，
故，当且仅当时取得，同时；
显然当三点共线时，取得最大值，
此时
故，当且仅当，且四点共线时取得.
故答案为：.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____.
【答案】/
【解析】设，，，则有，，
设线段的中点为，则，，
则
，
因为，，
所以的外接圆的直径，
所以点的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），记圆心为，
当在圆上时，，此时（不能与重合），
所以，
当不在圆上时， ，，又，
所以，所以，
所以，
所以，
故的最大值为.
故答案为：
变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【解析】如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，
所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.
由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，
由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，
取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.
，即M、G两点重合.取得最小值为2.
则时，.
故向量的模取值范围是
故答案为：
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知：向量，为单位向量，
因为，所以，则，
所以，即与夹角为.
如图作向量，，，
则，，，，
因此，
则，
所以，
故，，三点共线，即点在线段上，
则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离，
记线段的中点为，过点作于点，则，
，所以，
因此，
由图形可得，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
【答案】/
【解析】因为，所以，
又，，
如图，向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上，
又，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，．
设，，，则，
，，．
因为与的夹角为，所以，
的外接圆的直径为：
则动点的轨迹是半径为的圆中的优弧（不含点，），
由，则动点的轨迹是以点为圆心、半径为的圆，如图，
结合图形可知，当点，，，四点共线，且在线段的延长线上时，最大，且最大值是，
故的最大值为．
故答案为：
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【解析】
如图所示，设
所以，,
因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
所以 所以，
所以四点共圆.
在△中，由正弦定理得
所以因为.
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值为60.
故答案为：60
题型五：坐标法
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
【答案】5
【解析】令，
，
，
，
令，
设，则
，，
令，
若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，
显然，函数在取得最值，
，
故答案为：5.
例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意设，，
所以，
即.
所以的最大值为圆上点到原点距离的最大值，即.
故答案为：.
例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】由题知，，与的夹角为，
以的起点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，
所以，
化简得，即，
所以的终点落在以为圆心，半径为的圆上，
易知在圆内，，
所以的最大值为，
故答案为：.
变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________.
【答案】5
【解析】如图，设，
因为与的夹角是，
所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为，
所以点在两圆弧或上，
因为，设，
把代入中化简得
，
因为此方程有解，所以
即，
化简得，解得；
把代入中化简得
，
因为此方程有解，所以
即，
化简得，解得；
所以的最大值为5
变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．
【答案】/
【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
则，
由，得，
所以当，即时，取得最小值.
故答案为：.
变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】在平面直角坐标系内，令，设，
由，得，由，得，由，得，即，
，
则，当且仅当或时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，则，，，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设，
则
由，则
即点在以为焦点，长轴为的椭圆上
所以满足
则，且
故当时，有最小值
故答案为：
变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______.
【答案】-3
【解析】设,
由的最小值为1（为实数），
到OA距离为1，
如图建立坐标系，，
，，
，
，
令
，
令，得，
单调递减；
单调递增；
单调递减；
单调递增；
，
，
，即最大值为
故答案为：
变式29．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
题型六：极化恒等式
例16．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，．
故答案为：．
例17．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．
【答案】
【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，
如图所示：
则，，，
，即．
，
当时，取得最小值，此时，
所以．
当与重合时，，，
则，
当与重合时，，，
则，
所以，即的取值范围为．
故答案为：
例18．（2023·陕西榆林·三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题设，，取的中点，连接，，，
则，，
所以．
故答案为：
变式30．（2023·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【解析】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C．
变式31．（2023·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
题型七：矩形大法
例19．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得
，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例20．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，
从而，因为，所以，即
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为，所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以．
故答案为： ．
变式32．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，
因为，
所以，化简得，
表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，
故选：B
题型八：等和线
例22．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
例23．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
例24．（2023·全国·高三专题练习）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
的取值范围为.
故选：B
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
变式34．（2023·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，，,，
又，
则，则，
则，
又，
则，
则，
即，
故答案为：.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，
由得
从而
则，易知，
故在上单调递增，
∴，.
故.
故答案为：
变式36．（2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
由，得，，
，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，
当时取得最大值4，当时取得最小值．
的取值范围是，．
故答案为：．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
若取，则，点在阴影区域内，A正确；
若取，则，点在直线的上方，B错误；
若取，则，点在直线的下方，C错误；
若取，则，点在射线上，D错误，
故选：A.
变式38．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，，则在线段上，故，故①错
当是线段的中点时，
，故②对
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对
如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：；
又；，；
由图形看出，当与重合时：；
此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确
所以选项②③④正确.
故选：C
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，，
，，，
由得，
所以，，
因为，所以，即的最大值是．
故选：C．
变式40．在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由题意，
设，，
则，
所以，，得，
所以（当且仅当时等号成立）.
故选：D
变式41．（2023·全国·高三专题练习）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
变式42．在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，
设，则，由题意可得
令
则在上不是单调函数，从而在上一定有零点
即在时有解，可得
解得，经检验此时取得最大值
故答案选
题型九：平行四边形大法
例25．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
例26．如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点，，
则，，
则，
其中，
所以的最大值为：
，
则当时，取得最大值，
最小值为，
则当时，取得最小值，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
例27．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
【答案】
【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，，
，令
，则，又显然当，向量反
向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是.
故答案为：.
变式44．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，
所以，
，
因为
，
所以，，
因为，
当且仅当、同向且、反向时，，
当时，则，所以，，
所以，，所以，，
因为，则，
故当且四边形为菱形时，，
因此，.
故答案为：.
变式45．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】连接分别与两圆交于，又两圆外切于点，
三点共线，连，延长交圆与，连，
分别为圆，圆的直径，
，
又，，
设为中点，连，
先固定，根据向量数量积的定义，
当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影
，
当且仅当，等号成立，
同理当在投影最小（在反向上）时，
为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影，
，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的数量积取值范围是.
故选：C.
题型十：向量对角线定理
例28．已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线向量定理得，
所以，
而，
所以，选择C．
例29．如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，由对角向量定理得
所以选D．
例30．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，由对角线向量定理得
=，所以选A．
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：三角不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
例3．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________.
变式1．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
变式2．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________．
题型二：定义法
例4．已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______.
例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______．
变式4．已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
变式5．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
变式6．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
题型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．
例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
例9．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________．
变式7．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．
变式8．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．
变式11．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________．
变式12．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
变式13．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.
题型四：几何意义法
例10．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______．
变式16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____.
变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______.
变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
题型五：坐标法
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______.
例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________.
变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．
变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．
变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______.
变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______.
变式29．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
题型六：极化恒等式
例16．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________．
例17．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．
例18．（2023·陕西榆林·三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________．
变式30．（2023·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
变式31．（2023·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：矩形大法
例19．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
例20．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
变式32．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
题型八：等和线
例22．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
例23．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·全国·高三专题练习）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
变式34．（2023·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______.
变式36．（2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是________.
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
变式38．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
变式40．在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
变式41．（2023·全国·高三专题练习）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式42．在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型九：平行四边形大法
例25．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
例26．如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
例27．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
变式44．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
变式45．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十：向量对角线定理
例28．已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
例29．如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B．C．D．
例30．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B．C．D．
重难点突破03 最全归纳平面向量中的范围与最值问题
目录
技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：
（1）定义法
第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步：运用基木不等式求其最值问题
第三步：得出结论
（2）坐标法
第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步：将平面向量的运算坐标化
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底转化向量
第二步：根据向量运算律化简目标
第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
（4）几何意义法
第一步：先确定向量所表达的点的轨迹
第二步：根据直线与曲线位置关系列式
第三步：解得结果
技巧二．极化恒等式
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
技巧三．矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
技巧四．等和线
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
技巧五．平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点，由中线长定理得：
两式相减：
技巧六．向量对角线定理
题型一：三角不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若对任意，恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】解析：因为，
则， 因为，
由，
由，即，由，则恒成立.
由,即
则
，
解得，又
所以.
故答案为：
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】由题意设， ，
由， ，
化简得恒成立，所以， ，
，
，
当且仅当且时取到等号；
故答案为： .
例3．已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不妨令，
由，可得；
，
故可得，
整理得，
要使得该方程有解，则，
整理得，又因为，
故可得，解得.
又因为，故可得，
故可得.
故答案为：.
变式1．已知是平面向量，且是互相垂直的单位向量，若对任意均有的最小值为，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】根据的最小值为，代入得关于的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出，然后设为轴的方向向量，为轴方向向量，，则得关于点的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.，即，所以，即，设为轴的方向向量，为轴方向向量，所以，对应的坐标为，所以，得；，因为为抛物线向上平移个单位，所以焦点坐标为，准线为，所以点到的距离与到的距离相等，，当且仅当时，取最小值.
故答案为：
变式2．已知平面向量满足，设，若，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】设，则，则由条件知，
所以，所以，
又
所以．
故答案为：.
变式3．（2023·浙江金华·统考一模）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是___________．
【答案】.
【解析】如图，
设，则，
取的中点，
则，
，
又，
，
，
，
，即．
故答案为：．
题型二：定义法
例4．已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
设，则，
由，知，即，
所以，
因为，所以点在线段上，
设，则，
所以
故原问题转化为求的最大值，
在中，由余弦定理知，
，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
因为，所以，即，
所以，
即，即，
所以.
故答案为：
例5．（2023·四川成都·高二校联考期中）已知向量，，满足，，，向量与向量的夹角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】依题意可知，所以，不妨设，，，则，
由与的夹角为可知，所以四点共圆，即点在的外接圆上.
，则，由正弦定理得的外接圆直径，所以的最大值为.
故答案为：.
例6．（2023·浙江绍兴·高二校考学业考试）已知向量，满足，，且，若向量满足，则的最大值是______．
【答案】6
【解析】如图，设，，，，
连接，，
则由可知四边形为矩形，
则．
由，
可得，
连接，
则，
所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，
所以的最大值为．
故答案为：6.
变式4．已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.
【答案】
【解析】
设
所以, 所以,
所以，
因为，
所以
所以四点共圆.设外接圆半径为,
要使最大，所以必须过圆心，
此时，在中，由余弦定理得.
由正弦定理得.
故答案为：
变式5．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为________
【答案】
【解析】由题可知，
不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动，
又 为实数），都有，
所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小.
此时，在中，由余弦定理可得，
,
故答案为：.
变式6．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】/
【解析】设，则，设向量、的夹角为，
若，则，可得，
由题意可得，解得，
所以，，，
所以，，
当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值，
且.
故答案为：.
题型三：基底法
例7．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】如图，
，，且，
，
．
由题意可得，，，
，
，则，
（当且仅当时等号成立），
的最小值为．
故答案为：．
例8．（2023·天津·高三校联考阶段练习）已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
【答案】
【解析】,.由于,在区间上为增函数,故当时取得最小值为.
例9．如图，菱形ABCD的边长为4，，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为_____________．
【答案】/
【解析】由题意，设，
，
所以时，取得最大值．
故答案为：．
变式7．菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．
【答案】/
【解析】设，
则
，
所以当，时，取得最大值．
故答案为：．
变式8．如图，菱形的边长为为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为___________.
【答案】36
【解析】，，其中，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：36
变式9．平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为______.
【答案】/
【解析】如图所示，
根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，
所以此时最大，
因为，，
所以
，
所以的最大值为.
故答案为：
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，．若，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】令，，则，故，又，所以．以为直径作直角三角形的外接圆，进而得出当时，即取得最大值．
令，连接．设，因为，所以点在直线上，又，所以，即，所以．结合图形可知，当时，即取得最大值，且．
故答案为：
变式11．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ______________．
【答案】
【解析】∵，，，
∴cs＜，＞＝﹣，即与的夹角为，
如图，作，，，连接AC，BC，则＝，＝，
∴∠ACB＝，
又∠AOB＝，∴O，A，C，B四点共圆，
故当OC为圆的直径时，||最大，
此时A＝B＝，OA＝，OB＝1，∠BOC＝﹣∠AOC，
在中，OC＝，
在中，OC＝，
∴＝，即＝，
∴cs∠AOC＝（﹣cs∠AOC+sin∠AOC），
整理得，2cs∠AOC＝sin∠AOC，
∴tan∠AOC＝2，cs∠AOC＝，
∴OC＝＝，即||的最大值为．
故答案为：．
变式12．已知平面向量、、满足，，，，则最大值为__________.
【答案】
【解析】设与所成夹角为
则
因为，，所以的夹角为
设，则
所以，设到的距离为
则，所以
因为，所以点落在以点为圆心，以为半径的圆上
所以到的距离最大值为
所以的最大值为
所以的最大值为
故答案为：
变式13．在中，为边上任意一点，为的中点，且满足，则的最小值为________.
【答案】/
【解析】由为边上任意一点，则，
，
可得，则，即，由，可得，则，
故，
当时，取得最小值为.
故答案为：.
题型四：几何意义法
例10．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
【答案】
【解析】由，则，
即，即，即，
又由，所以，，
不妨设，，，
则，即，
即，则
故向量在向量上的投影的数量为，
又，所以，
所以向量在向量上的投影的数量的最小值是.
故答案为：.
例11．（2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】如图：
以点为起点作向量，，，
则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，
设，则，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
则的取值范围是
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量夹角为，且平面向量满足记为（）的最小值，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】设，，，则，，
依题意可知，，，，故点在△的外接圆上.
其半径，为点到直线的距离，
显然，当运动到点处时，有最大值.
故答案为：.
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】∵，,∴，
如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，
则平面向量+的终点N到O的距离为2，
设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上.
由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上，
当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值,
此时,, |CN|=,
故答案为：.
变式15．（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图：
以点为起点作向量，，，
则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点共圆，
由，得，，
在中：，即
所以，所以，
由同弧所对的圆周角相等，可得，
设，则，
在中：，
所以，
，
，，
，，
，
则的取值范围是
故答案为：
变式16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.
【答案】/
【解析】根据题意，作图如下：
令，
根据题意可得：，且，
取中点为，故，点在以为直径的圆上运动；
显然当三点共线时，取得最大值，即；
不妨设三角形的外接圆圆心为，显然，
在三角形中，由正弦定理可得：，即，
故，当且仅当时取得，同时；
显然当三点共线时，取得最大值，
此时
故，当且仅当，且四点共线时取得.
故答案为：.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）平面向量满足：的夹角为，，则的最大值为_____.
【答案】/
【解析】设，，，则有，，
设线段的中点为，则，，
则
，
因为，，
所以的外接圆的直径，
所以点的轨迹是过、且半径为2的圆（除去两点），记圆心为，
当在圆上时，，此时（不能与重合），
所以，
当不在圆上时， ，，又，
所以，所以，
所以，
所以，
故的最大值为.
故答案为：
变式18．（2023·广东阳江·高二统考期中）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【解析】如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，
所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.
由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，
由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，
取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.
，即M、G两点重合.取得最小值为2.
则时，.
故向量的模取值范围是
故答案为：
变式19．（2023·浙江·高三专题练习）已知平面向量，，，若，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知：向量，为单位向量，
因为，所以，则，
所以，即与夹角为.
如图作向量，，，
则，，，，
因此，
则，
所以，
故，，三点共线，即点在线段上，
则的几何意义表示线段的中点到线段上点的距离，
记线段的中点为，过点作于点，则，
，所以，
因此，
由图形可得，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
变式20．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量，满足，且，若向量满足，则的最大值为________.
【答案】/
【解析】因为，所以，
又，，
如图，向量的终点在以A点为圆心1为半径的圆上，
又，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
变式21．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，．
设，，，则，
，，．
因为与的夹角为，所以，
的外接圆的直径为：
则动点的轨迹是半径为的圆中的优弧（不含点，），
由，则动点的轨迹是以点为圆心、半径为的圆，如图，
结合图形可知，当点，，，四点共线，且在线段的延长线上时，最大，且最大值是，
故的最大值为．
故答案为：
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【解析】
如图所示，设
所以，,
因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
所以 所以，
所以四点共圆.
在△中，由正弦定理得
所以因为.
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值为60.
故答案为：60
题型五：坐标法
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为___________.
【答案】5
【解析】令，
，
，
，
令，
设，则
，，
令，
若函数存在极值点，则是函数的唯一极值点，
显然，函数在取得最值，
，
故答案为：5.
例14．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知平面向量满足，，，的夹角为，且，则的最大值是______.
【答案】
【解析】由题意设，，
所以，
即.
所以的最大值为圆上点到原点距离的最大值，即.
故答案为：.
例15．设平面向量，，满足，与的夹角为，则的最大值为______．
【答案】/
【解析】由题知，，与的夹角为，
以的起点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，
所以，
化简得，即，
所以的终点落在以为圆心，半径为的圆上，
易知在圆内，，
所以的最大值为，
故答案为：.
变式23．（2023·安徽滁州·校考三模）已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为__________.
【答案】5
【解析】如图，设，
因为与的夹角是，
所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为，
所以点在两圆弧或上，
因为，设，
把代入中化简得
，
因为此方程有解，所以
即，
化简得，解得；
把代入中化简得
，
因为此方程有解，所以
即，
化简得，解得；
所以的最大值为5
变式24．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．
【答案】/
【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
则，
由，得，
所以当，即时，取得最小值.
故答案为：.
变式25．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】在平面直角坐标系内，令，设，
由，得，由，得，由，得，即，
，
则，当且仅当或时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2
变式26．（2023·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，则，，，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
变式27．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设，
则
由，则
即点在以为焦点，长轴为的椭圆上
所以满足
则，且
故当时，有最小值
故答案为：
变式28．（2023·浙江·模拟预测）已知向量，满足，且的最小值为1（为实数），记，，则最大值为______.
【答案】-3
【解析】设,
由的最小值为1（为实数），
到OA距离为1，
如图建立坐标系，，
，，
，
，
令
，
令，得，
单调递减；
单调递增；
单调递减；
单调递增；
，
，
，即最大值为
故答案为：
变式29．在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
题型六：极化恒等式
例16．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
，
当为正方形的某边的中点时，，
当与正方形的顶点重合时，，即，
因此，．
故答案为：．
例17．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ ．
【答案】
【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接，，
如图所示：
则，，，
，即．
，
当时，取得最小值，此时，
所以．
当与重合时，，，
则，
当与重合时，，，
则，
所以，即的取值范围为．
故答案为：
例18．（2023·陕西榆林·三模）四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题设，，取的中点，连接，，，
则，，
所以．
故答案为：
变式30．（2023·福建莆田·模拟预测）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【解析】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C．
变式31．（2023·重庆八中模拟预测）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
题型七：矩形大法
例19．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得
，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例20．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，
从而，因为，所以，即
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为______．
【答案】/
【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为，所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以．
故答案为： ．
变式32．设向量，，满足，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量，的角平分线所在的直线为轴，使得，的坐标分别为，，设的坐标为，
因为，
所以，化简得，
表示以为圆心，为半径的圆，
则的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，
故选：B
题型八：等和线
例22．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
例23．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
例24．（2023·全国·高三专题练习）如图,，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且.当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，，
点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以与的反向延长线为两邻边，
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，
，
的取值范围为.
故选：B
变式33．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，为弧上的一动点，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】以O为原点，分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系.
则.不妨设.
因为，所以，解得：，
所以.
因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.
所以当时最大；当时最小.
所以的取值范围是.
故答案为：.
变式34．（2023·江西上饶·统考三模）在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.
不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，，,，
又，
则，则，
则，
又，
则，
则，
即，
故答案为：.
变式35．（2023·全国·高三专题练习）在扇形中，，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，，
设，则，
由得
从而
则，易知，
故在上单调递增，
∴，.
故.
故答案为：
变式36．（2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形中，，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则根据题意可知，，，设，．
由，得，，
，
点在弧上由运动，在，上逐渐变大，变小，逐渐变大，
当时取得最大值4，当时取得最小值．
的取值范围是，．
故答案为：．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
若取，则，点在阴影区域内，A正确；
若取，则，点在直线的上方，B错误；
若取，则，点在直线的下方，C错误；
若取，则，点在射线上，D错误，
故选：A.
变式38．如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】当时，，则在线段上，故，故①错
当是线段的中点时，
，故②对
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对
如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：；
又；，；
由图形看出，当与重合时：；
此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确
所以选项②③④正确.
故选：C
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，所以，即为等边三角形，以为轴，线段的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
分别以为圆心作半径为1的圆，如图，是所在圆的最低或最高点，点在线段，半圆，线段，半圆所围区域内，设，则，，
，，，
由得，
所以，，
因为，所以，即的最大值是．
故选：C．
变式40．在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】由题意，
设，，
则，
所以，，得，
所以（当且仅当时等号成立）.
故选：D
变式41．（2023·全国·高三专题练习）在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
故
故，故.
当时等号成立.
故选：.
变式42．在扇形中，，，为弧上的一个动点，且．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
令，则，
因为，则，,，
又，
则，
则，
则，
又，
易知为减函数，
由单调性易得其值域为.
故选：B.
变式43．（2023·全国·高三专题练习）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若（）存在最大值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设扇形所在圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，
设，则，由题意可得
令
则在上不是单调函数，从而在上一定有零点
即在时有解，可得
解得，经检验此时取得最大值
故答案选
题型九：平行四边形大法
例25．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
例26．如图，C，D在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设点，，
则，，
则，
其中，
所以的最大值为：
，
则当时，取得最大值，
最小值为，
则当时，取得最小值，
综上，的取值范围为.
故答案为：.
例27．（2023·浙江·模拟预测）已知为单位向量，平面向量，满足，的取值范围是____.
【答案】
【解析】建系，不妨设，，，则，再利用柯西不等式将所求转化为，利用换元法求出最大值，最小值显然为共线方向时取得.不妨设，，，由已知，得，，
，令
，则，又显然当，向量反
向时，最小，即，，此时，综上，的取值范围是.
故答案为：.
变式44．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】设点关于点的对称点为，则点在圆上，
所以，
，
因为
，
所以，，
因为，
当且仅当、同向且、反向时，，
当时，则，所以，，
所以，，所以，，
因为，则，
故当且四边形为菱形时，，
因此，.
故答案为：.
变式45．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆，圆的半径分别为1，2，且两圆外切于点，点，分别是圆，圆上的两动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】连接分别与两圆交于，又两圆外切于点，
三点共线，连，延长交圆与，连，
分别为圆，圆的直径，
，
又，，
设为中点，连，
先固定，根据向量数量积的定义，
当在同向投影最大值时为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影
，
当且仅当，等号成立，
同理当在投影最小（在反向上）时，
为与平行的圆切线的切点，
记为图中的点，此时在投影，
，
当且仅当时，等号成立，
，
所以的数量积取值范围是.
故选：C.
题型十：向量对角线定理
例28．已知平行四边形，，，，与交于点，若记，，，则（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】由对角线向量定理得，
所以，
而，
所以，选择C．
例29．如图，在圆中，若弦，弦，则的值是（ ）
B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，由对角向量定理得
所以选D．
例30．如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，由对角线向量定理得
=，所以选A．
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