河北省名校联合体2023-2024学年高三下学期2月开学测试数学试题

这是一份河北省名校联合体2023-2024学年高三下学期2月开学测试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知一组数据3,7,4,11,15,6,8,13，去掉一个极大值和一个极小值后所得数据的上四分位数为（ ）
A．4B．6C．11D．13
2．已知a=10,b=12，且a⋅b=−60，则a,b的夹角是（ ）
A．60∘B．120∘C．150∘D．135∘
3．已知α∈[0,π]，则“α=π9”是sin2α=csα+π6的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天。已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ）
A．184种B．196种C．252种D．268种
5．已知sinx+csx=13，则sin​3x+cs​3x的值为（ ）
A．727B．927C．1127D．1327
6．已知集合A={z∣z=in+i−n,n∈N*}，则A中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在四面体ABCD中，AB=3，AD=BC=1,CD=6，∠BAD=∠ABC=90∘，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．72πB．7πC．8πD．10π
8．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0，设F1是C的左焦点，P0,−3a2+b2，连接PF1交双曲线C于Q.若QO⊥PF1，则C的离心率的值为（ ）
A．15+13B．13+16C．13−13D．13+13
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．sin​2x+4sin​2xB．2x+22−xC．lg22x⋅lg2x8+8D．1sin​2x+1cs​2x
10．在△ABC中，角A,B,C对应的边为a,b,c，若acsB+bsinA=c,a=210，a2+b2−c2=absinC，则（ ）
A．tanC=2B．A=π3C．b=62D．S△ABC=122
11．欧拉函数φnn∈N*是数论中的一个基本概念，φn的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（只有公因数1的两个正整数互质，且1与所有正整数（包括1本身）互质），例如φ8=4，因为1,3,5,7均与8互质，则（ ）
A．φ4⋅φ6=φ10B．数列φ2n单调递增
C．φ100=40D．数列{φ2nφ3n}前n项和小32
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知二项式x+0.01n的二项式系数的和为1024，则n= .试估算x=1时，x+0.01n的值为 .（精确到0.001）
13．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，已知A、B为椭圆x23+y2b2=103时，φ′xe3
即证：ex1+ex22>ex1−ex2x1−x2
不妨设：x1>x2
下证x1−x2>2ex1−ex2ex1+ex2令ex1−x2=t,t>1
下证lnt>2t−1t+1令mt=lnt−2t−1t+1,m′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0
所以m′t在1,+∞上单调递增，mt>m1=0
所以lnt>2t−1t+1
所以ex1+ex22>e3…………10分
（3） 证明见解析.
证明：
不妨设x2>x1，下证x2−x1≤1+b+e+13e−1+ebe−1
fx在−1,f−1处的切线方程为y=1−eex+1…………11分
构造Fx=fx−1−eex+1,F′x=x+2ex−1e,F′′x=x+3ex
当x0;
所以F′x在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增
又F′−3=−e−3−1e,limx→−∞F′x=1e,F′−1=0
所以Fx在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增
所以Fx≥F−1=0
所以fx≥1−eex+1
设方程sx的函数值为1−eex+1=b的根x1′，则sx1′=b=fx1≥sx1
因为sx在R上单调递减，所以x1′≤x1…………13分
fx在1,2e−2处的切线方程为tx=3e−1x−e−1…………14分
构造Gx=fx−tx=x+1ex−3ex+e
G′x=x+2ex−3e,G′′x=x+3ex
当x0;
所以G′x在−∞,−3上单调递减，在−3,+∞上单调递增
又G′−3=−e−3−3e